专题12 圆锥曲线的定值定点定直线问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题12 圆锥曲线的定值定点定直线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、斜率型定值问题 2 类型二、距离与面积型定值问题 3 类型三、向量型定值问题 5 类型四、参数型定值问题 6 类型五、角度型定值问题 7 类型六、直线过定点问题 8 类型七、曲线过定点问题 10 类型八、定直线问题 11 压轴能力测评（8题） 12 一、定值问题处理方法 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值． 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数． 二、定点问题的处理方法 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解． 三、定直线问题的处理方法 1、先定性再求解：所谓定性就是根据题设条件确定定点，若存在则定点应在某直线上，定直线若存在则定直线应垂直或平行于某直线． 2、先定量再求证，即先猜后证：从特殊情况入手，求出该直线，再证明该直线对于一般情况也成立． 类型一、斜率型定值问题 例．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【变式训练1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 【变式训练3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆四点、、、中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线的斜率的和为0，求证：的斜率为定值. 类型二、距离与面积型定值问题 例．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【变式训练1】（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【变式训练2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 【变式训练3】（23-24高二上·浙江舟山·期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点． (1)求抛物线方程； (2)求证：为定值． 类型三、向量型定值问题 例．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【变式训练1】（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 【变式训练2】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【变式训练3】（23-24高二下·山西吕梁·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)若AB分别为的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点. ①若E为CD的中点求点E的轨迹方程； ②若AD与直线BC交于点Q，求证为定值. 类型四、参数型定值问题 例．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线 (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知点、，直线与双曲线交于、两点，，，求的值. 【变式训练1】（24-25高三上·河北沧州·月考）已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 【变式训练2】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 【变式训练3】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦． (1)求的值； (2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值． 类型五、角度型定值问题 例．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【变式训练1】（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 【变式训练2】（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 【变式训练3】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. (1)求点所在圆的方程; (2)已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明:. 类型六、直线过定点问题 例．（24-25高二上·河北·期中）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【变式训练1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【变式训练2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【变式训练3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 类型七、曲线过定点问题 例．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 【变式训练2】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 【变式训练3】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 类型八、定直线问题 例．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【变式训练1】（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【变式训练2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【变式训练3】（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 1．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知点是抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线交于两点，交于两点.求证：为定值. 2．（24-25高二上·广西南宁·月考） 设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合. 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 过椭圆右焦点 的直线l与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程： (2)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证： 为定值. 3．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 4．（24-25高二上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记曲线的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值. 5．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值. 6．（24-25高二上·云南大理·月考）已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 7．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点． (1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值； (2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标． 8．（24-25高二上·湖北·期中）已知椭圆的焦点为和，短轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上､下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）.证明直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆锥曲线的定值定点定直线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、斜率型定值问题 2 类型二、距离与面积型定值问题 6 类型三、向量型定值问题 10 类型四、参数型定值问题 14 类型五、角度型定值问题 19 类型六、直线过定点问题 22 类型七、曲线过定点问题 26 类型八、定直线问题 31 压轴能力测评（8题） 36 一、定值问题处理方法 1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值． 2、直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数． 二、定点问题的处理方法 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解． 三、定直线问题的处理方法 1、先定性再求解：所谓定性就是根据题设条件确定定点，若存在则定点应在某直线上，定直线若存在则定直线应垂直或平行于某直线． 2、先定量再求证，即先猜后证：从特殊情况入手，求出该直线，再证明该直线对于一般情况也成立． 类型一、斜率型定值问题 例．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 【变式训练1】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题可得，解得:， 所以，即椭圆的方程为 （2）设，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以 两式相除得，即 因为A，B分别为椭圆的左、右顶点， 所以点A的坐标为，点的坐标为， 所以 从而. 【变式训练2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 由，得，显然， ∴， 即，且， 则， ∴的中点， 又的中垂线过点，且， ∴，整理得，即为定值. 【变式训练3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆四点、、、中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线的斜率的和为0，求证：的斜率为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由对称性可知和在椭圆C上，所以 因为，所以不在上，进而在上，所以， 所以，即的方程为. （2）如果与轴垂直，设：，由题设知，且， 可得的坐标分别为， 则， 所以，不符合题意． 从而可设的方程为， 联立， 所以 则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为直线不经过点，所以， 所以，解得. 类型二、距离与面积型定值问题 例．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆椭圆经过点和点，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或， 则，所以. 【变式训练1】（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得， 不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标， 则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【变式训练2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为虚轴长为，所以， 因为，且，所以， 故双曲线C的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 此时， 当直线l的斜率存在时，不设直线，且， 联立方程组得， 由，得， 不妨设l与的交点为P，则，得， 同理可得， 所以， 因为原点O到直线l的距离， 所以， 因为，所以， 综上，的面积为定值，定值为． 【变式训练3】（23-24高二上·浙江舟山·期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点． (1)求抛物线方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可得或(舍去)， 所以； （2）设直线方程为：， 联立， 则， 所以， 直线，可得，同理， 所以 ， 所以． 类型三、向量型定值问题 例．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 【变式训练1】（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）由圆的一般方程得：圆心为，即，； 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得：， ，则其短轴为1. （2）由（1）知椭圆方程为. 当直线斜率不存在时，其方程为，，， ，，； 当直线斜率存在时，设，，， 由得：， 因为点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， ，， ， ，， . 综上所述：. 【变式训练2】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)①；②证明见解析 【解析】（1）因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． （2）证明：①将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ②由①知，， 所以 ， 故为定值． 【变式训练3】（23-24高二下·山西吕梁·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)若AB分别为的上、下顶点.O为坐标原点，直线l过的右焦点F与交于C，D两点，与y轴交于P点. ①若E为CD的中点求点E的轨迹方程； ②若AD与直线BC交于点Q，求证为定值. 【答案】(1)；(2)①；②证明见解析 【解析】（1）设的焦距为2c，则，则 ， 将代入椭圆方程可得，可得； 又，解得， 所以的方程为. （2）①由（1）知，由题意知直线l的斜率存在， 故设l的方程为，，如下图所示： 联立，消去y并整理，得， 则， 所以， 所以，所以， 又，所以， 化简得， 即点E的轨迹方程为. ②证明：由（1）知，由（2）①知， 当时，C，D分别为的左、右顶点，由椭圆的对称性知，不合题意，故， 当P异于A，B时，设， 由A，Q，D三点共线，得，由B，Q，C三点共线，得， 因为， 两式相除，得 ， 解得.所以，为定值， 当P点与A点重合时，， 当P点与B点重合时，， 所以，为定值. 类型四、参数型定值问题 例．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线 (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知点、，直线与双曲线交于、两点，，，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在双曲线中，，， 所以，该双曲线的渐近线方程为. （2）由题意可知，直线的方程为，即，且， 设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， ，，且，， 则，所以，， . 【变式训练1】（24-25高三上·河北沧州·月考）已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. (1)求椭圆的方程； (2)过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可知，，所以， 因为点在上，所以，解得，故， 所以椭圆的方程为. （2）由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得，， 设，则， 又，由得. 所以， 因为， 所以为定值. 【变式训练2】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为点到焦点F的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为， ，解得， 抛物线的方程为． （2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为， 联立，消得， 设， 又， ∵，则直线OP的方程为， 联立，消得， 令，则， ，故的值为． 【变式训练3】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦． (1)求的值； (2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 显然直线不垂直于坐标轴， 设直线方程为，则直线方程为， 由消去得：， 设，则， 于是，同理， 所以. （2）由过定点任意作抛物线的一条弦，得，显然直线不垂直于轴， 设直线方程为，由消去得：， 设，则， ，同理， ， 因此 ，即， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，解得，所以. 类型五、角度型定值问题 例．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，则， 易知的渐近线方程为， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即， 又， 则双曲线方程为：； （2）由上知，不妨设的方程为及， 显然，异号， 则，， 联立，整理得， 则， 易知， 而异号，则， 所以，即， 即为锐角，得证. 【变式训练1】（23-24高二上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1， 动点到直线的距离与它到点的距离相等． 故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹的方程为． （2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零， 设的方程为， 联立得， ，所以. 设，， ，． ， ，． 即直线与直线的倾斜角互补． 【变式训练2】（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离， 故可知动点的轨迹是抛物线， 设其方程为，由题意得， 故动点的轨迹方程为：． （2）如图，因直线的斜率不能为0（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点， 可设，由消去并整理得： 显然，设， 则由韦达定理， 则 将代入得：， 故 【变式训练3】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. (1)求点所在圆的方程; (2)已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明:. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设，由， 得：，整理得：.即为圆的方程. （2）令，由或. 所以，. 设直线：. 代入得：，整理得：. 设，， 则，. 因为， 因为 所以. 类型六、直线过定点问题 例．（24-25高二上·河北·期中）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 （2）∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 【变式训练1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为， 则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有， 此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 【变式训练2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 【变式训练3】（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 类型七、曲线过定点问题 例．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1） 因为点是线段的垂直平分线上的一点所以 因为 所以点的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆 其中，， 所以点Q的轨迹C的方程为： （2） （i）当直线垂直于x轴时，不妨设，， 此时，所以，故以为直径的圆过点. （ii）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，， 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为， 即. 由得， 所以，， 所以， 所以，故以为直径的圆过点. 综上所述，以为直径的圆过定点. 【变式训练1】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【解析】（1）由已知，解得， 所以双曲线方程为； （2）由（1）得，， 若直线的斜率不存在，则方程为，，， 此时，是中点，由于， 因此以为直径的圆经过点M． 若直线的斜率存在，设其方程为，设， 由得， ，在时，该方程有两解， 所以，， ， ， 所以，所以以为直径的圆经过点M． 综上，以为直径的圆经过点M． 【变式训练2】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知， 设，，， 由，消去整理得， ， ，， ， ， 以为直径的圆方程：， ， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点， 令， ， ， 对恒成立， ， ∴以为直径的圆过定点. 【变式训练3】（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为；(2)证明见解析 【解析】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 类型八、定直线问题 例．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得． 显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【变式训练1】（24-25高二上·河北张家口·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得， 由离心率为，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：，，而， 由消去得：， ， 则，， 又直线的方程为：，即， 又直线的方程为：，即， 由，得， 所以当点运动时，点恒在定直线上. 【变式训练2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1)；(2)（i）或；（ii）证明见解析 【解析】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 【变式训练3】（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)；(2)8；(3)证明见解析， 【解析】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为， 于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得， 与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 1．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知点是抛物线的焦点，点在上，且. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线交于两点，交于两点.求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 依题意，，解得或，而，则， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，直线的斜率均存在， 不妨设直线的方程为， 由消去y得，显然， 则， 因此， 由，得直线的斜率为，同理得， 所以. 2．（24-25高二上·广西南宁·月考） 设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合. 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 过椭圆右焦点 的直线l与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程： (2)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证： 为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知，抛物线的焦点为，则， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，， 因为直线的斜率存在，设，即，设， 由，得，则， 所以. 因为，所以，由，得， 解得，所以，即， 所以， 则，为定值. 3．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且. （i）试求、的关系式； （ii）证明：的面积为定值. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， 所以，椭圆的方程为. （2）（i）联立，消去，可得， ， 设、，则，， 故， 则，化简得； （ii）因为， 又点到直线的距离， 所以，的面积 ， 故的面积为. 4．（24-25高二上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记曲线的左顶点为，过作直线交于，两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【解析】（1）由题意，化简得； （2）由（1），是椭圆的右焦点，直线必与椭圆相交， 设直线的方程为，， 由，得， 则，． 分别作的垂直平分线，交点为， 又的中点为，， 所以的垂直平分线方程为为， 同理的垂直平分线的方程为， 设，则是方程的两根， 方程整理得， 所以，， 又因为，． 所以，， 解得， , 所以，又, 所以为定值． 5．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为短轴长为，所以， 又椭圆的离心率为，则有，解得， 所以的方程为. （2）因为外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心在轴上， 设圆心，则圆的半径为，所以， 所以 又点在椭圆上，所以，两方程消去得： 再由直线的斜率为， 可设直线的方程为， 令，所以点的横坐标为 又，所以，解得 6．（24-25高二上·云南大理·月考）已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， (1)求动点的轨迹的方程； (2)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)，证明见解析 【解析】（1）因为动点到定点的距离比到直线的距离少1， 所以动点到定点的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 所以轨迹方程为； （2）如图，设， 由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在， 设其方程为，显然， 联立方程组，整理得， 由韦达定理知， 由，可得，可得， 即，整理得， 将①式代入上式，可得， 此时，直线的方程可表示为，即， 所以直线恒过定点. 7．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点． (1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值； (2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点的坐标为 【解析】（1）∵点在双曲线C：上 ∴，解得， ∴双曲线C的方程为，则，． 设Q点坐标为，则，， ∴． ∵点Q在双曲线C上，∴， ∴． （2）设以AB为直径的圆与x轴的交点为． 由（1）可知双曲线的右焦点F为． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， ∵，∴， 整理得到①． 由，消去y可得． ∵直线l与双曲线C有两个不同的交点， ∴且， ∴． 由题设有①对任意的总成立， ∵，， ∴①可转化为， 整理得到对任意的总成立， 故，解得，即点M的坐标为． 当直线l的斜率不存在时，， 此时，或，， 则，即M在以为直径的圆上． 综上，以为直径的圆恒过x轴上的定点，且定点的坐标为．    8．（24-25高二上·湖北·期中）已知椭圆的焦点为和，短轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上､下顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）.证明直线与直线交点的纵坐标为定值，并求出该值. 【答案】(1)；(2)证明见解析，定值为4 【解析】（1）根据题意可得：，所以， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线过点，且与椭圆的交点不与重合， 可知直线的斜率存在， 且直线与椭圆必相交，可设直线， 联立方程，消去可得， 由根与系数的关系可得：， 因为，可得直线，直线， 所以 . 即，解得， 所以直线的交点在直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$