专题练测12 二次函数综合与探究（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学练册（武汉专用）

专题练测12　 二次函数综合与探究 2024《中考导学案》 ——武汉数学 1．(2022·武汉四调) 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 解：由题意，得y＝－(x＋1)(x－2)，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图1，D是抛物线上一点，连接AD交线段BC于 点E，若AE＝3DE，求点D的坐标； 解：图1中，过点A作AM∥CO交BC的延长线于点 M，过点D作DN∥CO交BC于点N. ∴AM∥DN.∴△AEM∽△DEN.∴＝3. 由题意可得C(0，2)，由B(2，0)和C(0，2)可得直线 BC的解析式为y＝－x＋2.∴M(－1，3)． 设D(m，－m2＋m＋2)，则N(m，－m＋2)， ∴DN＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m. ∴3(－m2＋2m)＝3，解得m1＝m2＝1.∴D(1，2)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)如图2，平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标． 解：设M，N. ∵MN∥BC，∴设MN的解析式为y＝－x＋n. 联立得x2－2x＋n－2＝0.∴x1＋x2＝2. ∵C(0，2)，B(2，0)，∴设PC的解析式为y＝k1x＋2， PN的解析式为y＝k2x＋t. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∵PN经过点B，∴2k2＋t＝0.∴t＝－2k2.∴PN的解析式为y＝k2x－2k2. ∴－＋x2＋2＝k2x2－2k2， ∴k1＝－x1＋1，k2＝－x2－1. 联立得x＝.∴x＝＝1. ∴点P的横坐标是1. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2021·武汉元调) 如图，经过定点A的直线y＝k(x－2)＋1(k＜0)交抛物线y＝－x2＋4x于B，C两点(点C在点B的右侧)，D为抛物线的顶点． (1)直接写出点A的坐标； 解：A(2，1)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)若△ACD的面积是△ABD面积的两倍，求k的值． 解：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴顶点D的坐标是(2，4)．∴AD⊥x轴． 分别过点B，C作直线AD的垂线，垂足分别为M，N， 设B，C的横坐标分别为x1，x2. ∵S△ACD＝2S△ABD，∴CN＝2BM.∴x2－2＝2(2－x1)， 即2x1＋x2＝6. 联立得x2＋(k－4)x－2k＋1＝0.① 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解得x1＝. ∴2×＝6. 化简，得＝－3k，解得k＝－(舍去正值)． 另解：接上解，由①，得x1＋x2＝4－k. 又由2x1＋x2＝6，得x1＝2＋k.∴(2＋k)2＋(k－4)(2＋k)－2k＋1＝0.解得k＝－(舍去正值)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2023·汉阳区模拟) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2－2ax－3a与x轴交于点A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OC＝OB.Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于点N，当点Q运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：不变．由y＝ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0)．∵OC＝OB，∴－3a＝－3.∴a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 设Q(m，m2－2m－3)． 设直线BQ的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴直线BQ的解析式为y＝(m＋1)x－3(m＋1)．∴M(0，－3m－3)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 同理，直线AQ的解析式为y＝(m－3)x＋m－3. ∵NB∥AQ，∴设直线BN的解析式为y＝(m－3)x＋n. ∵B(3，0)，∴3(m－3)＋n＝0，解得n＝－3m＋9. ∴直线BN的解析式为y＝(m－3)x－3m＋9. ∴N(0，－3m＋9)． ∴线段MN的长度为－3m＋9－(－3m－3)＝12.∴线段MN的长度不变，线段MN的长度为12. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2023·武汉四调) 已知抛物线C1：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)直接写出抛物线C1的解析式； 解：抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－3. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图，将抛物线C1平移得到顶点为原点的抛物线C2，M是x轴正半轴上一动点，N(0，3)．经过点M的直线PQ交抛物线C2于P，Q两点．当点M运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线PQ，使∠PNQ＝90°，求点M的坐标． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：将抛物线C1平移得到顶点为原点的抛物线C2， ∴抛物线C2的解析式是y＝x2. 过点N作TS∥x轴，过点P作PS⊥TS于点S， 过点Q作QT⊥TS于点T， ∴∠PSN＝∠NTQ＝90°. ∵∠PNQ＝90°，∴∠PNS＝90°－∠TNQ＝∠NQT. ∴△PSN∽△NTQ. ∴.∴PS·QT＝NS·NT. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．又∵N(0，3)， ∴(3－y1)(3－y2)＝－x1x2. ∴9－3(y1＋y2)＋y1y2＝－x1x2. ∴9－＋＝－x1x2.∴9－3(x1＋x2)2 ＋7x1x2＋＝0. 设过点M(m，0)的直线PQ的解析式为y＝k(x－m)，联立得x2＝k(x－m)． 整理，得x2－kx＋km＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝k，x1x2＝km. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴k2m2－3k2＋7km＋9＝0.∴(m2－3)k2＋7km＋9＝0. 当m2－3≠0时，Δ＝49m2－36(m2－3)＝13m2＋108＞0， ∴此时关于k的一元二次方程有两个不相等的实数根，即存在两条直线PQ，使∠PNQ＝90°； 当m2－3＝0，即m＝或－(舍去)时，只有唯一的 k值， ∴当m＝时，存在唯一的一条直线PQ，使 ∠PNQ＝90°，此时点M的坐标为. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5.(2020·武汉) 将抛物线C：y＝(x－2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C1，C2的解析式； 解：抛物线C1：y＝(x－2) 2－6， 抛物线C2：y＝x2－6. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图1，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； 解：如图1，设A(m，n)，则n＝m2－4m－2. 当点A在x轴上方时，过点A作AP⊥x轴， 过点B作BQ⊥AP，垂足分别为P，Q. ∵△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形， ∴△ABQ≌△OAP. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴BQ＝AP＝n，AQ＝OP＝m.∴m＝n＋2. 联立解得 或(不合题意，舍去)．∴A(5，3)； 当点A在x轴下方时，同理求得A(4，－2)． 综上所述，点A的坐标是(5，3)或(4，－2)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)如图2，直线y＝kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝－x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点． 证明：由消去y，得x2－kx－6＝0. ∴xE＋xF＝k. ∵M为线段EF的中点，∴xM＝(xE＋xF)＝. ∴点M的坐标是. 同理可得点N的坐标是. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则 解得 ∴直线MN的解析式为y＝x＋2. ∴当x＝0，k为任意不等于0的实数时，总有y＝2， 即直线MN过定点(0，2)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．(2023·洪山区模拟) 如图1，已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线C1的解析式； 解：由题意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，则抛物线C1的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图2，已知点P为第一象限内抛物线C1上的一点，点Q的坐标为(1，0)，∠POC＋∠OCQ＝45°，求点P的坐标； 解：过点C作CF∥OP，过点Q作QF⊥CQ，交CF于点F，过点F作FH⊥x轴于点H，则∠FCQ＝∠FCO＋∠OCQ＝∠POC＋∠OCQ ＝45°. ∴△FCQ为等腰直角三角形．易证Rt△COQ ≌Rt△QHF. ∴FH＝OQ＝1，QH＝CO＝3.∴F(－2，－1)．可得直线CF的解析式为y＝2x＋3. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∵CF∥OP，∴直线OP的解析式为y＝2x. 联立解得 ∵点P在第一象限内，∴P. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)如图3，将抛物线C1平移到以坐标原点为顶点，记为C2，点T(1，－1)在抛物线C2上，过点T作TM⊥TN分别交抛物线C2于M，N两点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标． 证明：过点T作FH∥x轴，过点M作MF⊥FH于点F， 过点N作NH⊥FH于点H. 由题意可知，抛物线C2的解析式为y＝－x2. 设直线MN：y＝kx＋d.由 得x2＋kx＋d＝0.∴xM＋xN＝－k，xMxN＝d. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 由△MFT∽△THN，得MF·HN＝FT·TH， 即＝(1－xM)(xN－1)， ∴(xM＋1)(xN＋1)＝－1.∴xMxN＋xM＋xN＋2＝0. ∴d－k＋2＝0.∴d＝k－2. ∴MN：y＝kx＋k－2＝k(x＋1)－2.当x＝－1时， y＝－2恒成立． ∴直线MN过定点(－1，－2)． 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2023·新洲区模拟) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C. (1)如图1，已知OB＝OC，且点A的坐标为(－1，0)． ①求抛物线的解析式； 解：①当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．∵OB＝OC，∴B(3，0)． 把A(－1，0)和B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3，可得抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ②P为第四象限抛物线上一点，BQ∥CP交y轴于点Q，求△CPQ面积的最大值及此时点P的坐标． 解：②设P(t，t2－2t－3)．又C(0，－3)，可得直线 CP的解析式为y＝(t－2)x－3. ∵BQ∥PC，∴可设直线BQ为y＝(t－2)x＋b′， 则3(t－2)＋b′＝0.∴b′＝－3t＋6. ∴Q(0，－3t＋6)．∴S△CPQ＝(－3t＋6＋3)t＝－. ∴当t＝时，S△CPQ取得最大值，此时P. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图2，F为y轴正半轴上一点，过点F作DE∥BC 交抛物线于D，E两点(D在E的左边)，直线AD，AE 分别交y轴于N，M两点，求ON－OM的值． 解：设D，E两点的横坐标分别为m，n，直线DE的 解析式为y＝kx＋p. 联立得ax2＋(b－k)x－p －3＝0.∴m＋n＝. ∴k＝a(m＋n)＋b，p＝－3－amn.∴直线DE的解析式为y＝(am＋an＋b)x－3－amn. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 同理，直线AD：y＝(am＋axA＋b)x－3－amxA， 直线AE：y＝(an＋axA＋b)x－3－anxA， 直线CB：y＝(axB＋b)x－3. ∵DE∥BC，∴am＋an＋b＝axB＋b.∴xB＝m＋n. ∵M(0，－3－anxA)，N(0，－3－amxA)， ∴OM＝－3－anxA，ON＝3＋amxA. ∴ON－OM＝3＋amxA－(－3－anxA)＝6＋axA(m＋n)＝6＋axAxB. 又∵xAxB＝，∴ON－OM＝6＋a·＝3. 返回首页 专题练测12　 二次函数综合与探究 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 $$