专题7 直线型的计算与证明（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

专题7　直线型的计算与证明 2024《中考导学案》 ——武汉数学 证明两个三角形全等的基本思路： (1)已知两边 三角形的计算与证明 类型 1 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)已知一边一角 (3)已知两角 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C. (1)求证：∠EAD＝∠EDA； [解答]　证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(AAS)．∴AE＝ED.∴∠EAD＝∠EDA. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积． 解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED， ∴△AED为等边三角形． ∴AE＝AD＝ED＝4. 过点A作AF⊥ED于点F，∴EF＝ED＝2. ∴AF＝. ∴S△AED＝. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·苏州) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF. (1)求证：△ADE≌△ADF； 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.由作图知AE＝AF. 在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF(SAS)． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠BAC＝40°. 由作图知AE＝AD.∴∠AED＝∠ADE.∴∠ADE＝×(180°－40°)＝70°. ∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC.∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 平行四边形及特殊平行四边形的计算与证明 类型 2 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； [解答]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. ∵BE＝DF，∴EO＝FO.∴四边形AECF是平行四边形． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 解：∵BE＝EF，∴S△AEF＝S△ABE＝2. ∵四边形AECF是平行四边形，∴S△CEF＝S△AEF＝2，EO＝FO. ∴S△CFO＝S△CEF＝1. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·眉山) 如图，▱ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F. (1)求证：AF＝AB； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB，CD＝AB. ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F.∵E是AD的中点，∴DE＝AE. ∴△CDE≌△FAE(AAS)． ∴CD＝AF.又∵CD＝AB，∴AF＝AB. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长． 解：∵AG＝2，FG＝6，∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8. ∴AB＝AF＝8. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8. ∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，∴∠F＝∠FCG.∴CG＝FG＝6. ∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH.∴，即.∴GH＝1.2. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. (1)求证：AE∥BF； [解答] 证明：∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD.∴AC＝BD. 又∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD(SSS)． ∴∠A＝∠B.∴AE∥BF. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形． [解答] 证明：∵△AEC≌△BFD(SSS)，∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF. 又∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形． 又∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·长春) 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD. (1)求证：四边形AFDC是平行四边形； 证明：∵△ACB与△DFE是完全相同的三角形，∴△ACB≌△DFE. ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE.∴AC∥DF.∴四边形AFDC是平行四边形. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为_______cm. 18　[连接CF交AD于点O. ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6 cm， ∴AC＝(cm)． ∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO.∴∠AOC＝90°. ∴AO＝＝9(cm)．∴AD＝2AO＝18 cm.] 18 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：FA＝BD； [解答] 证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC. 又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴FA＝BD. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形． [解答] 证明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形． 又∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF是矩形． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·乐山) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边上任意一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF. (1)求证：四边形ECFD是矩形； 证明：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形ECFD为平行四边形． 又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离． 解：过点C作CH⊥EF于点H.在Rt△ECF中，CF＝2， CE＝4， ∴EF＝. ∵S△ECF＝×EF·CH，∴CH＝. ∴点C到EF的距离为. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6   利用旋转的性质得到对应线段相等及旋转角，利用特殊角构造全等或相似． 几何图形的旋转变换 类型 3 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2023·孝感) 如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则 h＝. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 例5：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F，则CF＝h，根据全等三角形的判定与性质及解直角三角形求解即可． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·武汉四调) 在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(2，0)，将线段AB绕点A逆时针旋转120°，则点B的对应点C的横坐标是. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 变式：连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AE⊥CF于点E.先利用勾股定理求出AC，CB的长，再令点C(x，y)，根据勾股定理列出方程组求解即可． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6   1．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 2．在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的横、纵坐标比都等于k或－k.(若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去) 几何图形的位似变换 类型 4 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶ 2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°.则点C′的 坐标为_______________.(结果用含a，b的式子表示) (6－2a，－2b) 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 例6：过点C作CM⊥AB于点M，过点C′作C′N⊥AB′于点N，根据相似三角形的判定和性质即可得到结果. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·嘉兴) 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是 (　　) A．(2，4)　　　　 B．(4，2)　　　　 C．(6，4)　　　　 D．(5，4) C 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6   1．折叠的本质是轴对称，折叠前后的对应线段、对应角相等． 2．折痕是角平分线，对应点连线被对称轴垂直平分． 几何图形的翻折变换 类型 5 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图1为一张正三角形纸片ABC，其中点D在AB上，点E在BC上．以DE为折线将点B往右折后，BD，BE分别与AC相交于点F、点 G，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度 是__________. 9 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 例7：证明△AFD∽△BFG，即可求出FG＝7，由折叠的性质求出AB，AC，进而求得CG. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·武汉) 如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝ n，用含m，n的式子表示GH的长是. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 变式：根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，则S四边形ACED＝S△BDE＝S△FDE，得到S△FHG＝S△ADG＋S△CHE，根据相似三角形的判定和性质即可得到结果. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6   仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角 几何应用 类型 6 仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在 水平线上方的角叫仰角，视线在水平线 下方的角叫俯角 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫 坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水 平线的夹角α叫坡角，i＝tan α＝ 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 方向角 指北或指南的方向线与目标方向线 所成的小于90°的锐角叫做方向角． 注意：东北方向指北偏东45°方 向，东南方向指南偏东45°方向， 西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 (2023·荆州) 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则 该校的旗杆高约为__________m.≈1.73，结果精确到0.1 m) 13.8 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 例8：分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2023·张家界改编)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图所示．先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的点P，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q，测得 奇楼底端B的俯角为45°，则奇楼AB的高度约为__________m.(结果精确到1 m，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27) 110 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 变式：延长BA交PQ的延长线于C，则∠ACQ＝90°，根据题意得到BC＝225 m，PQ＝200 m，解直角三角形即可得到结果． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120 cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面长 60 cm的木杆的影长为90 cm(其影子完全落在地面上)．立柱AB的高度为m. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 例9：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可． 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 ☞变式　(2020·孝感模拟) 某拦水坝的横截面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为α，且tan α＝，背水坡AD的坡度为i＝2∶5(i为坡面的铅直高度AE与水平宽度DE的比)，坝面宽AB＝3 m，坝高AE＝12 m，则坝底 宽CD＝__________. 49 m 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 变式：过点B作BF⊥CD于点F，则BF＝AE＝12 m，根据tan α＝，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度i＝2∶5，可得DE的长，且AB＝EF，坝底CD＝DE＋EF＋FC，可得出答案. 返回首页 专题7　直线型的计算与证明 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 类型6 本讲内容结束 请完成《练测本》P82～84专题练测7 $$