专题1 规律探求（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

专题1　规律探求 2024《中考导学案》 ——武汉数学   关于这类题型，可以从问题的简单情形或特殊情形入手，通过简单情形或特殊情形的猜想和实验发现一般规律，并利用含有n的代数式表示一系列数(或式)与个数之间的规律．对于有周期性规律的问题要先找出循环周期n；再用n(设问中给出的第n次变化)除以n，当商b余m(0≤m<n)时，第n次变化对应的数即为一个循环变化中第m次变化后所对应的数． 数、式通项规律 类型 1 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 按一定规律排列的一组数据： ，….则按此规律排列的第10个数是(　　) A．－ B． C．－ D． A 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例1：把第3个数转化为，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2＋1，且奇数项符号为正，偶数项符号为负，据此即可求解． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式　(2023·聊城) 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其 中的规律．请写出第n个数对：_______________________. (n2＋n＋1，n2＋2n＋2) 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式：把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的规律． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝.若a1＝2，则a2 023的值 是(　　) A．－ B． C．－3 D．2 A 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例2：根据题意可把a1＝2代入求得a2＝－3，a3＝－，a5＝2，…，由此可得规律求解． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   1．对于求某个大数或式子的末位数字或所在位置，一般用循环规律解题，先找到一个循环周期，用项数除以周期，余数即为第一个周期内对应的末位数字或所在位置． 2．仔细观察所给数字、式子，找出其与序数之间的关系．若所给数字、式子的正负号交替出现，则用(－1)2n或(－1)2n-1表示符号；若所给数字、式子既有整数又有分数，将整数写成分数，再分别观察分子、分母的规律． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   对于图形个数变化规律探索题，解决的一般步骤：(1)标序号：记每个(组)图形的序数为“1，2，3，…，n”；(2)数图形个数：观察每个图中所求量的个数的变化规律；(3)找出规律：a1，a2，a3，…，an与对应序数之间的关系(如倍数、平方、等差等)，列出含n的代数式；(4)验证：代入序号检验所得式子是否正确． 图形规律 类型 2 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木 棍根数是(　　) A．39 B．44 C．49 D．54 B 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例3：根据各图形中木棍的根数发现计数的规律即可得到答案． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式　(2023·十堰) 用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为__________(用含n的式子表示)． 6n＋6 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式：当n＝1时，有2×(1＋1)＝4(个)三角形；当n＝2时，有2×(2＋1)＝6(个)三角形；当n＝3时，有2×(3＋1)＝8(个)三角形；第n个图案有2(n＋1)＝(2n＋2)个三角形，每个三角形用三根火柴棍计算即可. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   解答图形累加规律的方法 第一步：标序号——按图号标序； 第二步：数图形个数——观察(计算)每个图中所求量的个数； 第三步：找规律——将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，对求出的结果进行一定的变形(变换成与序数n有关的式子)，使其呈现一定的规律，得到第n个图中所求量的个数． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2020·恩施州改编) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，0)，B(1，2)，C(1，－2)．已知N(－1，0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点 N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类 推，则点N2 023的坐标为__________. (－3，0) 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例4：根据对称的性质可依次求得N1，N2，N3，N4，N5，N6点的坐标，发现N(－1，0)经过6次变换后开始循环，由此可得N2 023的坐标． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式　(2023·泰安) 已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2 023的坐标是. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式：根据等边三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1的横坐标为1，点A2的横坐标为2，点A3的横坐标为3，点A4的横坐标为4，…，因此点A2 023的横坐标为2 023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2 023在第一象限，求出点A2 023的纵坐标为． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   解答几何图形循环(旋转)变换类的一般解题思路：(1)先观察点坐标(图形)变化的规律是顺时针还是逆时针或循环交替出现，找出循环一周的变换次数，记为n；(2)用m÷n＝w……q(0≤q<n)，则第m次变换后的点坐标(图形)就是一个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形)，或存在一定的倍分关系；(3)根据题意找出第q次变换后对应的点坐标(图形)，即可推断出第m次变换后对应的点坐标(图形)． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   对于求某个数的位置或者某个位置的数时需分析数阵中数的排列方式：(1)每行、列的个数；(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)等. 数阵规律 类型 3 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a－b的值为(　　) C A．2 003 B．2 004 C．2 022 D．2 023 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例5：观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；每一行分数分子分母的和为所在行数＋1. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 将从1开始的连续自然数按以下规律排列，若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是__________. (10，18) 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例6：根据第n行的最后一个数是n2，第n行有(2n－1)个数即可得出答案. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式　正整数按图中的规律排列，请找出2 023的位置是(　　) C A．45行5列　 B．45行4列　 C．45行3列　 D．45行2列 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式：通过观察发现，每一行的第一个数是n2，由此可知第45行的第一个数是2 025，再求2 023的位置即可． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   如果完成一件事有n种不同方案，在每类方案中又有多种不同方法，那么完成这件事的不同方法计数是各类不同方法种数的和．如果完成一件事共有n个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积． 计数中的规律 类型 4 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2020·武汉) 如图所示的所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住 其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是(　　) A A．160 B．128 C．80 D．48 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例7：先计算出6×6方格纸片中共含有多少个3×2方格纸片，再乘4即可得出答案． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 (2023·武汉调考) 有8条不同的直线y＝knx＋bn(n＝1，2，3，4，5，6，7，8)，其中k1＝k2＝k3，b4＝b5＝b6，则这8条直线的交点个数最 多是(　　) A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 C 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例8：通过一次项系数相等的一次函数图象对应的直线平行，可知l1∥l2∥l3，b4＝b5＝b6三条直线交于一点．想要直线交点尽可能多，则后出现的直线与前面所有直线有不同交点，画图可得结果． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式1　(2023·武汉) 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N＋L－1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A(0，30)，B(20，10)，O(0，0)，则 △ABO内部的格点个数是(　　) A．266 B．270 C．271 D．285 C 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式1：根据公式，先计算出S和L的值，即可求出N的值． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式2　(2023·硚口区调考) 有3个不同的函数y＝(km为不为0的常 数，m＝1，2，3)；4个不同的二次函数y＝anx2＋cn(n＝1，2，3，4)． 则这7个函数的图象的交点个数最多是(　　) A．36个 B．48个 C．60个 D．72个 C 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式2：分三种情况，3个不同的函数y＝与4个不同的二次函数y＝anx2＋cn的交点个数，4个不同的二次函数y＝anx2＋cn之间最多的交点个数，3个不同的函数y＝之间的交点个数，然后再相加即可． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录   从定义知识的新情景问题入手或从数学理论应用探究问题入手或从日常生活中的实际问题入手类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题． 新定义 类型 5 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优数，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是__________；第23个智慧优数 是__________. 15 57 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例9：根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 ☞变式　如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为 “幸福数”．下列数中为“幸福数”的是(　　) A．205 B．250 C．502 D．520 D 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 变式：设较小的奇数为x，较大的奇数为x＋2，根据题意列出算式，求出解判断即可． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 【问题背景】现定义一种新运算“⊙”，对任意有理数m，n，规定：m⊙n＝mn(m－n)． 例如：1⊙2＝1×2×(1－2)＝－2. 【问题推广】(1)化简：(a＋b)⊙(a－b)； [解答] 解：∵m⊙n＝mn(m－n)， ∴(a＋b)⊙(a－b)＝(a＋b)(a－b)(a＋b－a＋b)＝2b(a2－b2)＝2a2b－2b3. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 【拓展提升】(2)若x2y⊙(x⊙y)＝xpyq－xqyp，求p，q的值． [解答] 解：x2y⊙(x⊙y)＝x2y⊙[xy(x－y)] ＝x2y⊙(x2y－xy2) ＝x2y(x2y－xy2)(x2y－x2y＋xy2) ＝x2y(x2y－xy2)·xy2 ＝x3y3(x2y－xy2) ＝x5y4－x4y5. 又∵x2y⊙(x⊙y)＝xpyq－xqyp，∴p＝5，q＝4. 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 例10：(1)根据新定义，直接将所求式子化简；(2)根据新定义，对等式左边进行化简，再与等式右边对应，即可得p，q的值． 返回首页 专题1　规律探求 首页 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P69～71专题练测1 $$