第20讲 圆的基本概念与性质（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第20讲　圆的基本概念与性质 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 圆的相关概念及性质 圆的定义 圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 圆的确定 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_______的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦，直径等于__________的2倍 [两要素：圆心(定点)，半径(定长)] 圆心 半径 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧．小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆的对 称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形．任何一条直径所在直线都是它的对称轴(无数条)，圆心是圆的对称中心 圆的旋转不变性 圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合 圆的特有性质，区别于其他平面图形． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 1．如图，点A，B，C均在半径为3的⊙O上，连接AB，BC，AC，OB，AC过点O. (1)⊙O的弦有__________条，最长的弦是__________； (2)弦AB所对的圆心角是__________，所对的圆周角是__________； (3)⊙O的劣弧有__________条，优弧有__________条． 3 AC ∠AOB ∠ACB 2 2 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2．(2023·江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则 经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为__________个． 6 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 垂径定理及其推论 垂径定理 垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径__________弦，并且平分弦所对的两条弧 平分 垂直于 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 常用结论 根据圆的对称性，如图，给出以下五个结论：(1)；(2)；(3)AM＝BM；(4)AB⊥CD(AB不是直径)；(5)CD是直径． 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三” 半径OA＝r，圆心O到弦AB的距离OM＝d，弦AB＝a 常作辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，得r2＝d2＋ 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【易错提醒】 1．在使用垂径定理的推论时注意“弦(不是直径)”这一条件，因为所有的直径互相平分，但互相平分的直径不一定垂直． 2．利用垂径定理时，易忽视弦在图中的不同位置，从而造成漏解．图形如下(弦AB∥CD，弦AB，CD间的距离为d)： (d＝OE＋OF)　 (d＝OF－OE) 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则 ⊙O的半径的长为__________． 5 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 4．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm， 则AE的长为__________． 8cm或2cm 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【易错提醒】在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件．若给出等弧即确定了是等圆或同圆，而等弦和长度相等的弧不一定是在同圆或等圆中． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 5．下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．等弦所对的圆心角相等 B 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 圆周角定理及其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 常见图形 结论 ∠P＝_______∠AOB　 [] 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； . 常用于构造直角 三角形． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【提分技法】 1．在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、弧的数量关系： (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角的度数等于它所对的弧的度数． (3)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． 2．已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要分类讨论(分圆周角顶点在优弧和劣弧上两种情况)． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 6．(2023·巴中) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则 ∠BAO＝(　　) D A．25°　 B．50° C．60° D．65° 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 7．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，交AB于点M，交AC于点N， ∠A＝74°，则∠MON的度数为__________． 32° 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 圆内接四边形 定义 所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形 性质 (1)圆内接四边形的对角__________.如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角．如图，∠DCE＝__________ 互补 ∠A 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 8．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为__________． 52° 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是__________寸． 垂径定理及其推论 命题点 1 数学文化 26 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 例1：由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理求出r. 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm， 水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为_______cm. 16 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 例2：过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，构造Rt△AOC，由垂径定理可得AC＝BC，根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝(　　) 圆周角定理及其推论 命题点 2 A．23° B．24° C．25° D．26° D 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 例3：连接OC，根据圆周角定理可求得∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC的度数，再利用圆周角定理可求解． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 (2023·黄冈) 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接 AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝(　　) D A．70° B．60° C．50° D．40° 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 例4：根据圆周角定理得∠B＝20°，由三角形的外角性质得∠BDP＝50°，由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，可求出∠ADC. 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 命题点1 命题点2 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·赤峰) 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接 OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD.则∠CBD的度数是(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° A 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2023·甘肃) 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O 上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝__________°. 35 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．如图，点A，B，C均在⊙O上，点D在AB的延长线上．若∠AOC＝ 124°，则∠CBD的度数为__________. 62° 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．如图，AB为⊙O的一条弦，且点C在AB上．若AC＝6，BC＝2，圆心 O到弦AB的距离为3，则OC的长度为． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．(2022·云南改编)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB ⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的正切值为． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作 CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为． 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．一题多解法如图，AB＝AC，求证：AD＝AE. 证明：(方法一)连接DE， 则∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE. (方法二)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴.∴.∴BD＝CE. ∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE. 返回首页 第20讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P49～50素养综合练测20 $$