第19讲 矩形、菱形、正方形（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第19讲　矩形、菱形、正方形 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 矩形 矩形 . . . 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 矩形 . ____ 判定 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．矩形的两条对角线把矩形分成4个面积相等的等腰三角形． 2．矩形的折叠必然会产生全等三角形及对应的等量关系． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线 交BC于点E，若∠EAC＝15°，则∠COE的度数为__________． 45° 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能 判定平行四边形ABCD为矩形的是(　　) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC C 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 菱形 菱形 性质 . 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 菱形 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．菱形的两条对角线把菱形分成4个全等的直角三角形． 2．连接菱形一边的中点与两条对角线的交点可以形成直角三角形斜边上的中线或等腰三角形的中位线． 3．菱形的任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形． 4．若菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形． 5．菱形是特殊的平行四边形，所以菱形的面积也可表示为S＝底×高． 【知识拓展】对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线乘积的一半． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．(人教八下P57练习T1改编) 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AB，BC的中点．若AB＝5，BD＝8，则线段 EF的长为__________． 3 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积为__________． 24 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得 四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是_____________________． AC⊥BD(答案不唯一) 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 正方形 正方形 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 正方形 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 正方形 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形． 2．正方形的边长与对角线的长度之比为1∶. 3．矩形、菱形、正方形被任意一条过对角线交点的直线平分成面积相等的两部分． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 6．(人教八上P68习题T8改编) 如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边 AB与BC的中点，AE与DF相交于点P.则下列结论成立的是(　　) A．BE＝AE B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC C 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 7．正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为． 8．判断： (1)有一个角是直角的平行四边形是正方形；(　　) (2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(　　) (3)有一组邻边相等的菱形是正方形；(　　) (4)各边都相等的四边形是正方形．(　　) × √ × × 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系 从边、角的角度看 从对角线的角度看 相等 直角 90° (直角) 相等 相等 互相垂直 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 9．用如图所示的方式可以表示四边形与特殊的四边形的关系，则图中 的“M”表示__________，“N”表示__________． 正方形 菱形 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB ＝4，CE＝10，则AG＝(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 矩形的性质与判定 命题点 1 C 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例1：由F为CE的中点，得BG＝BF＝CE，根据勾股定理可得AG＝＝3. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°， 则＝(　　) A． B． C． D． D 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例2：先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO＝60°，进而得到∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，tan 30°＝. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　数学文化(2023·内江) 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥ AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG＝． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式：连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝13，求得OB＝OC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·上海) 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法 能使四边形ABCD为矩形的是(　　) A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D C 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例3：若∠A＝∠B，则∠A＝∠B＝90°，AB的长为AD与BC间的距离．又AB＝CD，则∠C＝∠D＝90°，能使四边形ABCD为矩形． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的 度数为(　　) 菱形的性质与判定 命题点 2 C A．20° B．60° C．70° D．80° 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式(2023·东营) 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′ 的坐标是(　　) A． B． C． D． B 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中点，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连接AE交CD于点F. 一题多解法 (1)求证：四边形ABCD是菱形； [解答]证明：∵AD∥BE，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠BDE＝90°，C是BE的中点，∴BC＝DC.∴四边形ABCD是菱形． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若BD＝8，菱形ABCD的面积为40，求DE的长． 解：(方法一)连接AC. ∵S菱形ABCD＝，∴＝40.∴AC＝10. ∵AD∥BE，AD＝BC＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝10. (方法二)∵SΔBDE＝S菱形ABCD，∴＝40.∴DE＝10. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·天津) 如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝. 正方形的性质与判定 命题点 3 (1)△ADE的面积为__________； (2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于 点G，则AG的长为． 3 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·巴中) 如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan ∠ABG＝，正方形ABCD的边长为8， 则BH的长为__________. 10 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　(2022·硚口区期末) 问题背景 (1)如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM. 证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°. 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴∠BAE＝∠DAF. ②由(1)知△ABE≌△ADF，∴AE＝AF. ∵M为AF的中点，∴DM＝AF.∴AE＝2DM. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式关联 (2)如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM. 证明：①延长BE交DF于点G，交CD于点H. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，CB＝CD. ∵BE⊥DF，∴∠BGD＝∠BCD＝90°. 又∵∠BHC＝∠DHG，∴∠CBE＝∠CDF. 又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝∠ECD＋∠BCE＝∠BCD＝90°.∴CE⊥CF. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 证明：②延长DM到点N，使MN＝DM，连接AN. ∵M为AF的中点，∴AM＝MF. 又∵∠AMN＝∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)． ∴∠NAM＝∠DFM，AN＝DF. ∴AN∥DF.∴∠DAN＋∠ADF＝180°. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝DA. ∵∠BGD＝90°，∴∠ABE＋∠ADF＝180°.∴∠ABE＝∠DAN. 又∵BE＝DF，∴BE＝AN.∴△ABE≌△DAN(SAS)．∴AE＝DN＝2DM. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 拓展应用 (3)如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出(AE＋AF)2的最小值． 解：(AE＋AF)2的最小值为8＋4. [过点D作DP⊥DF，且使PD＝AB，连接PF，PA， 过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q. 又∵BE＝DF，∠FDP＝∠EBA＝90°，∴△ABE≌△PDF(SAS)．∴AE＝PF. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴AF＋AE＝AF＋PF≥AP，即当A，F，P三点共 线时，AE＋AF的最小值为AP. ∵∠ADB＝45°，∴∠PDQ＝45°，DQ＝PQ. ∵AD＝AB＝DP＝2，∴PQ＝DQ＝. ∴AP2＝AQ2＋QP2＝2＋2＝8＋4. ∴(AE＋AF)2的最小值为8＋4.] 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连接AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求 出S－S1－S2的值，只需知道(　　) A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积 C 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2023·苏州) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当 移动时间为4秒时，AC·EF的值为(　　) A． B．9 C．15 D．30 D 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2023·贵州) 如图，在矩形ABCD中，E为矩形内一点，且AB＝1，AD＝，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 ． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2023·枣庄) 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的 长为． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2023·甘肃) 如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB， DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝cm. 2 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2023·十堰) 如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24， BD＝8，则EF＋GH＝__________． 6 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2023·大连) 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至点E，使CE＝2，连接AE.CF平分∠DCE交AE于点F，连接DF，则DF的长为 ． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·内蒙古) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E. (1)如图1，连接QA.当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由； 解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上． 理由：图1中，连接QC. ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC.∴QA＝QC. ∵QA＝QP，∴QC＝QP.∴点Q在线段PC的垂直平分线上． 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，①求证：AE＝2EP；②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长(用含a的代数式表示)． ①证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABD＝∠CBD. ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB. ∵∠BAP＝∠ADB，∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD. ∴AE＝BE. ∵∠APB＝90°，∴∠BAP＋∠ABP＝90°.∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°. 在Rt△BPE中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，∴EP＝BE.∴EP＝AE.∴AE＝2EP. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ②解：图2中，连接QC.∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∵∠APB＝90°，∴BP＝CP.∵EP＝a， ∴AE＝2a，AP＝3a. 在Rt△APB中，tan ∠ABP＝，∴BP＝a.∴CP＝BP＝a. ∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，∴△AOE≌△COQ(SAS)． ∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO.∴AE∥CQ.∴∠QCP＝∠APB＝90°. 在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ＝a. 返回首页 第19讲　矩形、菱形、正方形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P45～46素养综合练测19 请完成《练测本》P47～48第五单元滚动集训 $$