小专题3 常见相似模型（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

小专题3　常见相似模型 2024《中考导学案》 ——武汉数学 有一个公共角或有公共顶点的一对等角，此时需要找另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论． A字型 模型 1 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 ―→ 正A字型(DE∥BC) 斜交型 双垂直共角型 已知：∠1＝∠2，结论：△ADE∽△ABC. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．(2023·杭州) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直 线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝_________(结果用含k的代数式表示)． 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，△ABC∽△ECF. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录   有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似．不仅要熟记模型，还要熟记模型的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC可以得到AC2＝AD·AB. 母子型 模型 2 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 母子型，也称共边共角型 双垂直共角共线型，也称射影定理型 已知：∠ACD＝∠ABC　结论：△ACD∽△ABC 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．(2022·江西) 如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB； 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠ACB. ∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE. 又∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，即＝.∴AE＝9. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 3．问题探究 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高． 求证：①CD2＝AD·BD；②BC2＝AB·BD. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 证明：①∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°.∴∠ACD＋∠BCD＝90°＝∠BCD＋∠CBD. ∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△CBD.∴＝.∴CD2＝AD·BD. ②∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB.∴＝.∴BC2＝AB·BD. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 迁移运用 (2)如图2，圆内接四边形ABCD中，对角线AC是直径，BD＝AB，BE⊥AC，若BE＝4，CD＝6，求CE的长． 解：图2中，延长BO交AD于点G，连接OD. ∵OA＝OD，AB＝BD，∴直线BG是线段AD的垂 直平分线．∴∠AGO＝90°，AG＝DG. ∵BE⊥AC，∴∠AGO＝∠BEO＝90°. 又∵∠AOG＝∠BOE，OA＝OB，∴△AGO≌△BEO(AAS)． 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 ∴AG＝BE＝4.∴DG＝AG＝4.∴AD＝8. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°. ∵CD＝6，∴AC＝＝10. ∵∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠BAE＋ ∠ABE＝90°，∠ABE＋∠CBE＝90°. ∴∠BAE＝∠CBE.∴△ABE∽△BCE.∴＝.∴＝.∴CE＝2或8(舍去)． ∴CE的长为2. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一对角相等．若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论． 8字型 模型 3 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 AB∥CD正8字型 ∠A＝∠C或∠B＝∠D斜8字型 AB∥CD∥EF三平行型 ∠A＝∠C或∠ABF＝∠CDF共享型 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 4．(2023·乐山) 如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连 接AC，DE交于点F.若＝，则＝______． 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 4：通过证明△AEF∽△CDF，可得＝＝，即可求解． 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边CB，AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F. (1)求证：△DBF∽△EBC； 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABC，∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角， ∴∠ABC＝∠DAB＋∠D，∠ACB＝∠EBC＋∠E. ∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E. 又∵∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)如果AB＝BC，求证：EC2＝DF·DA. 证明：∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC， ∴∠DBF＝∠DAB. 又∵∠D＝∠D，∴△DBF∽△DAB.∴＝， 即DB2＝DF·DA. 在△ADB和△BEC中，∴△ADB≌△BEC(AAS)． ∴DB＝EC.∴EC2＝DF·DA. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录   根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似，该模型的难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似，旋转、勾股定理、锐角三角函数等. “手拉手”旋转型 模型 4 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 6．(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE. 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)如图2，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，AB＝BC，连接BD，CE，求的值． 解：∵AB＝BC，设BC＝4x，则AB＝3x. ∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝5x. ∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE.∴＝，∠DAE＝∠BAC. ∴＝，∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE. ∴∠DAB＝∠EAC.∴△DAB∽△EAC.∴＝＝＝.即的值为. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．点P在线段AB上(同侧型) 一线三等角型(K型) 模型 5 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．点P在线段AB的延长线上(异侧型) 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 7．(2023·东营) 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC， AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　) C A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 7：先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC ∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长． 返回首页 小专题3　常见相似模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 本讲内容结束 $$