小专题2 与角平分线有关的辅助线作法（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 2024《中考导学案》 ——武汉数学 . . 过角平分线上的点向角两边作垂线 方法 1 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 1．如图，直线AB∥CD，且这两条直线距离为8，∠AEF与∠EFC两角 的平分线交于点P，则点P到EF的距离为(　　) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 C 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 2．如图，在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上有一动点P，在直线AE上取点Q，使得BQ＝BP. (1)如图1，当点P在线段AC上时，∠BQA＋∠BPA＝__________°； 解：180　[图1中，作BM⊥AE于点M.证Rt△BMQ≌Rt△BCP(HL)．] 180 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 (2)如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ，AP，AC三条线段之间的数量关系，说明理由； 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 解：AQ－AP＝2AC，理由：图2中，作BM⊥AE于点M. ∵AB平分∠EAF，BC⊥AF，∴∠BAM＝∠BAC， ∠BMA＝∠BCA＝90°. 又∵AB＝AB，∴△ABM≌△ABC(AAS)． ∴AM＝AC，BM＝BC. 在Rt△BMQ和Rt△BCP中，∴Rt△BMQ≌Rt△BCP(HL)．∴PC＝QM. ∴AQ－AP＝(AM＋QM)－(PC－AC)＝AM＋AC＝2AC. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 (3)在满足(1)的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出 AQ，AP，PC三条线段之间的数量关系为_________________________ ________． 解：AQ－AP＝2PC或AP－AQ＝2PC　[当点P在线段AC上时，AQ－AP＝2PC；当点P在线段AC的延长线上时，AP－AQ＝2PC.] AQ－AP＝2PC或AP－AQ ＝2PC 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 若P是∠MON的平分线上的一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA.利用图形的对称性，在角的两边构造轴对称图形(全等三角形)，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行等量代换是一种常用的技巧． 在角两边截取，构造轴对称图形 方法 2 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 3．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝5，BD＋BC＝18，求AB的长． 解：在BC上截取CE＝AC，连接DE. ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ECD. 又∵CD＝CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)．∴AD＝ED，∠A＝∠CED. ∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B.∴∠EDB＝∠B. ∴AD＝ED＝EB.∴BC＝CE＋EB＝AC＋AD. ∵AC＝5，BD＋BC＝18，∴AB＝AD＋BD＝BD＋BC－AC＝18－5＝13. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 若P是∠MON的平分线上的一点，AP⊥OP于 点P，延长AP交ON于点B，则△AOB为等腰三角形． 构造此模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系 起来了，可以利用等腰三角形的“三线合一”性质， 也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等． “角平分线”＋“垂线”，利用等腰三角形“三线合一” 方法 3 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 4．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的 面积为16 cm2，则△PBC的面积为(　　) A．4 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．不能确定 B 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 5．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B的直线BE交直线AC于点D，CE⊥BE于点E，当BE平分∠ABC时，求证：BD＝2CE. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 证明：延长CE，BA交于点F. ∵CE⊥BE于点E，BE平分∠ABC，∴∠BEC＝ ∠BEF＝90°，∠CBE＝∠FBE. 又∵BE＝BE，∴△CBE≌△FBE(ASA)． ∴CE＝FE.∴CF＝2CE. ∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACE. 又∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF(ASA)． ∴BD＝CF.∴BD＝2CE. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 1．若点P是∠MON平分线OP上一点，且PQ∥ON，可以构造等腰△OPQ，利用等腰三角形的性质解题； 2．有角平分线无平行就构造平行，同样可以得到等腰△OPQ.可简记为“角平分线＋平行线，等腰必呈现”． “角平分线”＋“平行线”，构造等腰三角形 方法 4 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数； 解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝36°. ∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 (2)求证：FB＝FE. 证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 7.(1)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.直接写出线段EF与BE，CF之间的数 量关系：_______________． EF＝EB＋FC 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 解：(1)EF＝EB＋FC [∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB. ∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB. ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO. ∴EB＝EO，FC＝FO. ∵EF＝EO＋FO，∴EF＝EB＋FC.] 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 (2)如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F.则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 解：EF＝BE－CF. 理由：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC. ∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC.∴∠EBO＝ ∠EOB.∴EB＝EO.同理可得FO＝CF. ∵EF＝EO－FO，∴EF＝BE－CF. 返回首页 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 方法1 方法2 方法3 方法4 总目录 本讲内容结束 $$