小专题1 常见全等模型（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

小专题1　常见全等模型 2024《中考导学案》 ——武汉数学 平移模型中，有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行，常要在移动方向上加(或减)公共线段，得到线段相等，或利用平行线的性质得到对应角相等． 平移型 模型 1 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．(2022·宜宾) 已知：如图，点A，D，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF.求证：AD＝CF. 证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF. 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)． ∴AC＝DF.∴AC－DC＝DF－DC，即AD＝CF. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，重合的点就是全等三角形的对应点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．此模型分为以下两类情况： 轴对称型(折叠型) 模型 2 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．共边(共直线)型 公共边AC 公共边BC，∠AOB＝∠DOC 公共边AC 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．共顶点(共角)型 ∠BAC＝∠DAE 公共角∠A 公共角∠EAC 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．(2023·长沙) 如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥ AC，垂足分别为D，E. (1)求证：△ABE≌△ACD； 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°. 在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(AAS)． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6. 在Rt△ACD中，AC＝＝＝10. ∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．共顶点旋转型(含手拉手模型) 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．(注：遇到共顶点，等线段考虑用旋转) 旋转型 模型 3 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (1)无重叠型 (2)有重叠型 ∠1＝∠2⇔ ∠BAC＝∠DAE 两个等边三角形 两个等腰直角三角形 两个正方形 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．不共顶点旋转型 所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕对称中心旋转180°，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 3．(2023·大连) 如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F.BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD. 证明：∵∠ACB＋∠ACF＝∠ACF＋∠AED＝180°， ∴∠ACB＝∠AED. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)．∴AB＝AD. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 4．(2023·临沂)如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD. (1)写出AB与BD的数量关系． 解：结论：AB＝(＋1)BD. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF.求证：EF⊥AB. 证明：如图，在△BCD和△ECF中， ∴△BCD≌△ECF(SAS)． ∴∠E＝∠CBD＝90°－∠ABC＝45°，BD＝EF. ∴BD∥EF.∵BD⊥AB，∴EF⊥AB. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH. 证明：延长CH交EF的延长线于点J. ∵∠ACE＝180°－∠ACB＝135°，CH平 分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°. ∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ. ∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°.∴CE＝EJ＝CB. 由(1)知，BC＝(＋1)BD＝BD＋AB，EJ＝EF＋FJ，∴FJ＝AB＝AC. 又∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH(AAS)．∴AH＝FH. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半． 思想方法：通过旋转(或截长补短)构造全等三角形，实现线段的转化． 解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系． [半角模型(题中出现角度之间的半角关系)：利用旋转→证全等→得到相关结论] 半角型 模型 4 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (一)90°－45°型 1．正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°. 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④△AEF的周长＝2AB；⑤EC，FC分别平分∠BEF和∠EFD. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．等腰直角三角形半角模型 条件：△ABC是等腰直角三角形，∠DAE＝45°. 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG＝90°；④DE2＝BD2＋EC2. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 5．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝3，CE＝4，S△ADE＝15，则 △ABD与△AEC的面积之和为(　　) A．36 B．21 C．30 D．22 B 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 6．如图，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，DC(或它们的延长线)于点M，N. (1)如图1，求证：MN＝BM＋DN； 证明：图1中，把△ADN绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABE，∴△ABE≌△ADN.∴AE＝AN， ∠ABE＝∠D.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°.∴∠ABE＝∠ABC＝90°. ∴E，B，M三点共线．∴∠EAM＝90°－∠NAM＝90°－45°＝45°. 又∵∠NAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM. 又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．∴ME＝MN. ∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴MN＝DN＋BM. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 解：DN－BM＝MN. 证明：图2中，在线段DN上截取DQ＝BM，连接AQ. 在△ADQ与△ABM中，∴△ADQ≌△ABM(SAS)． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 ∴AQ＝AM，∠DAQ＝∠BAM.∴∠MAQ＝∠BAD ＝90°.∴∠QAN＝∠MAN＝45°. 在△AMN和△AQN中， ∴△AMN≌△AQN(SAS)． ∴MN＝QN.∴DN－DQ＝MN.∴DN－BM＝MN. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (二)60°－30°型或120°－60°型 1．等边三角形半角模型(120°－60°型) 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 条件：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°. 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④△AEF的周长＝2AB；⑤ED，FD分别平分∠BEF和∠EFC. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 2．等边三角形半角模型(60°－30°型) 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 7．在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系. (1)如图1，当点M，N边AB，AC上，且DM＝DN时，BM，NC，MN之间 的数量关系是________________； 解：BM＋NC＝MN BM＋NC＝MN 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)如图2，点M，N在边AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 解：猜想：结论仍然成立． 证明：图2中，在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1. ∵∠M1CD＝∠MBD＝∠ABC＋∠CBD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)．∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC. ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDN＝∠M1DN＝60°. 又∵DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)． ∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC.∴BM＋NC＝MN. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (3)如图3，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系如何？并给出证明． 解：NC－BM＝MN. 证明：图3中，在CN上截取CM1＝BM，连接DM1. 由(2)得△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC.∴∠M1DN＝∠MDN＝60°. 又∵DN＝DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)．∴MN＝M1N. ∴NC－CM1＝M1N，即NC－BM＝MN. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (三)2α－α型 条件：∠BAC＝2α，AB＝AC，∠DAE＝α. 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF＝180°－2α. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝DC，点E，F分别在AD，AB上，且∠FCE＝∠BCD. (1)求证：BF＝EF－ED； 证明：如图，旋转△BCF使BC与CD重合，得△DCF′. ∵AD∥BC，AB＝DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠ADC，∠BAD＋∠ABC＝180°. ∴∠ADC＋∠ABC＝180°. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 由旋转知∠ABC＝∠CDF′，∴∠ADC＋∠CDF′＝180°，即∠ADF′为平角．∴A，D，F′三点共线． ∵∠FCE＝∠BCD，∴∠ECF′＝∠BCF＋∠DCE＝∠ECF. 又∵CF＝CF′，CE＝CE，∴△FCE≌△F′CE(SAS)．∴EF＝EF′＝DF′＋ED.∴BF＝EF－ED. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)连接AC，若∠B＝80°，∠DEC＝70°，求∠ACF的度数． 解：∵AB＝BC，∠B＝80°，∴∠ACB＝50°. ∵AD∥BC，∴∠ECB＝∠DEC＝70°. 而∠B＝∠BCD＝80°，∴∠DCE＝10°. ∴∠BCF＝30°.∴∠ACF＝∠ACB－∠BCF＝20°. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 同在一条直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上．在一线三等角模型中，常利用三角形的内角和等于180°和同角(等角)的余角(补角)相等证明角相等． 基本图形有以下三种：(已知∠1＝∠2＝∠3，两个三角形中有一组边相等) 一线三等角型 模型 5 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 1．一线三等锐角型：△APC≌△BDP 2.一线三等钝角型：△APC≌△BDP 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 3．一线三垂直型： 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 9．(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE. 证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD. 又∵AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)．∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 解：成立．证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α. ∴∠DBA＝∠CAE.又∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC. ∴△ADB≌△CEA(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 (3)拓展与应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 解：△DEF为等边三角形，理由如下： 由(2)可知，△ADB≌△CEA， ∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE. ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF. ∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF.∴∠DBF＝∠EAF. 在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF(SAS)． ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°. ∴△DEF为等边三角形． 返回首页 小专题1　常见全等模型 首页 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 总目录 本讲内容结束 $$