第17讲 解直角三角形（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第17讲　解直角三角形 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理及其逆定理 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．(人教八下P24练习T2改编) 如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的 面积分别是2，5，1，2，则最大正方形E的面积是__________． 10 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角，则有 锐角三角函数 ∠A的正弦：sin A＝＝____； ∠A的余弦：cos A＝＝____； ∠A的正切：tan A＝＝____． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．特殊锐角的三角函数值 α 三角函数值 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．(人教九下P69习题T6改编) 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 高，∠A≠45°，下列比值不等于cos B的是(　　) A.　　　　 B． C． D． C 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．计算： (1)sin 45°·cos 60°－cos 45°·sin 30°＝______； ＝____． 0 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．直角三角形的边角关系 (1)三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)． (2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°. 解直角三角形及其实际应用 (3)边角关系：sin A＝cos B＝；cos A＝sin B＝； tan A＝；tan B＝. (4)面积关系：S＝ab＝ch. 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．解直角三角形的四种基本类型 解直角三角形就是利用已知元素(至少2个，不含直角)求剩余元素的过程，常常出现如下四种基本类型：   已知条件 图形 解法 一边一角 一直角边和一锐角 (已知a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝) 斜边和一个锐角(已知c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c· sin A，b＝c·cos A(或b＝) 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录   已知条件 图形 解法 两边 两直角边(已知a，b) c＝，由tan A＝求∠A，∠B＝90°－∠A 斜边和一条直角边(已知c，a) b＝，由sin A＝求∠A，∠B＝90°－∠A 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3.解直角三角形的实际应用 仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 坡度(坡比)、坡角 通常把坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，用字母i表示；坡面与水平面的夹角α叫坡角，i＝tan α＝ 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 方向角 一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，如图，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(也称西北方向) 先说“南 北”，再说“东西”． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47) 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 解：∵∠C＝90°，∠B＝25°， ∴∠A＝90°－∠B ＝90°－25°＝65°. ∵∠B＝25°，∴sin 25°＝， tan 25°＝. ∴c＝≈≈23.8， a＝≈≈21.3.∴∠A＝65°，c≈23.8，a≈21.3. 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．(人教九下P84复习题T8改编) 如图，两建筑物的水平距离BC为30米， 从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°，则建筑物CD 的高度为__________米．(结果保留根号) 30(－1) 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (2023·黄冈) 如图是我国汉代的 赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一 个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a， DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积 相等，求＝__________． 勾股定理及其逆定理应用 命题点 1 数学文化 3 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例1：由面积相等可得a2＝b2－ab，即－1＝0，解得＝(负值舍去)，代入进行计算即可． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图1是“赵爽弦图”．在弦图中(如图2)连接AF，DE，并延长DE交AF于点K，连接KG.若AH＝2DH＝2，则KG的长为_____． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式：过点K作KM⊥CF，与CF的延长线交于点M，由勾股定理求得结果． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin A的 值为_________． 锐角三角函数 命题点 2 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例2：根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案. 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·武汉) 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置 在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 _________cm. (结果精确到0.1 cm，参考数据sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 解直角三角形及实际应用 命题点 3 2.7 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例3：过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝BD＝OD＝2，再通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求得结果． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形 内，则sin ∠APB等于(　　) A． B． C． D．1 B 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2022·荆州) 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作 OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan ∠OAP的值是(　　) A． B． C． D．3 C 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 3．在△ABC中，AC＝15，BC＝20，AB边上的高CD＝12，则AB的长为__________． 25或7 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 4．随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离(A，B位于同一水平地面上)，如图，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6 m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6 m，CD＝50 m(点A，B，C，D在同一平面内)． (1)求仰角α的正切值； 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 解：作CE⊥AB于点E，作DF⊥CE于点F. ∵无人机的飞行高度为41.6 m，∴CE＝41.6 m. 由题意可得，四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD＝1.6 m．∴CF＝CE－EF＝40 m. ∵DF⊥CE，CD＝50 m，∴在Rt△CDF中， DF＝＝30 m．∴tan α＝＝＝. 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 (2)求A，B两点之间的距离．(结果精确到1 m，≈1.7) 解：∵四边形AEFD是矩形，∴AE＝DF＝30 m. ∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°， ∴∠CBE＝60°. ∴tan ∠CBE＝tan 60°＝，即＝.∴BE≈24. ∴AB＝AE＋BE≈30＋24＝54(m)．∴A，B两点之间的距离约为54 m． 返回首页 第17讲　解直角三角形 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P39～40素养综合练测17 请完成《练测本》P41～42第四单元滚动集训 $$