第16讲 相似三角形（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第16讲　相似三角形 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 比例线段及性质 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．比例的性质 基本性质 ＝⇔__________＝bc(b，d≠0) 合比性质 如果＝，那么＝______ (b，d≠0) 等比性质 如果＝＝…＝(b，d，…，n≠0且b＋d＋…＋n≠0)，那么＝ ad 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即＝≈0.618，＝≈0.382. 一条线段上有两个黄金分割点． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图1，当直线l3∥l4∥l5时，有＝＝等． [注意：对应线段要写在对应的位置上] 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得 的对应线段成比例． 如图2，当DE∥BC时，有＝＝； 如图3，当DE∥BC时，有＝＝. 推论是以上基本事实的特殊情况描述． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．若＝，则＝____. 2．(人教九下P31练习T2改编) 如图，在△ABC中，D，E分别为AB， AC上的点．若DE∥BC，＝，则＝____． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．已知线段MN＝6，点O是线段MN的黄金分割点，且MO＜NO，那么 MO的长为__________． 4．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1， DF＝5，则的值为____． 9－3 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝_______． 2 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．相似三角形的判定与性质 相似三角形 判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)三边成比例的两个三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 性质 (1)相似三角形的对应角__________，对应边__________； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于__________； (3)相似三角形的周长比等于__________；面积比等于相似比的平方 相等 成比例 相似比 相似比 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2.相似三角形的判定思路 相似三角形的判定思路 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 6．(2023·湘潭) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； 证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． 解：由(1)知△ABD∽△CBA， ∴＝，即＝. ∴BD＝3.6. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．运用相似三角形解决实际问题的步骤 (1)将实际问题转化为相似三角形问题； (2)找出一对相似三角形； (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解． 2．相似三角形的实际应用模型 常被用来测量不能直接到达的问题，如测量河宽、物高等．测量高度时，会使用“同一时刻，物高与影长成比例”，即＝. 相似三角形的实际应用 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 7．(人教九下P41练习T1改编) 如图，线段AB，EF，CD分别表示人、竹竿、楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2 m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.5 m，竹竿的高度 为3 m，则楼房的高度是__________． 26.5 m 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 (人教九下P58复习题T11改编) 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝60 mm，把它加工成正方形零件(如图1)，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. (1)求这个正方形零件的边长； 相似三角形的性质 命题点 1 [解答] 解：∵四边形EGHF是正方形，∴EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.∴＝. 设EG＝EF＝x，则＝.∴x＝40. ∴这个正方形零件的边长为40 mm. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如果把它加工成矩形零件(如图2)，求这个矩形的最大面积． [解答] 解：设EG＝a.∵四边形EGHF是矩形，∴EF∥BC.∴△AEF∽△ABC. ∴＝，即＝.∴EF＝120－2a. ∴矩形面积S＝a(120－2a)＝－2a2＋120a＝－2(a－30)2＋1 800. 当a＝30时，这个矩形的面积最大，最大面积是1 800 mm2. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　问题探究： (1)如图1，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD＝BD，则△ADE与△ABC的高之比为____； 解： 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如图2，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB，AC上，顶点F，G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG的面积最大． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点M. ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AM∶AN. ∵S△ABC＝BC·AN＝50，BC＝10，∴AN＝10. ∵DG＝x，∴MN＝x，AM＝10－x.∴DE∶10 ＝(10－x)∶10.∴DE＝10－x. ∴S矩形DEFG＝DE·DG＝(10－x)·x＝－(x－5)2＋25. ∴当x＝5时，矩形DEFG的面积最大． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 问题解决： (3)某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，现有 一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝ 50 m，BC＝100 m，CD＝72 m，且∠B＝∠C＝60°， 按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形 活动场所PQMN，顶点M，N同在边BC上，顶点Q，P分别在边AB，CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？(结果保留根号) 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：延长BA，CD交于点O，作DH⊥AO于点H，当 矩形PQMN的面积最大时，费用最小． ∵PQ∥BC，∴∠OQP＝∠B＝60°，∠OPQ＝∠C ＝60°，∴∠O＝60°. ∴△OQP和△OBC均为等边三角形． ∴OA＝OB－AB＝100－50＝50(m)，OD＝OC－CD＝100－72＝28(m)． 令PQ＝x m，则OQ＝PQ＝PO＝x m，∴BQ＝(100－x)m. ∵sin B＝，∴QM＝(100－x)． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴S矩形PQMN＝PQ·QM＝(100－x)x＝－(x－50)2 ＋1 250. ∴矩形PQMN面积的最大值是1 250 m2. ∵DH＝OD＝14 m，∴S△OAD＝OA·DH ＝×50×14＝350(m2)． ∵S△OBC＝BC2＝×1002＝2 500(m2)， 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴S四边形ABCD＝S△OBC－S△OAD＝2 500－350＝2 150(m2)． ∴种植花卉的面积为2 150－1 250＝900(m2)． ∴此时绿化改造所需费用为200×900＋80×1 250＝ 280 000(元)． ∴绿化改造所需费用至少为280 000元． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，求AD的值． 相似三角形的判定 命题点 2 [解答] 解：如图，过点A作AB的垂线，过点D 作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM. ∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°. ∴∠AMD＝30°.∴∠CBD＝∠AMD. 又∵∠BDC＝∠MDA＝90°，∴△BDC∽△MDA.∴＝.∴＝. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 又∵∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC＋∠CDM＝∠MDA＋∠CDM，即∠BDM＝∠CDA. ∴△BDM∽△CDA.∴＝＝. ∵AC＝，∴BM＝3. 在Rt△ABM中，AM＝＝＝.∴AD＝AM＝. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G. (1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝； [解答] 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠A＝90°. ∴∠ADE＋∠GDC＝90°.∵DE⊥CF， ∴∠DCF＋∠GDC＝90°. ∴∠ADE＝∠DCF.∴△ADE∽△DCF.∴＝. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B＝∠EGF时，第(1)问的结论是否仍成立？若成立给予证明，若不成立，请说明理由． 解：第(1)问的结论仍成立． 证明：如图，以C为圆心，CF的长为半径画弧交AD延长线于点M，连接CM， ∴CM＝CF.∴∠CMD＝∠CFD. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠B＋∠A＝180°. ∵∠B＝∠EGF，∴∠A＋∠EGF＝180°.∴∠AEG＋∠AFG＝180°. ∵∠DFG＋∠AFG＝180°，∴∠AEG＝∠DFG.∴∠AED＝∠CMD. ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM.∴△ADE∽△DCM. ∴＝.∴＝. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (人教九下P57复习题T7改编) 如图，已知零件的外径是7 cm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量零件的内孔直径AB.如果 OA∶OC＝OB∶OD＝2∶1，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度为(　　) A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm 相似三角形的应用 命题点 3 A 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．如图，D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA. (1)求证：∠FDE＝∠A； 证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形．∴∠FDE＝∠A. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 (2)若BD∶DC＝1∶4，S△CDE＝16，求S四边形AFDE. 解：∵BD∶CD＝1∶4，∴CD∶CB＝4∶5. ∵DE∥AB，DF∥AC，∴△CDE∽△CBA∽△DBF. ∴＝()2＝＝()2＝. ∵S△CDE＝16，∴S△BDF＝1，S△ABC＝25.∴S四边形AFDE＝25－16－1＝8. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2022·上海)如图，已知在菱形ABCD，E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF. (1)求证：AE2＝EG·ED； 证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°. ∵E是AB的中点，∴AE＝FE.∴∠EAF＝∠AFE. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∥BC.∴∠DAG＝∠AFB＝90°. ∵DE⊥EF，∴∠FEG＝90°.∴∠DAG＝∠FEG. ∵∠AGD＝∠FGE，∴∠EFG＝∠ADG.∴∠EAG＝∠ADG. 又∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA.∴＝.∴AE2＝EG·ED. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 (2)求证：BC2＝2DF·BF. 证明：∵AE＝EF，AE2＝EG·ED，∴FE2＝EG·ED.∴＝. 又∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF. ∴∠EFG＝∠EDF.∴∠BAF＝∠EDF. 又∵∠AFB＝∠DEF＝90°， ∴△ABF∽△DFE.∴＝. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC. ∵∠AFB＝90°，E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC.∴＝.∴BC2＝2DF·BF. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 3．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还 可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成 都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔 的高度(AB)，测量方法如下：在地面上点C处平放一面 镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站 在点D处恰好看到瞭望塔AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中B，C，D三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度ED约为1.75 m，测得BC＝40 m，CD＝1 m，请你帮助他求出该瞭望塔的高度AB. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 解：由题意，得∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°.∴△ABC∽△EDC.∴＝，即＝. ∴AB＝70.∴该瞭望塔的高度AB为70 m． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 4．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线； 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°.∴△ABC不是等腰三角形． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°. ∴∠ACD＝∠A＝40°.∴△ACD是等腰三角形． ∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC. ∴△BCD∽△BAC.∴CD是△ABC的完美分 割线． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 (2)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 解：∵CD是△ABC的完美分割线，△ACD是等腰三角形，∴△BCD∽△BAC.∴＝.由题意知AC＝AD＝2，BC＝.设BD＝x，则AB＝2＋x，∴＝.∴x＝－1±. ∵x＞0，∴BD＝x＝－1＋.∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝. ∴CD＝×2＝. 返回首页 第16讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P37～38素养综合练测16 $$