第15讲 等腰三角形（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第15讲　等腰三角形 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称“中垂线”)． 线段的垂直平分线 2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，即⇒PA＝PB. 3．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 【提分技法】 线段垂直平分线的判定方法 (1)根据线段垂直平分线的定义，判定必须满足两个条件：一是垂直，二是平分； (2)若有两点到线段两个端点的距离相等，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线是这条线段的垂直平分线． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是_______. 40° 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．(2022·昆明) 如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线 ED交AC于点D，△BCD的周长是6 cm，则BC的长为__________cm. 2 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 性质 (1)两腰相等，即AB＝AC；　　　 (2)两个底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)； (3)它是轴对称图形，有_____条对称轴，即AD所在的直 线；　　 (4)“三线合一”，即等腰三角形的顶角的__________、 底边上的__________和底边上的__________互相重合 证明角相等常用的方法． 1 所在的直线是同一条对称轴． 平分线 中线 高 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 　　　 周长、面积公式 周长：C＝a＋2b；面积：S＝ah(其中a是底边长，b是腰长，h是底边a上的高) 证明两条线段相等常用的方法． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 【提分技法】 1．等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验． 2．等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为42°，则它 的顶角的度数为_______________． 48°或132° 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．(人教八上P79练习T1改编) 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝ 72° BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数为(　　) D A．2　 B．3　 C．4 　 D．5 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)三边相等，即AB＝BC＝AC＝a； (2)三个内角都相等，且每个内角都等于______； (3)它是轴对称图形，有______条对称轴； (4)“三线合一”，即等边三角形每条边上的高、 中线和所对的角平分线重合　 60° 3 三组“三线合一”，所在的直线就是等边三角形的三条对称轴． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是__________的等腰三角形是等边三角形 周长、面积公式 周长：C＝3a；面积：S＝ah＝a2(其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高) 60° 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．(人教八上P80练习T2改编) 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝ 60°，AD是BC边上的高，DE∥AC.若AE＝3，则BC的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 6．(人教八上P93复习题T13改编) 如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝AD，连接DE，若DE＝，则△ABC的 面积为(　　) A． B． C．2 D．＋1 B 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F. 线段的垂直平分线 命题点 1 (1)若AB＝3 cm，求△CMN的周长； [解答] 解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN. ∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB＝3 cm. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. [解答] 解：∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF ＝180°－70°＝110°. ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°. ∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°. ∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN. ∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D. (1)若AB＝3，AC＝8，求△ABD的周长； 解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC. ∴△ABD的周长为AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝3＋8＝11. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若△ABD的周长为13，△ABC的周长为20，求BC的长． 解：∵△ABC的周长为20，∴AB＋BC＋AC＝20. ∵△ABD的周长为13，∴AB＋AC＝13.∴BC＝20－13＝7. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上． (1)如图1，求证：∠BCO＝∠CAO； 等腰三角形的性质与判定 命题点 2 [解答]证明：∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°， ∴∠BCO＋∠ACO＝90°＝∠CAO＋∠ACO.∴∠BCO＝∠CAO. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如图2，若OA＝5，OC＝2，求点B的坐标； 解：图2中，过点B作BD⊥y轴于点D，则∠CDB＝∠AOC＝90°. 在△CDB和△AOC中， ∴△CDB≌△AOC(AAS)．∴BD＝CO＝2， CD＝AO＝5.∴OD＝5－2＝3. 又∵点B在第三象限，∴B(－2，－3)． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (3)如图3，点C(0，3)，Q，A两点均在x轴上，且S△CQA＝18.分别以AC，CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于点P，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求出OP的取值范围． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 解：OP的长度不会发生改变． 图3中，过点N作NH∥CM，交y轴于点H， 则∠CNH＋∠MCN＝180°. ∵在等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM中， ∠ACN＝∠MCQ＝90°， ∴∠MCQ＋∠ACN＝180°. ∴∠ACQ＋∠MCN＝360°－180°＝180°.∴∠CNH＝∠ACQ. ∵∠HCN＋∠ACO＝90°＝∠QAC＋∠ACO，∴∠HCN＝∠QAC. 又∵CN＝AC，∴△HCN≌△QAC(ASA)．∴CH＝AQ，HN＝QC. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∵QC＝MC，∴HN＝CM. ∵点C(0，3)，S△CQA＝18，∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18. ∴AQ＝12.∴CH＝12. ∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC. 在△PNH和△PMC中， ∴△PNH≌△PMC(AAS)．∴PC＝PH＝CH＝6. 又∵CO＝3，∴OP＝3＋6＝9(定值)．即OP的长度不会发生变化，始终是9. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式1　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是__________. 15°或75° 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式2　如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点在△ECD的斜边DE上，若AE＝4，AD＝6，则AC＝______． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2022·黄陂区校级期末) P为等边三角形△ABC所在平面内一点，且∠BPC＝120°. (1)如图1，点P在△ABC外部，若BP＝2，CP＝3，求AP的长. 等边三角形的性质与判定 命题点 3 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 [解答]解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠BPC＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝360°－ ∠BAC－∠BPC＝180°. 图1中，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到 △ACF，点P的对应点为F，则AF＝AP，∠ACF＝ ∠ABP，∠FAC＝∠BAP，CF＝BP＝2，∠F＝∠APB. ∴∠ACF＋∠ACP＝∠ABP＋∠ACP＝180°.∴点C在线段PF上． ∵∠PAF＝∠FAC＋∠PAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠BAC＝60°， ∴△APF是等边三角形．∴AP＝FP. ∵FP＝CF＋CP＝2＋3＝5，∴AP＝5. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)点P在△ABC内部，连接AP. ①如图2，若AP⊥BP，求证BP＝2CP； 证明：①∵AP⊥BP，∴∠APB＝90°. 图2中，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACE，点P的对应点为E，连接PE，则AE＝AP，CE＝BP，∠CAE＝∠BAP，∠AEC＝∠APB＝90°. ∴∠EAP＝∠CAE＋∠CAP＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝60°. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴△EAP是等边三角形．∴∠APE＝∠AEP＝60°. ∴∠CEP＝∠AEC－∠AEP＝90°－60°＝30°. ∵∠CPE＝360°－∠APB－∠APE－∠BPC＝360°－90°－60°－120°＝90°， ∴CE＝2CP.∴BP＝2CP. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ②如图3，D为BC边的中点，连接PD，求证：∠APC＋∠BPD＝180°. 证明：②图3中，延长PD到点F，使DF＝PD，连接CF，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACE，点P的对应点为E，连接PE. 同①可知，△EAP是等边三角形，∴∠APE＝∠AEP＝60°. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 在△BPD与△CFD中， ∴△BPD≌△CFD(SAS)．∴BP＝CF， ∠PBC＝∠FCD. ∵BP＝CE，∴CF＝CE. ∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝180°－∠BPC＝60°. ∴∠FCP＝∠FCD＋∠PCB＝∠PBC＋∠PCB＝60°. ∵∠AEC＋∠APC＝∠APB＋∠APC＝360°－∠BPC＝240°， ∴∠PCE＋∠PAE＝360°－(∠AEC＋∠APC)＝120°. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∴∠PCE＝120°－∠PAE＝60°.∴∠ECP＝∠FCP. 在△CEP与△CFP中， ∴△CEP≌△CFP(SAS)．∴∠PEC＝∠F＝∠BPD. ∵∠AEC＝∠AEP＋∠PEC＝60°＋∠PEC＝60°＋∠BPD， ∴∠APC＋∠BPD＝240°－∠AEC＋∠BPD＝240°－(60°＋∠BPD)＋∠BPD＝180°. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　(2023·武汉模拟) 如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，BE. (1)判断△ABD的形状； 解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°， ∴AB＝AD，∠BAD＝60°. ∴△ABD为等边三角形． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)求证：BE平分∠ABD. 证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°， 得到△ADE， ∴AE＝AC，DE＝BC. ∵AC＝BC，∴AE＝DE. ∵△ABD为等边三角形，∴BA＝BD.∴BE垂直平分AD. ∵△ABD是等边三角形，∴BE平分∠ABD. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2022·天津) 如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、 四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(　　) A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3) D 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2022·宁波) 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上 一点，F为CE的中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 D 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2022·海南) 如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数 是(　　) A．80° B．100° C．120° D．140° B 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连 接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为__________． 11 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交AC于点D， 交BC于点E，∠B＝60°，∠FAE＝21°，则∠C＝__________度． 26 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝ 8，CE＝6，则BC的长为__________． 2 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2022·洪山区校级期末) 在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上． (1)如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD.求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 证明：①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠B＝∠BAC＝60°. 又∵BF＝AE，∴△ABF≌△CAE(SAS)．∴AF＝CE. ②(方法一)∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE. ∴∠AOE＝∠OAC＋∠ACO＝∠OAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°. ∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝ ∠DCA＝60°.∴∠AOE＝∠ADC. ∵∠AOE＋∠AOC＝180°，∴∠ADC＋∠AOC＝ 180°.∴A，D，C，O四点共圆． 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 ∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°. ∴∠AOD＝∠COD.∴OD平分∠AOC. (方法二)图1中，过点D作DJ⊥OA于点J，DH⊥OC交OC的延长线于点H. ∴∠DJO＝∠H＝90°.∴∠HDJ＋∠JOH＝180°. 又∵∠JOH＝120°，∴∠JDH＝60°＝∠ADC. ∴∠ADJ＝∠CDH. 又∵DA＝DC，∠DJA＝∠H＝90°， ∴△ADJ≌△CDH(AAS)． ∴DJ＝DH.∴OD平分∠AOC. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF 的延长线于点P，求证：CE＝CP. 证明：图2中，取AE的中点M，连接CM. ∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF. 又∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF(SAS)．∴∠ACM＝∠CAF. ∵∠CME＝∠CAM＋∠ACM＝60°＋∠ACM，∠CFP＝∠ACF＋∠CAF＝60°＋∠CAF， ∴∠CME＝∠CFP. 又∵EM＝CF，∠CEM＝∠PCF，∴△CME≌△PFC(ASA)．∴CE＝CP. 返回首页 第15讲　等腰三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P35～36素养综合练测15 $$