第14讲 三角形及全等三角形（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第14讲　三角形及全等三角形 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 三角形的分类 按边分 按角分 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类 型的是(　　) A A　 　 　B C　　 　D 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 三角形的边、角关系 三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边 内、外角和定理 三角形三个内角的和等于__________．　 三角形的外角和等于__________ 任意两边．　　 [依据：两点之间，线段最短] 180° 不等于所有的外角之和，所有的外角之和为720°. 360° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 边角关系 同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大 角，小边对__________ 内外角关系 (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如图，∠1＝∠A＋∠B. (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 如图，∠1＞∠A，∠1＞∠B 通常和三角形的内角、平行线一起考查，解题时注意与内角的关系． 小角 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．三角形具有稳定性． 2．判断三条边(a，b，c)能否构成三角形，不妨设c≥a，c≥b，只需比较两条较短边a，b的和与第三边c的大小，若a＋b＞c，则能构成三角形；反之不能构成三角形． 3．常利用三边关系列不等式(组)求边的取值范围． 4．已知三角形两边，求三角形的周长时，要利用三角形三边关系先判断第三边长度的取值范围，再计算． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　) A．3，4，7　 B．5，6，12 C．3，5，7 D．5，5，11 3．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为x，则第三边长x的取 值范围为__________． 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的 度数为__________. C 3＜x＜5 150° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 通过平移、轴对称(折叠)、旋转等得到完全重合． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边__________，对应角__________． (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等． (3)全等三角形的周长__________，面积__________． 全等三角形的概念及性质 相等 相等 相等 相等 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，BF＝1，∠A＝70°，∠B＝ 35°，则CF＝__________，∠DFE＝__________． 3 75° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 6．(人教八上P33习题T2改编) 如图，△ABN≌△ACM.若∠B＝36°， ∠BAN＝75°，则∠AMN＝__________． 69° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．全等三角形的判定定理 全等三角形的判定 SSS (边边边) 三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) SAS (边角边) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实) 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 ASA (角边角) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实) AAS (角角边) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL (斜边、直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【易错提醒】 1．以上判定方法均适用于直角三角形，但“HL”只适用于直角三角形． 2．“AAA”“SSA”不能判定三角形全等．如图1，△ABC与△A′B′C′的三个角都相等，但△ABC与△A′B′C′相似而不全等；如图2，在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，AC＝AC′，∠B＝∠B，但△ABC与△ABC′不全等． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，养成良好的书写习惯． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．全等三角形的判定思路 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 利用全等三角形证明线段或角相等的方法 1．证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的两个三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形，先证全等，再利用全等的性质进行证明即可． 2．探究两条线段的位置关系时，一般是先利用全等三角形的性质证明角相等，进而利用角之间的关系来判断线段的位置关系． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 7．如图，在△ABC和△DEF中，已知∠B＝∠DEF， BC＝EF.添加一个条件使得△ABC≌△DEF. (1)添加的条件是__________，依据是“SAS”； (2)添加的条件是_______________________，依据 是“ASA”； (3)添加的条件是__________，依据是“AAS”； (4)若∠A＝∠D＝90°，添加的条件是_____________________，依据是“HL”． AB＝DE ∠ACB＝∠F(或AC∥DF) ∠A＝∠D AC＝DF(或AB＝DE) 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 8．如图，等腰三角形ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列 条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(　　) A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC B 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 如图，数轴上A，B两点到原点的距离是一个三角形两边的长， 则该三角形第三边长可能是(　　) 三角形的边角关系 命题点 1 A．－5 B．4 C．7 D．8 B 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例1：直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，从而得出答案． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为(　　) B A．180° B．360° C．540° D．720° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例2：根据三角形内角和定理可求得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝180°×3－(∠HGI＋∠GHI＋∠GIH)＝360°. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为(　　) A．180° B．360° C．540° D．720° B 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求得∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所 示，则∠1＋∠2＝(　　) 全等三角形的概念及性质 命题点 2 A．30° B．45° C．60° D．75° B 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例3：构建平行线和全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，则BF的长为 (　　) C A．2 B．3 C．1.5 D．5 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例4：因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF，即BF＝CE.又BE＝5，CF＝2，所以BF＝(BE－CF)÷2，从而求出BF的长度． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与 Rt△ABD全等的条件的个数是(　　) 全等三角形的判定 命题点 3 A．1 B．2 C．3 D．4 D 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝ AB＋CD，四个结论中成立的是(　　) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ A 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 已知△ABC和△DPC都是等边三角形． (1)如图1，求证：AP＝BD. [解答] 证明：∵△ABC和△DPC都是等边三角形， ∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝60°.∴∠BCD＝∠ACP. ∴△BCD≌△ACP(SAS)．∴BD＝AP. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连接PM，PA，PB，BD，若PA⊥PM，且PB＝2PM. ①求证：BP⊥BD；②判断PC与PA的数量关系并证明． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ①证明：图2中，延长PM到点K，使得MK＝PM，连接CK. ∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°. 在△AMP和△CMK中， ∴△AMP≌△CMK(SAS)．∴AP＝CK，∠K＝∠APM＝90°. 同(1)可证△BCD≌△ACP，∴BD＝PA＝CK. ∵PB＝2PM，∴PB＝PK.又∵PD＝PC，∴△PDB≌△PCK(SSS)． ∴∠PBD＝∠K＝90°.∴PB⊥BD. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ②解：结论：PC＝2PA. 证明：∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB＝∠CPK. 设∠DPB＝∠CPK＝x，则∠BDP＝90°－x. ∵∠APC＝∠CDB，∴90°＋x＝60°＋90° －x.∴x＝30°.∴∠DPB＝30°. ∵∠PBD＝90°，∴PD＝2BD.∵PC＝PD， BD＝PA，∴PC＝2PA. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图，△ABD，△AEC都是等边三角形． (1)求证：BE＝DC； 证明：∵△ABD，△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°. ∴∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°.∴∠DAC＝∠BAE. ∴△DAC≌△BAE(SAS)．∴BE＝DC. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)设BE，DC交于M，连接AM，求的值． 解：在DM上截取DG＝MB，连接AG. 由(1)知△DAC≌△BAE.∴∠ADC＝∠ABE， ∠ACD＝∠AEB. 在△ADG和△ABM中， ∴△ADG≌△ABM(SAS)．∴∠DAG＝∠BAM，AG＝AM. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ∵∠DAG＋∠BAG＝60°，∴∠BAG＋∠BAM＝60°，即∠MAG＝60°. ∴△MAG为等边三角形，∠MAG＋∠CAM＝∠CAM＋∠CAE，即 ∠CAG＝∠EAM. ∴MA＝MG. 在△CAG和△EAM中， ∴△CAG≌△EAM(SAS)．∴CG＝EM. ∴DM＋EM＝DG＋MG＋MC＋MG＝MB＋MC＋2MA.∴＝1. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·聊城) 如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD ＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．65° B．75° C．85° D．95° B 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，且CE＝5，AC ＝7，则BD的长为(　　) A．12 B．7 C．2 D．14 A 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2023·十堰) 一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC 上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝__________． 100° 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝ __________． 4 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点 D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝______． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明. 解：图中有3对全等三角形，分别是△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF， △BCF≌△EFC. 以证明△ABF≌△DEC为例：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 又∵AB＝DE，AF＝DC，∴△ABF≌△DEC(SAS)． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7.如图，E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F. (1)若AD的长为2，求CF的长； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF. ∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE. ∵E是CD的中点，∴DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴CF＝AD＝2. 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数． 解：添加一个条件：∠B＝60°.当∠B＝60°时，∠F＝90°－60°＝30°(答案不唯一)． 返回首页 第14讲　三角形及全等三角形 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P33～34素养综合练测14 $$