第12讲 二次函数（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第12讲　二次函数 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数的图象与性质 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2．二次函数的三种解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中点__________为二次函数图象的顶点坐标，对称轴为直线x＝h； (3)交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． (h，k) [三种解析式之间的关系：顶点式 一般式 交点式] 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 3．二次函数的图象与性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a的符号 a>0 a<0 大致图象 (抛物线) 开口方向 开口向上，并向上无限延伸 开口向下，并向下无限延伸 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 4.二次函数的图象与a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 a a>0 开口向上 |a|越大，开口越______ a<0 开口向______ b b＝0 对称轴为______轴 ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 下 小 y 简称“左同”． 简称“右异”． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过__________点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴__________半轴相交 b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点 b2－4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 原 负 顶点在x轴上． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 字母或代数式 符号 图象的特征 特定关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝__________ 若a＋b＋c>0，即当x＝1时，y>0； 若a＋b＋c<0，即当x＝1时，y__________0 a－b＋c < 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 5.根据二次函数的图象判断相关结论 图示 结论 a_______0， b_______0， c<0， b2－4ac>0 a______0， b＝0， c>0， b2－4ac____0 a>0， b_______0， c_______0， b2－4ac>0 a<0， b_______0， c<0， b2－4ac_____0 > > < > < > > ＝ 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 图示 结论 a>0， b______0， c>0， b2－4ac____0 a_______0， b>0， c______0， b2－4ac>0 a<0， b______0， c＝0， b2－4ac>0 a>0， b______0， c＝0， b2－4ac_____0 > < > ＝ > ＝ ＝ 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是(　　) A．y＝－3x B．xy＝2 C．y＝ax2＋bx＋c D．y＝2x2＋5 2．把二次函数y＝6x－2－3x2化成y＝a(x－h)2＋k的形式是__________________． D y＝－3(x－1)2＋1 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 3．关于二次函数y＝3(x＋1)2－7的图象及性质，下列说法正确的是 (　　) A．对称轴是直线x＝1 B．当x＝－1时，y取得最小值，且最小值为－7 C．顶点坐标为(－1，7) D．当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 4．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)都在二次函数y＝ax2－2ax＋3的图 象上，当x＝1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是(　　) A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y2<y1<y3 D．y2<y3<y1 C 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 5.如果在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是(　　) A B C C D 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝2，下列结论：①2abc＞0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a＋b＋c＞0； ⑤－4a＋c＜0.其中正确的个数是(　　) A．2　 　　 B．3 C．4 D．5 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 确定二次函数解析式最常用的方法为待定系数法，一般步骤如下： 二次函数解析式的确定 已知条件 设解析式 对称轴 求解 图象上的三点坐标 一般式： y＝ax2＋bx＋c 代入对应条件所给的点的坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点＋另一点坐标 顶点式： y＝a(x－h)2＋k x＝h 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 已知条件 设解析式 对称轴 求解 与x轴的两个交点＋另一点坐标(不在x轴上) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 代入对应条件所给的点的坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点是原点＋另一点坐标 y＝ax2 y轴 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 已知条件 设解析式 对称轴 求解 对称轴为y轴(顶点在y轴上)＋另两点坐标 y＝ax2＋c y轴 代入对应条件所给的点的坐标，求出所设参数(如a，b，c，h等)的值，再代回所设的解析式中 顶点在x轴上＋另两点坐标 y＝a(x－h)2 x＝h 原点＋另外两点坐标 y＝ax2＋bx 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【知识拓展】 若已知抛物线与x轴相交的其中一个交点是A(x1，0)，且其对称轴是直线x＝h，则另一个交点B的横坐标x2＝2h－x1，即可用交点式求解析式． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 7．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点(2，8)，则该抛 物线的表达式为__________． 8．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛 物线的解析式为_________________． 9．已知二次函数的图象经过(－1，0)，(3，0)，(0，3)三点，那么这个 二次函数的解析式为________________． y＝2x2 y＝－x2＋4x－3 y＝－x2＋2x＋3 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 1．抛物线顶点式的平移 二次函数图象的平移 左加右减自变量，上加下减常数项． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2．抛物线一般式的平移 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 口诀 y＝ax2＋bx＋c 向左平移m个单位长度 y＝a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c 左加右减自变量(x) 向右平移m个单位长度 y＝a(x_______)2＋b(x_______)＋c 向上平移m个单位长度 y＝ax2＋bx＋c＋m 上加下减常数项(c) 向下平移m个单位长度 y＝ax2＋bx＋c_____ －m －m －m 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【温馨提示】 二次函数图象的平移，其实质是图象上点的整体平移(一般研究顶点坐标)，平移过程中a保持不变，因此可先求出顶点坐标，根据点的平移规律，得出平移后的顶点坐标，进而求得解析式．二次函数图象的翻折、旋转，也可研究顶点沿坐标轴翻折或旋转180°，|a|保持不变，从而确定解析式． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 10．将抛物线y＝2(x－3)2＋2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单 位长度，得到抛物线的解析式为(　　) A．y＝2(x－5)2－1 B．y＝2(x－5)2＋1 C．y＝2(x－1)2－1 D．y＝2(x－1)2＋1 A 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 1．二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根． 二次函数与方程、不等式的关系 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 b2－4ac的符号 b2－4ac_____0 b2－4ac＝0 b2－4ac_____0 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数 两个交点 _____个交点 无交点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0实数根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 ＞ ＜ 一 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2.二次函数与不等式 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围； (2)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方时，对应的x的取值范围． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 11．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A，B，C. (1)画出这个函数的图象； (2)与x轴的交点坐标为________________； (3)方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________； (4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_____________． (－1，0)，(3，0) x1＝－1，x2＝3 －1＜x＜3 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 二次函数的实际应用 常见类型 解题步骤 抛物线型 (类抛物线型)问题 (1)根据实际问题的条件建立适当的平面直角坐标系； (2)指出已知点的坐标(长度转化为坐标)； (3)设立适当的解析式； (4)用待定系数法求出解析式； (5)根据条件解决相应问题 便于求解析式． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 常见类型 解题步骤 销售利润问题 理清变量之间的关系，找出问题中的数量关系，列出函数关系式，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解 图形面积问题 利用几何知识用变量x表示出图形的面积y，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【方法总结】 1．求高度，此时一般是求二次函数图象顶点的纵坐标，或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值． 2．求水平距离，此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 【易错提醒】 在二次函数的实际应用题中，求最值时不能忽视自变量的取值范围和生活实际． (1)当自变量必须满足是整数，抛物线顶点的横坐标是分数时，顶点的纵坐标不是所求的最值； (2)当自变量都在对称轴的同一侧取值时，抛物线顶点的纵坐标不是所求的最值． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 10 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 13.(人教九上P51习题T2改编) 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内以每件x元出售，可卖出(100－x)件．想要获得最大利润，则定价x应 为__________元．若70＜x≤80，则获得最大利润是__________元． 65 1 189 返回首页 第12讲　二次函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象 上．若y1＜y2，则m的取值范围为(　　) 二次函数图象的性质 命题点 1 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例1：y1＝(m－1－1)2＋n＝(m－2)2＋n，y2＝(m－1)2＋n. ∵y1＜y2， ∴(m－2)2＋n＜(m－1)2＋n. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x －2 －1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是(　　) A．抛物线的开口向下 C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) C 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·黄冈) 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a－b＋c＝0；②若点(－3，y1)，(2，y2)，(4，y3)均在该二次函数图象上，则y1<y2<y3；③若m为任意实数，则am2＋bm＋c≤－4a；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两实数根为x1，x2，且x1<x2，则x1<－1，x2>3.正确结论的序 号为(　　) A．①②③　　　 B．①③④　　 C．②③④　　　 D．①④ 二次函数图象与系数的关系 命题点 2 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例3：由抛物线经过(－1，0)可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式　(2023·乐山) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(m，0)，且1＜m＜2，有下列结论： ①b＜0； ②a＋b＞0； ③0＜a＜－c； 其中，正确的结论有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 变式：由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．　　 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·武汉二调) 燃放烟花是一种常见的喜庆活动．小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的规律如下表： 二次函数的应用 命题点 3 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …… 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …… 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (1)求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； [解答] 解：设其解析式为h＝at2＋bt＋c，把点(0，2)，(0.5，9.5)， (1，16)代入上式，得 故h与t的函数解析式为h＝－2t2＋16t＋2. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2)当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； [解答] 解：∵h＝－2t2＋16t＋2＝－2(t－4)2＋34，∴当t＝4时，h取最大值． 此时，第一枚花弹到达最高点，第二枚花弹飞行时间为2 s. ∵两枚花弹的飞行路径相同，∴将t＝2代入h＝－2t2＋16t＋2，得h＝26. ∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达的高度为26 m. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30 m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求． [解答] 解：由题意知，第二枚花弹飞行高度h′与第一枚花弹飞行时间t的函数解析式为h′＝－2(t－6)2＋34.根据h＝h′，得－2(t－4)2＋34＝－2(t－6)2＋34.解得t＝5. 此时h＝h′＝32＞30，∴花弹的爆炸高度符合安全要求． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023 ·武汉四调) 春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (1)设育苗区的边长为x m，用含x的代 数式表示下列各量：花卉A的种植面 积是______________m2，花卉B的种 植面积是____________m2，花卉C的 种植面积是_____________m2. [解答] 解：(x2－60x＋800)　(－x2＋30x)　(－x2＋20x) [∵育苗区的边长为x m，活动区的一边长为10 m， ∴花卉A的种植面积为(40－x)(20－x)＝(x2－60x＋800)m2， 花卉B的种植面积为x(40－x－10)＝(－x2＋30x)m2， 花卉C的种植面积为x(20－x)＝(－x2＋20x)m2.] (x2－60x＋800) (－x2＋30x) (－x2＋20x) 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ [解答] 解：∵A，B花卉每平方米 的产值分别是2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为 2×(x2－60x＋800)百元和3× (－x2＋30x)百元． ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴200×(x2－60x＋800)＝300×(－x2＋30x). 整理，得x2－42x＋320＝0，解得x＝32(舍去)或x＝10. ∴当育苗区的边长为10 m时，A，B两种花卉的总产值相等． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560 m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． [解答] 解：∵花卉A与B的种植面 积之和为x2－60x＋800＋ (－x2＋30x)＝(－30x＋800)m2， ∴－30x＋800≤560.解得x≥8. 设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元，则 y＝2(x2－60x＋800)＋3(－x2＋30x)＋4(－x2＋20x)＝－5x2＋50x＋1 600. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ∴y＝－5(x－5)2＋1 725. ∴当x≥8时，y随x的增大而减小． ∴当x＝8时，y最大＝－5×(8－5)2＋1 725＝1 680(百元). 故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值为168 000元． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2022·武汉) 抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(A在B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P. 二次函数与一次函数的综合 命题点 4 (1)直接写出A，B两点的坐标； [解答] 解：A(－1，0)，B(3，0). 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2)如图1，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标； [解答] 解：∵OP＝OA＝1，∴P(0，1).∴直线AC的解析式 为y＝x＋1. ①若点D在AC下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交 点即为D1. ∵B(3，0)，BD1∥AC，∴BD1的解析式为y＝x－3. ∴点D1的横坐标为0； 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ②若点D在AC上方时，点D1(0，－3)关于点P的对称点为G(0，5). 过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D. 易得直线l的解析式为y＝x＋5. 另解：设D(d，d2－2d－3)，过点D作x轴垂线交AC于点G，根据DG＝4求解． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解答] 解：设点E的横坐标为n，过点P的直线解析式为 y＝kx＋b. 设x1，x2是方程x2－(2＋k)x－3－b＝0的两根，则x1x2＝－3－b. ∴xAxC＝xBxE＝－3－b. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·兰州) 已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是 (　　) A．对称轴为x＝－2 B．顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 C 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2023·大连)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2023·河南) 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x ＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2023·齐齐哈尔) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0；②b＝2a；③3a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＋k2＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；⑤若点(m，y1)(－m＋2，y2)均在该二次函数图象上，则y1＝y2. 其中正确结论的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 B 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 A．abc<0 B．4a－2b＋c<0 C．3a＋c＝0 D．am2＋bm＋a≤0(m为实数) C 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2023 ·武汉) 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实 验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度 y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表． 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现　x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 问题解决　如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． (1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130.∴25＜t＜26. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2023·江夏区模拟) 如图，为美化小区环境，某小区计划在一块长为36米，宽为24米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米. (1)花圃的面积为________________________(用含a的式子表示)； (4a2－120a＋864)平方米 解：(1)(4a2－120a＋864)平方米　[由图可知，花圃的面积为(36－2a)(24－2a)＝(4a2－120a＋864)平方米．] 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∴此时通道的宽为6米． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 解：设修建的通道和花园的总造价为w元，则 w＝80(864－4a2＋120a－864)＋100(4a2－120a＋864). 化简，得w＝80(a－15)2＋68 400. ∵80>0，∴当a＜15时，w随a的增大而减小． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 又∵2≤a≤6，∴3≤a≤6.∴当a＝3时，w最大＝79 920. ∴通道宽为3米时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为79 920元． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8.(2023 ·江岸区模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝－(x－m)2＋2m2(m＜0)的顶点P在抛物线C2：y＝ax2上． (1)求a的值； 解：∵抛物线C1：y＝－(x－m)2＋2m2(m＜0)的顶点为P，∴P(m，2m2). ∵点P在抛物线C2：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)直线x＝t(t＞m)与抛物线C1，C2分别交于点A，B，若AB的最大值为3，请求出m的值； 解：∵直线x＝t与抛物线C1，C2分别交于点A，B， ∴yA＝－(t－m)2＋2m2＝－t2＋2mt＋m2，yB＝2t2. ∴AB＝yA－yB＝－t2＋2mt＋m2－2t2＝－3t2＋2mt＋m2＝ 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线C2上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 解：存在．设点M的横坐标为n，则M(n，2n2)，∴Q(2n－m，4n2－2m2). ∵点Q在x轴正半轴上，∴2n－m＞0且4n2－2m2＝0. 过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于点K，N， ∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK＋∠PQK＝90°. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∵∠PQG＝90°，∴∠PQK＋∠GQN＝90°.∴∠QPK＝∠GQN. ∴△PKQ∽△QNG. 返回首页 第12讲　二次函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P27～28素养综合练测12 请完成《练测本》P29～30第三单元滚动集训 顶点坐标 最值 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝ 增减性 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而增大，简记“左减右增” 在对称轴的左侧，即当x<－时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当x>－时，y随x的增大而减小，简记“左增右减” x＝－ x＝ x＝－ 12．体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－x2＋x＋，由此可知小豪此次投掷的成绩是________m. A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 ∴－2m＋3＜0.∴m＞. B．抛物线的对称轴为直线x＝ D．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为 例2：根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋6＝－＋＝(－x＋3)(x＋2)，即可判断各个选项中的说法是否正确． ④若点C，D在抛物线上，则y1＞y2. 解得 联立得x2－3x＝0.解得x1＝0，x2＝3(舍去). 联立 得x2－3x－8＝0.解得x1＝，x2＝. ∴点D2，D3的横坐标分别为，. 综上所述，符合条件的点D的横坐标为0， 或. (3)如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m.求的值(用含m的式子表示)． 联立得x2－(2＋k)x－3－b＝0. ∵xA＝－1，∴xC＝3＋b.∴m＝3＋b.∵xB＝3，∴xE＝－1－.∴n＝－1－. 设直线CE的解析式为y＝px＋q，同理可得mn＝－3－q，∴q＝－mn －3. ∴q＝－(3＋b)－3＝b2＋2b.∴OF＝b2＋2b. ∵OP＝b，∴FP＝b2＋b.∴＝b＋1＝(m－3)＋1＝m. 5．(2023·凉山州) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) 解：探究发现x＝5t，y＝－t2＋12t. 问题解决 解：依题意，得－t2＋12t＝0.解得t1＝0(舍去)，t2＝24.当t＝24时，x＝5×24＝120. 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m． 另解：由y＝－t2＋12t和 x＝5t，得y＝－x2＋x，通过y＝0求出x的值． 解：设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－t2＋12t＋n. 在y′＝－t2＋12t＋n中，当t＝25，y′＝0时， n＝12.5；当t＝26，y′＝0时，n＝26. ∴12.5＜n＜26. 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m. 另解：在y′＝－x2＋x＋n中，令y′＝0，通过x的取值范围求出n的取值范围． (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； 解：根据题意，得36×24－(4a2－120a＋864)＝×36×24，解得a1＝6，a2＝24(舍去). (3)已知某园林公司修建通道和花圃的造价分别为每平方米80元和每平方米100元，如果小区决定由该公司承建此项目，并要求修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的，那么通道宽为多少时，修建的通道和花园的总造价最高，最高总造价为多少元？ ∵通道的宽度不少于2米且不超过6米，且通道面积不低于花圃面积的， ∴864－4a2＋120a－864≥(4a2－120a＋864).解得3≤a≤27. －3＋m2. ∵－3＜0，∴当t＝m时，AB的最大值为m2. ∵AB的最大值为3，∴m2＝3，解得m＝±. ∵m＜0，∴m＝－. ∴n＝－m. ∴M(－m，m2)，Q(－m－m，0). ∴＝，即PK·NG＝KQ·QN. ∵PK＝－m－m－m＝－m－2m，KQ＝2m2， NG＝－m－m， ∴(－m－2m)(－m－m)＝2m2·QN，解得QN＝. ∴G(0，－). $$