第11讲 反比例函数（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第11讲　反比例函数 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．反比例函数的概念：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 反比例函数的图象与性质 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．反比例函数的三种表示形式：(1)定义式：y＝；(2)幂的形式：y＝kx-1(k为常数，k≠0)；(3)乘积形式：xy＝k(k为常数，k≠0)． 2．反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积是定值k，通常用于判断一个点是否在反比例函数图象上． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．反比例函数的图象与性质 反比例函数 y＝(k为常数，k≠0) k的符号 k>0 k<0 大致图象(双曲线) 图象特征 双曲线无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交 所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第二、四象限(x，y异号) 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 性质 增减性及大小比较 在每一个象限内，y随x的增大而___________； 第一象限内y值始终大于第三象限内y值 在每一个象限内，y随x的 增大而___________； 第二象限内y值始终大于第四象限内y值 对称性 (1)关于直线y＝x或y＝－x成轴对称； (2)关于原点成中心对称，如双曲线上的点P(a，b)，关于原点的对称点P′(－a，－b)在双曲线的另一支上 减小 增大 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．反比例函数图象有两支，涉及增减性要数形结合，分象限讨论，必须强调在每一个分支上，不能认为在整个自变量取值范围内增大(或减小)． 2．由于正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中正比例函数与反比例函数若有交点，则两个交点关于原点对称． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．(人教九下P8习题T2) 下列函数是反比例函数的是(　　) A．y＝　 B．y＝－ C．y＝x2 D．y＝ B 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是(　　) A．y的值随x的值增大而减小 B．它的图象在第一、三象限 C．它的图象是双曲线 D．若点(a，b)在它的图象上，则点(b，a)也在它的图象上 3．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝mx(m≠0)的图象 交于点(2，1)，则其另一个交点坐标为_______________． A (－2，－1) 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．k 的几何意义：如图，过反比例函数图象上任意一点P(x，y)分别作x 轴、y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝_________， 同理可得S△POM＝S△PON＝S△PMN＝S△OMN＝＝. 反比例函数中系数k的几何意义 |k| 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．关于k的几何意义的常见模型及结论 (1)直接利用k的几何意义求面积，如 S△ABC＝ S△ABC＝ S1＝S2 S△ABC＝S△AOB＝ 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 S△AOC＝S△BOD＝ S△AOB＝ S△OAF＝S△OCE＝ (S矩形OABC－S四边形BEOF) 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 (2)通过转化利用k的几何意义求面积，如 S△AOB＝____(AO＝AB) |k| S▱ABCD＝______ |k| S△ABM＝______ |k| S△APP′＝____ 2|k| 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】 1．因为反比例函数y＝(k≠0)中的k有正负之分，所以用k表示矩形或三角形的面积时要给k加上绝对值符号． 2．反比例函数与几何图形结合，若图形为不规则图形，可将其割补，求面积之和(或差)． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4．如图，A，B分别是x轴的负半轴和正半轴上的动点，D，C分别是反比例函数y＝(x＜0)和y＝(x＞0)图象上的动点，且四边形ABCD是矩 形，则矩形ABCD的面积可表示为(　　) D A．a＋b　　 B．－a－b C．a－b D．b－a 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝(x＞0)，y＝－(x＞0)的图象交于A，B两点．若C是y轴上任意一 点，连接AC，BC，则△ABC的面积为(　　) C A．10 B． C．5 D． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 反比例函数解析式的确定 待定系数法 (1)设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)； (2)找出反比例函数图象上的一点P(a，b)； (3)将点P(a，b)代入解析式得k＝ab； (4)确定反比例函数的解析式为y＝ 利用k的几何意义 当已知面积时，可考虑用k的几何意义．由面积得|k|值，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k值，代入解析式即可 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【提分技法】用待定系数法确定反比例函数的解析式一般有以下类型： (1)直接代点型：找出符合函数解析式的一个已知点，代入求出系数k即可． (2)交点型：通过已知函数解析式确定交点坐标，再将交点代入反比例函数解析式． (3)图形性质求点型：利用图形的性质，如平行四边形、菱形、三角形等知识求出对应点的横、纵坐标，再代入解析式． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 6．已知点P(2，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则该反比例函数的解析式为_______． 7．已知双曲线y＝(k≠0)上有一点P，PA⊥x轴于点A，O为坐标原点， 且S△PAO＝12，则此反比例函数的解析式为_______________． y＝ y＝-或y= 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．一般步骤：(1)审题，确定自变量，因变量；(2)明确变量之间的数量关系；(3)根据数量关系确定反比例函数解析式；(4)根据题意确定自变量的取值范围；(5)根据反比例函数的性质解决相应问题；(6)对答案进行检验，符合题意后作答． 2．常见应用公式 (1)行程问题：速度＝；(2)工程问题：工作效率＝； (3)压强问题：压强＝；(4)电学问题：电阻＝. 反比例函数的实际应用 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 8．跨学科融合一辆汽车前灯电路上的电压U(V)保持不变，通过灯泡的电流强度I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数．若当电阻为30 Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40 A，则当电阻为50 Ω时，通过灯泡的电流强度为___________A. 0.24 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　) A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点(a，b)，则ab>0 反比例函数的图象与性质 命题点 1 D 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例1：ab＝k2＋k＋3＝>0. 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，若x1<x2<0<x3，则y1，y2，y3的大小关系为___________． y2＜y1＜y3 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式：根据“图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小”进行比较． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·仙桃) 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝(k≠0) 的图象经过点A(－1，－2)和点B(2，m)，则△AOB的面积为． 反比例函数与几何问题综合 命题点 2 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例2：先求出点B的坐标，再求出直线AB解析式，进而求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式即可求解． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图 象的四个分支上，则实数n的值为(　　) A．－3 B．－ C． D．3 A 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 例3：连接正方形对角线，过点A，B作x轴垂线，证明△AOC≌△OBD，则S△AOC＝S△OBD＝.由点A在第二象限，得n＝－3. 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过正方形OABC的顶点 A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD＝2CD，则k 的值为． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 变式：与例3方法类似，构造三垂直全等，再结合平行线分线段成比例及面积公式求解． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 跨学科融合已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F＝pS.当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积 S之间函数关系的是(　　) 反比例函数的实际应用 命题点 3 A B C D D 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式 跨学科融合(2023·吉林)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f(MHz) 10 15 50 波长λ(m) 30 20 6 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (1)求波长λ关于频率f的函数解析式； (2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ. 解：(1)设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝(k≠0)， 把点(10，30)代入上式，得＝30.解得k＝300.∴λ＝. (2)当f＝75 MHz时，λ＝＝4(m)． 答：当f＝75 MHz时，此电磁波的波长为4 m． 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·通辽) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝－ 的图 象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是(　　) A．y1＋y2＜0 B．y1＋y2＞0 C．y1－y2＜0 D．y1－y2＞0 D 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y(毫升)与喷洒消毒液的时间x(分)成正比例关系；喷洒完成后，y与x成反比例关系(如图)．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续 时间为(　　) A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟 C 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2022·荆门) 如图，A，C为函数y＝(x＜0)图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的 值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 B 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2022·十堰) 如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝(k1＞0)和y＝(k2＞0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1＋k2 ＝(　　) A．36 B．18 C．12 D．9 B 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2022·武汉) 在反比例y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2－kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为_______． y＝ 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．跨学科融合(2023·温州) 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强 由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了___________mL. 20 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．在探究反比例函数y＝(m≠1)的图象与性质的过程中，x与y的几组对应值列表如下： x … -3 -2 -1 1 2 3 … y … 1 2 -2 -1 - … 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 该反比例函数的解析式为_________， m的值为___________； (2)该反比例函数的图象位于第___________ 象限，且在每一个象限内，y随x的增大而 ___________(填“增大”或“减小”)；并在 平面直角坐标系中画出该函数的图象； y＝- －1 二、四 增大 (3)若点P(4，b)在反比例函数的图象上， 则b的值为_______； - 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (4)当－4<x<－1时，y的取值范围是 ； (5)在这个反比例函数的图象上有三点A(x1， y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1<x2<0<x3， 则y1，y2，y3的大小关系为___________； (6)该函数关于直线y＝x和直线__________ 成轴对称；关于点__________成中心对称． y3＜y1＜y2 y＝－x (0，0) 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·东营) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a＜0)与反比例函数y＝(k≠0)交于A(－m，3m)，B(4，－3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 解：∵点B(4，－3)在反比例函数y＝的图象上，∴－3＝. ∴k＝－12.∴反比例函数的表达式为 y＝－. ∵点A(－m，3m)在反比例函数y＝－的图象上， ∴3m＝－. ∴m1＝2，m2＝－2(舍去)．∴点A的坐标为(－2，6)． 由一次函数y＝ax＋b的图象过点 A(－2，6)，B(4，－3)，得 解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋3. 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)求△AOB的面积； (3)请根据图象直接写出不等式＜ax＋b的解集． 解：(2)∵C为直线AB与y轴的交点，∴OC＝3. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·＝×3×4＝9. (3)x＜－2或0＜x＜4. 返回首页 第11讲　反比例函数 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P25～26素养综合练测11 $$