第6讲 一元二次方程（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第6讲　一元二次方程 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)．其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c. 一元二次方程及其解法 2 [注意：(1)a≠0；(2)各项都包括前面的符号] 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．一元二次方程的解法 解法 适用情况 注意事项 直接开平方法 (1)当方程缺少一次项时，即ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)； (2)形如a(x＋n)2＝b的方程 开方后所取值前记得加“±”号 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 解法 适用情况 注意事项 配方法 适用于所有一元二次方程．将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，优先考虑使用配方法 (1)二次项系数化为1后，一定要在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程转化成(x＋n)2＝p的形式； (2)当p≥0时，运用直接开平方法解方程； 当p<0时，原方程无实数根 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 解法 适用情况 注意事项 公式法 适用于所有一元二次方程．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，求根公式为x＝(b2－4ac≥0) (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； (2)将a，b，c代入公式时应注意其符号； (3)若b2－4ac<0，则原方程无实数根 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 解法 适用情况 注意事项 因式分解法 (1)方程缺少常数项，即ax2＋bx＝0(a≠0)； (2)将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x(ax＋b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)＝0 当方程两边含有x的相同的因式时，不能约去，以免丢根，如对于一元二次方程(x－2)(x＋2)＝x－2，不能两边同时除以x－2(因不知x－2是不是会等于0)，否则会漏解(会把x＝2漏掉) 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．(m－2)x|m|＋mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________． －2 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．按要求解下列方程： (1)x2＋2x－2＝0(配方法)； 解：x2＋2x＋1－1－2＝0， (x＋1)2＝3， x＋1＝±， ∴x1＝－1. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 (2)x(x＋1)＝3＋5x(公式法)； 解：x2＋x＝3＋5x， x2－4x－3＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－3)＝28， ∴x＝. ∴x1＝2＋. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 (3)3x(x－1)＝6(x－1)(因式分解法)． 解：3x(x－1)－6(x－1)＝0， (x－1)(3x－6)＝0， ∴x1＝1，x2＝2. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．一元二次方程的根的判别式：Δ＝__________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．使用判别式的前提条件是a≠0，判别式的值与0的大小关系决定了一元二次方程根的情况． (1)b2－4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac__________0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac__________0⇔一元二次方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 b2－4ac ＝ 不能说有一个实数根． < 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 【提分技法】 根的判别式的两个作用 (1)不解方程，直接判断或证明一元二次方程根的情况． (2)根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围(若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论)． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．一元二次方程的根与系数的关系(2022版课标增加的内容要求) 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则 [注意：Δ≥0是前提条件] ＝，x1·x2＝． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 3．下列方程中，有两个相等实数根的是(　　) A．x2＝10　 B．x2＋1＝2x C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0 4．[人教九上P17习题T7(1)改编] 若m，n是一元二次方程x2－3x－8＝0 的两个根，则m2＋n2＝__________. B 25 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 1．平均变化率问题 增长数＝基数×增长率；实际数＝基数＋增长数． 设原来的量为a，变化后的量为b. 在求解时一般使用直接开平方法． 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有____________． 一元二次方程的实际应用(常见类型) a(1－x)2＝b 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2．传播问题 与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经 2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b． 3．握手(单循环赛)与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数 为m(总比赛场数为m)，则＝m； (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 4．面积问题 (1)如图1，S阴影＝_________________； (a－2x)(b－2x) (2)如图2、图3、图4，S阴影＝_______________． (a－x)(b－x) 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．利润问题(“每每”型) 常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量． “每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件．若涨价y元，则少卖的数 量为件． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 【提分技法】 一元二次方程实际应用题的注意事项 用一元二次方程解决实际问题时，一般会求得两个不相等的实数根．但往往需要结合题设中的实际意义舍掉不符合题意的解，如增长率不能小于0、下降率不能大于1、边长不能为负等；同时有的要根据题设中的限定条件排除不符合的根，如“尽可能减少库存”的意思是“销量要尽可能大”． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 5．某件商品连续两次降价后，零售价由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为x，则根据题意列出的方程是_________________． 6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分 支，可列方程为________________． 7．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛45 场，共有__________个队参赛． 500(1－x)2＝405 1＋x＋x2＝91 10 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 8．如图，有一块长21 m，宽10 m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90 m2.设人行通道的宽度为x m，根据题意可列方 程：__________________________． (21－3x)(10－2x)＝90 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 9．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元．为提高销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套．若网店要获利2 100元，设每套运动装降价x元，可列 方程为_______________________． (45－x)(20＋4x)＝2 100 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 知识点1 知识点2 知识点3 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. [解答] 解：x2＋bx＋c＝0中a＝1， ①b＝2，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根； ②b＝3，c＝1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5＞0，方程有两个不相等的实数根； 一元二次方程及根的判别式 命题点 1 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ③b＝3，c＝－1时，Δ＝b2－4ac＝32－4×1×(－1)＝13＞0，方程有两 个不相等的实数根； ④b＝2，c＝2时，Δ＝b2－4ac＝22－4×1×2＝－4＜0，方程没有实数根. 因此可选择②或③.选择②b＝3，c＝1时，x2＋3x＋1＝0， x＝. 选择③b＝3，c＝－1时，x2＋3x－1＝0， x＝. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·荆州) 已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； [解答] 解：∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋4)2－4k(k－6)＞0，且k≠0， 解得k＞－且k≠0. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)当k＝1时，用配方法解方程． [解答] 解：当k＝1时，原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，即x2－6x－5＝0. 移项，得x2－6x＝5. 配方，得x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14. 直接开平方，得x－3＝±. 解得x1＝3＋. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　(2023·聊城) 若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有实数解，则m的 取值范围是(　　) A．m≥－1 B．m≤1 C．m≥－1且m≠0 D．m≤1且m≠0 D 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__________． ☞变式　(2022·遂宁) 已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，那么m3＋ 2m2－2 025m＋2 022的值为(　　) A．－2 022 B．0 C．2 022 D．4 044 一元二次方程根与系数的关系 命题点 2 －2 B 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2023·仙桃) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； [解答]　证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值． 解：∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a＋b＝－＝m2＋m. ∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab， ∴2(a＋b)2＋ab＝20.∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20. 整理，得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.∴m的值为－2或1. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　(2023·南充) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴方程总有实数根． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 解：由题意知，x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵， ∴.整理，得5m2－7m＋2＝0.解得m＝1或m＝. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 一元二次方程的实际应用 命题点 3 [解答] 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意，得 1.6(1＋x)2＝2.5.解得x1＝25%，x2＝－(不合题意，舍去)． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ [解答] 解：设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．由题意，得 2.125＋10a≤2.5(1＋25%)．解得a≤0.1. 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元， 已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　) A．20% B．25% C．30% D．36% A 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 如图，在长为100 m、宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小 路的宽是(　　) A．5 m B．70 m C．5 m或70 m D．10 m A 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 ☞变式　(2022·泰州) 如图，在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1 260 m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为x m．根据题意，得(50－2x)(38－2x)＝1 260. 解得x1＝4，x2＝40(不合题意，舍去)． 答：道路的宽应为4 m． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 命题点1 命题点2 命题点3 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．(2023·眉山) 关于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围是(　　) A．m＜ B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3 D 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2023·乐山) 若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0两根为x1，x2， 且x1＝3x2，则m的值为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 C 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2023·枣庄) 若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 023－6a＋ 2b的值为__________． 2 019 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 4．(2023·黄冈) 已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2 若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝__________． －5 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 5．已知关于x的方程kx2－(4k－3)x＋3k－3＝0.求证：无论k取何值，该方程都有实数根． 证明：当k≠0时，Δ＝(4k－3)2－4k(3k－3)＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，此时方程有两个实数根；当k＝0时，原方程为3x－3＝0，解得x＝1.故无论k取何值，该方程都有实数根． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 6．已知x1，x2是关于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0的两个不相等的实数根，且满足|x1|＋|x2|＝2x1x2－3，求k的值． 解：∵关于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(1－2k)2－4k2>0且k2≠0，解得k<且k≠0. ∵原方程的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝<0，x1x2＝>0.∴x1<0，x2<0. ∵|x1|＋|x2|＝2x1x2－3，∴－x1－x2＝2x1x2－3，即－(x1＋x2)＝2x1x2－3. ∴－－3.整理，得3k2－2k－1＝0.解得k1＝1，k2＝－. 又∵k<且k≠0，∴k1＝1不合题意，舍去．∴k的值为－. 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．某商品的进价为每件40元，每件售价最高为66元．实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6 500元，则每件应降价多少元？ 解：设每件应降价y元．由题意，得(66－y－40)(240＋20y)＝6 500. 整理，得y2－14y＋13＝0.解得y1＝1，y2＝13.又∵要尽快减少库存， ∴y＝13. 答：每件应降价13元． 返回首页 第6讲　一元二次方程 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P13～14素养综合练测6 $$