第5讲 一次方程(组)（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第5讲　一次方程(组) 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 等式的性质[拓展：(传递性)若a＝b，b＝c，则a＝c] 性质1 等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等．即 如果a＝b，那么a±c＝__________ 应用：解方程中的移项 b±c 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．即 如果a＝b，那么__________＝bc； 如果a＝b，那么＝ (c≠0) 应用：解方程中去分母或系数化为1 ac 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．下列方程的变形，错误的是(　　) A．由－x＝4，得x＝－2 B．由2x＝12，得x＝6 C．由x＋1＝y－9，得x－y＝－9－1 D．由x＋3＝－2，得x＝－2－3 A 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．定义：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程． 一般形式：ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)． 一元一次方程及其解法 [注意：未知数不能出现在分母的位置] 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．一元一次方程的解法步骤与注意事项　 步骤 例：(x＋1)＝2x 注意事项 去分母 ________________ 不要漏乘不含分母的项 去括号 _______________ 括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号 移项 －2x－6x＝2－6 移项要变号 合并同类项 －8x＝－4 合并同类项时，系数相加，字母及其指数均不变 系数化为1 x＝ 分子、分母不要颠倒 6－2(x＋1)＝6x 方程两边各项都乘3. 6－2x－2＝6x 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．已知ax＋3＝0的解是x＝3，则a＝__________. 3．把方程＝1去分母，正确的是(　　) A．3x－(x－1)＝1 B．3x－x－1＝1 C．3x－x－1＝6 D．3x－(x－1)＝6 －1 D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 二元一次方程(组)及其解法 相关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是__________的方程 二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是__________，并且一共有两个方程 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解 1 1 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 基本思想 二元一次方程组一元一次方程 解法 代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未知数的系数为1或－1时，用代入消元法比较简便 加减消元法：当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或　　成整数倍数关系时，用加减消元法比较简便　 相减． 相加． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 三元一次方程组(*选学)：解三元一次方程组的思想是“消元”，通过消元将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程的解进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4．用代入消元法解方程组将②代入①，得___________， 解得__________．将__________代入②可得y＝__________．∴方程组的 解为． 3x＋2x＝10 x＝2 x＝2 4 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．用加减消元法解方程组 ②－①，得__________， 解得__________． ①＋②×3，得__________，解得__________．∴方程组的解为 ． 4y＝4 y＝1 8x＝16 x＝2 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．列方程(组)解决实际问题的一般步骤 (1)审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量； (2)设：设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数； (3)列：找到适当等量关系，列方程(组)； (4)解：解这个方程(组)，求出未知数的值； (5)验：检验方程(组)的解是否正确且是否符合题意； (6)答：写出答案(包括单位名称)． 一次方程(组)的实际应用 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．常见应用类型及相等关系 购买问题 总价＝单价×数量　甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价 甲数量＋乙数量＝总数量 销售利润问题 售价＝标价×折扣(如打八折即“标价×0.8”) 销售额＝售价×销量 利润＝售价－进价＝进价×利润率　利润率＝×100% 工程问题 工作总量(常设为1)＝工作效率×工作时间 甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 行程问题 基本量间的关系：路程＝速度×时间 (1)相遇问题(相向而行)：全路程＝速度和×相遇所用的时间 (2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 ②同时不同地出发： 前者走的路程＋两者间的距离＝追者走的路程 (3)环形问题：①环形追及：快者路程－慢者路程＝环形周长 ②环形相遇：甲路程＋乙路程＝环形周长 (4)航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度　 逆水速度＝静水速度－水流速度 等积问题 (1)等面积问题：平面图形变形前后面积不变 (2)等体积问题：立体图形变形前后体积(容积)不变 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 6．某家具的进价为108元，标价为x元，若降价以九折出售(优惠10%)， 则售价为__________元，仍可获利10%(相对于进货价)，则可列方程为____________________． 7．20名学生在进行一次科学实践活动时，需要组装一种实验仪器，仪 器是由三个A部件和两个B部件组成．在规定时间内，每人可以组装好 10个A部件或20个B部件．那么，在规定时间内，设x名学生组装A部 件，则_________名学生组装B部件，可列方程为___________________ ________，最多可以组装出实验仪器__________套． 0.9x 0.9x＝108×(1＋10%) (20－x) 3×20(20－x)＝ 2×10x 50 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 8．甲、乙两人相距50 km，若同向而行，乙10 h可追上甲；若相向而 行，2 h两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x km，y km，可列方程 组为． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范 围是(　　) A．m≥2 B．m>2 C．m<2 D．m≤2 一元一次方程及其解法 命题点 1 C 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例1：求出方程的解是x＝m－2，再列不等式求m的取值范围． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 以下是圆圆解方程＝1的解答过程． 解：去分母，得3(x＋1)－2(x－3)＝1. 去括号，得3x＋1－2x＋3＝1.移项、合并同类项，得x＝－3. 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． [解答] 解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下： 去分母，得3(x＋1)－2(x－3)＝6. 去括号，得3x＋3－2x＋6＝6.移项、合并同类项，得x＝－3. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例2：去分母时每一项都要乘6. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式　解方程：. 解：去分母，得2(x＋3)＝12－3(3－2x)． 去括号，得2x＋6＝12－9＋6x.移项，得2x－6x＝12－9－6. 合并同类项，得－4x＝－3.系数化为1，得x＝. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 变式：解一元一次方程可以依次按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤完成． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 数学文化《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步为长度单位)” 设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是(　　) A．x＝100－x B．x＝100＋x C．x＝100＋x D．x＝100－x 一元一次方程的实际应用 命题点 2 B 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例3：走路快的人走x步，则走路慢的人走x步．由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 ☞变式　数学文化(2022·绍兴) 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150 里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的 天数是__________． 20 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 变式：设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同，可得240x＝150(x＋12)，即可解得良马20天追上劣马． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10 000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； [解答] 解：设甲区有农田x亩，则乙区有农田(x－10 000)亩． 由题意，得80%x＝x－10 000.解得x＝50 000. 则x－10 000＝50 000－10 000＝40 000. 答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同)，喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 [解答] 解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，派往甲区的无人机架次为a架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为1.2a架次． 由题意，得ay＝1.2a，即y＝1.2，解得y＝100. 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例4：(1)设甲区有农田x亩，则乙区有农田(x－10 000)亩，根据“甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同”建立方程，解方程即可； (2)设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩，派往甲区的无人机架次为a架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒亩，派往乙区的无人机架次为1.2a架次，根据两区喷洒的面积相同建立方程，解方程即可得． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则 的值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 二元一次方程(组)及其解法 命题点 3 D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例5：(方法一)利用加减法解方程组，用n，m表示出x，y，再将求得的代数式代入x＋y＝1，得到m，n的关系，最后将4m÷2n变形，即可解答． (方法二)两个方程相减，得到2m－n＝2(x＋y)＋1，再根据x＋y＝1求出2m－n＝3代入4m÷2n进行计算即可． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 数学文化(2022·武汉) 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例6：由题意可知，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 数学文化(2023·荆州) 我国古代数学名著《孙子算经》中记载： “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一 尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺； 将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺， 绳子长y尺，则可列方程组为(　　) A． B． C． D． 二元一次方程(组)的实际应用 命题点 4 A 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例7：根据“一根绳子去量一根木条，绳子余4.5尺”可知：绳子长＝木条长＋4.5尺，再根据“将绳子对折再量木条，木条余1尺”可知：绳子长＝木条长－1尺，据此列出方程组即可． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本(三种图书 都要买)，此次采购的方案有(　　) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 B 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例8：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．跨学科融合(2022·滨州) 在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝，去分母得IR＝U，那么其 变形的依据是(　　) A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 B 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 2．解方程－2(2x＋1)＝x，以下去括号正确的是(　　) A．－4x＋1＝－x B．－4x＋2＝－x C．－4x－1＝x D．－4x－2＝x D 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 3．数学文化(2022·甘肃) 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方 程为(　　) A．x＝1 B．x＝1 C．(9－7)x＝1 D．(9＋7)x＝1 A 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 4．数学文化(2023·宜宾)“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少 只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是(　　) A． B． C． D． B 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 5．数学文化(2023·绍兴) 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小 器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文： 今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器 1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？ 设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是(　　) A． B． C． D． B 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 6．已知是方程3x＋2y＝10的一个解，则m的值是__________． 2 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 7．条件开放若关于x，y的二元一次方程组的解为 则多项式A可以是_________________(写出一个即可)． x－y(答案不唯一) 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 8．数学文化我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有__________两． 46 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 9．若关于x的方程－x＝2的解与方程x＋1＝m的解相同，求m的值． 解：解方程－x＝2，得x＝4－m. ∵关于x的方程－x＝2的解与方程x＋1＝m的解相同，∴4－m＋1＝m.∴m＝. 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 10．(2023·连云港) 解方程组： 解：①＋②，得5x＝15，解得x＝3. 将x＝3代入①，得3×3＋y＝8，解得y＝－1. 故原方程组的解为 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 11．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1 000根口罩耳绳，一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，怎样安排工人生产口罩面和口罩耳绳？ 解：设安排x名工人生产口罩面，安排y名工人生产口罩耳绳．由题意，得 解得 答：安排 10名工人生产口罩面和16名工人生产口罩耳绳． 返回首页 第5讲　一次方程(组) 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P11～12素养综合练测5 $$