第2讲 代数式、整式及因式分解（课件PPT）-【中考导学案】2024年中考数学讲义（武汉专用）

第2讲　代数式、整式及因式分解 2024《中考导学案》 ——武汉数学 目 录 1 依标扣本 掌握必备知识 2 聚焦中考 培育核心素养 3 课堂反馈 落实学业要求 1 依标扣本 掌握必备知识 1．代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子． 代数式及求值 列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来． 相加减的代数式后面带单位时，要用括号括起来，如(x＋y)人． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．代数式求值 直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并计算求值 整体代入法 当单个字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，代入所求代数式，用这种方法时要先对已知条件或所求代数式进行变形，如找倍数关系、因式分解、移项等 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1. 下列各式是代数式的是(　　) A．S＝πr 　　　　　　 B．5＞3 C．3x－2 D．a＜b＋c 2．(人教七上P54例1改编) x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品 总价为___________元． 3．若a－3b＝3，则(a＋2b)－(2a－b)的值为___________． C (ax＋by) －3 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．整式：单项式与多项式统称整式． 2．单项式 (1)定义：用数或字母的积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式，如－3，，πr2，2a2b3c. 整式的相关概念 (2)系数：单项式中的数字因数．　 (3)次数：一个单项式中，所有字母的指数的和． 对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0，如2的次数为0. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．多项式 (1)定义：几个单项式的和叫做多项式．　　　　　　 (2)项：多项式中每个单项式叫做多项式的项．不含字母的项叫做常数项．每项都包括前面的符号． (3)次数：多项式里，次数最高项的次数，如x2y＋y2的次数是3. 【知识拓展】多项式的升(降)幂排列是指把一个多项式的每个项按某一字母的指数从小到大(从大到小)的顺序排列起来，如2－xy2－4x3y按y的降幂排列是－xy2－4x3y＋2. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． [“两个无关”：与系数无关，与字母的顺序无关] 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4．下列式子：－abc2，3x＋y，c，0，2a2＋3b＋1，x－x，， 其中单项式有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 5．多项式2－xy2－4x3y是___________次___________项式，其中常数项 是___________． 6．若单项式2amb与－a2bn是同类项，则m＋n的值为___________． 四 三 2 3 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．加减运算：整式的加减运算的实质是合并同类项．如果有括号就先去括号，再合并同类项． 2．幂的运算(m，n都是整数，a≠0，b≠0) 整式的运算 同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an＝___________ 同底数幂相除 底数不变，指数相减，即am÷an＝___________ 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即(am)n＝___________ 积的乘方 各因式分别乘方的积，即(ab)n＝___________ 任何不等于0的数的0次幂都等于1 am＋n am－n amn anbn 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3.乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，如2ac5·3bc2＝________ 单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如p(a＋ b＋c)＝_______________　 6abc7 [注意：相乘的结果仍是单项式] pa＋pb＋pc [注意：积的项数与所乘多项式的项数相等，要避免漏乘] 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(a＋b)(p＋q)＝________________　 乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝___________ 完全平方公式：(a±b)2＝_____________ 避免漏项． ap＋aq＋bp＋bq a2－b2 a2±2ab＋b2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 4.除法运算 单项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，如12a3b2x3÷3ab2＝___________ 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加，如(am＋bm)÷m＝___________ 4a2x3 a＋b 5.混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行计算． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 7．写出一个单项式，使得它与多项式a－3b的和为单项式：___________． 8．下面去括号正确的是(　　) A．a2－(2b－c＋a)＝a2－2b－c＋a B．3a－[6a－(4a－1)]＝3a－6a－4a＋1 C．x＋(－4x＋2y－6)＝x－4x＋2y－6 D．－(2x2－y)＋(z＋1)＝－2x2－y－z－1 －a(或3b) C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 9．(2023·吉林) 下列各式运算结果为a5的是(　　) A．a2＋a3　　 B．a2·a3 C．(a2)3 D．a10÷a2 10．(2023·广元) 下列计算正确的是(　　) A．2ab－2a＝b B．a2·a3＝a6 C．3a2b÷a＝3a D．(a＋2)(2－a)＝4－a2 B D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 11．化简：(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2. 解：原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2 ＝3y2－4xy. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 1．定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 因式分解 [互逆关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即积化和差是乘法，和差化积是因式分解] 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2．基本方法 (1)提公因式法 pa+pb+pc 因式分解 整式乘法 p(a+b+c) 公因式的确定 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项所有相同的字母 指数：取各项所有相同字母的最低次幂 可能含有多项式 [注意：若多项式第一项的符号是“-”，则公因式的符号一般为负] 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 (2)公式法 因式分解 整式乘法 平方差公式：a2-b2 (a+b)(a-b) 完全平方公式：a2 ±2ab+b2 因式分解 整式乘法 此类多项式称为完全平方式． (a±b)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 3．一般步骤 一提：如果多项式的各项有公因式，就先提取公因式 二套：各项没有公因式， 再套用公式 对于两项且符号相反，考虑用平方差公式对于三项，考虑用完全平方公式 首项为负，将负号一并提出． 三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式不能再分解为止 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 【知识拓展】十字相乘法： ①x2＋7x＋10 ＝(x＋5)(x＋2) x　　＋5 x　　＋2 ②6x2－x－15 ＝(2x＋3)(3x－5) 2x　　＋3 3x　　－5 顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱． 分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 12．(2023·济宁) 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是(　　) A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9 B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4 C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y) D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4) C 13．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋b2　 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 14．分解因式： (2023·广西) a2＋5a＝___________； (2023·北京) x2y－y3＝_______________； (2023·邵阳) 3a2＋6ab＋3b2＝___________； x3＋5x2＋6x＝___________________； 2ax－10ay＋5by－bx＝___________________． a(a＋5) y(x＋y)(x－y) 3(a＋b)2 x(x＋2)(x＋3) (2a－b)(x－5y) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 总目录 2 聚焦中考 培育核心素养 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种 读本x本，则购买乙种读本的费用为(　　) A．8x元 B．10(100－x)元 C．8(100－x)元 D．(100－8x)元 列代数式 命题点 1 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·宜昌) 在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数的方框部分，设右上角的数为 a，则下列叙述中正确的是(　　) A．左上角的数为a＋1 B．左下角的数为a＋7 C．右下角的数为a＋8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的 倍数 D 日 一 二 三 四 五 六       1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31   返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 (2023·武汉) 计算(2a2)3的结果是(　　) A．2a6 B．6a5 C．8a5 D．8a6 ☞变式　(2023·怀化) 下列计算正确的是(　　) A．a2·a3＝a5 B．a6÷a2＝a3 C．(ab3)2＝a2b9 D．5a－2a＝3 整式的运算 命题点 2 D A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a(a＞6)米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积(　　) A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 若a2＋3a－4＝0，则2a2＋6a－3＝(　　) 代数式化简与求值 命题点 3 A．5 B．1 C．－1 D．0 ☞变式　(2023·凉山州) 已知x2－2x－1＝0，则3x3－10x2＋5x＋2 027的 值等于___________． A 2 023 若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为___________. 90 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 例5：将2a2＋6a－3变形为2(a2＋3a)－3，再整体代入计算即可． 变式：将所求式子变形为3x(x2－2x)－4(x2－2x)－3x＋2 027，再整体代入计算即可． 例6：(方法一)将m2＋n2变形得到(m＋n)2－2mn，再把m＋n＝10，mn＝5代入进行计算求解．(方法二)将m，n看作方程x2－10x＋5＝0的两个根也可求解． 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 先化简，再求值：x(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)＋x，其中x＝1， y＝. [解答] 解：原式＝x(x2－y2)＋xy2－2xy＋x ＝x3－xy2＋xy2－2xy＋x ＝x3－2xy＋x. 当x＝1，y＝时，原式＝13－2×1×＋1＝1. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 下列何者为多项式x2－36的因式(　　) A．x－3 B．x－4 C．x－6 D．x－9 ☞变式　若关于x的多项式x2－px－6含有因式x－2，则实数p的值为 (　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 因式分解 命题点 4 C C 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 若a2＋2ab＋b2－c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b－c的值是(　　) A．2 B．5 C．20 D．50 A 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 总目录 3 课堂反馈 落实学业要求 1．一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是 (　　) A．x＋y B．10xy C．10(x＋y) D．10x＋y D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 2．(2022·武汉) 计算(2a4)3的结果是(　　) A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 3．(2023·眉山) 下列运算中，正确的是(　　) A．3a3－a2＝2a B．(a＋b)2＝a2＋b2 C．a3b2÷a2＝a D．(a2b)2＝a4b2 D 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 4．(2023·巴中) 若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为 (　　) A．5 B．7 C．10 D．－13 B 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 5．图(1)是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2) 那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是(　　) C A．ab B．(a＋b)2 C．(a－b)2 D．a2－b2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 6．(2023·长春) 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速 度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为___________公里．(用含x的代数式表示) (7.5－10x) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 7．(2023·绍兴) 因式分解：m2－3m＝___________． m(m－3) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 8．(2023·株洲) 因式分解：x2－2x＋1＝___________． (x－1)2 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 9．(2023·十堰) 若x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2的值是___________． 6 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 10．(2023·绥化) 因式分解：x2－xz＋xy－yz＝___________． (x＋y)(x－z) 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 11．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图)． (1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________； (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块， 再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块． a2＋b2 4 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 12．(2022·苏州) 已知3x2－2x－3＝0，求(x－1)2＋x的值． 解：原式＝x2－2x＋1＋x2＋x＋1.∵3x2－2x－3＝0， ∴x2－x＝1. ∴原式＝2＋1＝2×1＋1＝3. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 13．(2023·凉山州) 先化简，再求值： (2x＋y)2－(2x＋y)(2x－y)－2y(x＋y)，其中x＝，y＝22 022. 解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy. 当x＝，y＝22 022时，原式＝2××22 022＝2××12 022＝1. 返回首页 第2讲　代数式、整式及因式分解 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 11 总目录 12 13 本讲内容结束 请完成《练测本》P3～4素养综合练测2 $$