第五章 函数的概念、性质及应用重难点检测卷 -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

第五章 函数的概念、性质及应用重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）用区间表示集合 . 【答案】 【分析】利用区间的定义即可求解. 【详解】集合的区间表示为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】分三种情况，将原函数等价为分段函数，借助图象可得最小值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 即，    由图象可得函数的最小值为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）若是闭区间上的偶函数，则 ． 【答案】6 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，根据偶函数的定义求得，由此求得. 【详解】因为是区间上的偶函数， 则，解得， 由是偶函数，则， 即， 即，则， 所以. 故答案为：6. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则 ． 【答案】 【分析】等式右边化简得，根据题意由对应系数相等求出即可. 【详解】 ， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】由题目条件得到在R上单调递增，分和两种情况，结合系数的正负得到不等式，求出答案. 【详解】对于任意的，且，均有， 故在R上单调递增， 当时，在R上单调递增，此时需，所以， 当时，在R上单调递减，此时需，所以， 综上，或. 故答案为：或. 7．（2024高一·上海·专题练习）函数是定义在()上的偶函数且在上是增函数，则，，的大小顺序是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性可得，再利用奇偶性可得答案. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以，， 所以， 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得在上无实数根，参变分离可得在上无实数根，令，，求出的值域，即可得到不等式，解得即可. 【详解】依题意在上无实数根，即在上无实数根， 即在上无实数根， 令，，则在上单调递增， 又，，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或； 当时，， 此时函数是奇函数，在单调递减，定义域为， 此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，故不符合题意； 当时，， 此时函数是偶函数，在单调递增，定义域为， 此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故符合题意； 综上所述，的取值集合为， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·课前预习），其图像如图1． （1）从左至右图像上升还是下降？ ； （2）在区间 上，随着的增大，的值随之 ． 【答案】 下降 减小 【分析】（1）根据图象特征，即可判断；（2）根据和的变化关系，即可判断变化趋势. 【详解】（1）根据图象特征，可得图象是下降的； （2）在区间上，随着的增大，的值随之减小. 故答案为（1）下降；（2）；减小 11．（24-25高一上·上海·期中）对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合单调性分析可知在定义域内只有1个零点1，结合题意可知的零点在内，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】因为在上单调递增， 可知在上单调递增，且， 所以在定义域内只有1个零点1， 若函数与互为“零点相邻函数”，可知的零点在内， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·云南楚雄·阶段练习）已知海面上的大气压强是，大气压强P（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 倍（精确到0.01）. 【答案】 【分析】先由题给数据求出，再根据所给条件分别求出A、B型直升机所受的大气压强和，接着计算即可得解. 【详解】依题意，即， 则A型直升机所受的大气压强，型直升机所受的大气压强， 所以， 所以A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的倍. 故答案为：. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（   ）个． ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①：根据指数函数单调性分析判断；对于②③：举反例说明即可. 【详解】对于①：因为在定义域内单调递增，且，可得，故①正确； 对于②③：例如，满足， 但，即，且均无意义，故②③错误； 所以一定成立的有1个. 故选：B. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用严格增函数的性质，结合不等式性质解题即可. 【详解】由知且，由在上是严格增函数， 故，，故． 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数，定义满足的x为函数的正值点，满足的x为函数的负值点，已知集合中有该函数的两个负值点和一个正值点，则正值点（   ） A．不可能是 B．不可能是0 C．不可能是1 D．三个数都有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质分情况讨论得解. 【详解】由集合中有函数的两个负值点和一个正值点， 得或或， 由，得，即，此不等式组有解，符合题意， 如取，，因此可能是正值点，A错误； 由，得，即，此不等式组有解，符合题意， 如取，，因此可能是正值点，C错误； 由，得，即，此不等式组无解，不符合题意，0不可能是正值点，B正确，D错误. 故选：B 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解． 【详解】由题意可得，则， 即，对称轴在轴左侧，知该函数在上单调递增， 又，，， 若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为， ①不成立； 又的最小正整数的值为， 可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立． 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)，； (3)； (4)，． 【答案】(1)最大值为1，无最小值； (2)最大值为1，最小值为-3； (3)最小值为-8，无最大值； (4)最小值为-6，最大值为0. 【分析】（1）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值； （2）结合（1）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域； （3）由二次函数的性质，结合二次函数的图象可得最大值与最小值； （4）结合（3）的图象，由二次函数的性质可得最大值与最小值，需要注意定义域； 【详解】（1）函数是一个以为对称轴，开口向下的二次函数， 如下图：时，，    所以函数的最大值为，无最小值； （2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减， 时，，时，， 所以函数的最大值为1，最小值为-3； （3）函数是一个以为对称轴，开口向上的二次函数， 如下图：时，，    所以函数的最小值为-8，无最大值； （4）由（3）可知，函数上单调递减， 时，，时，， 所以函数的最大值为0，最小值为-6. 18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m、n的值； (2)求满足条件的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数为幂函数，则，解得， 又因为该的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数， 又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 19．（24-25高一上·上海浦东新·期中）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的小道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：，.问：甲、乙两车有无超速现象？ 【答案】甲无超速现象，乙有超速现象． 【分析】根据已知刹车距离求得速度确定是否超速． 【详解】，又，故解得， ，又，故解得， 甲无超速现象，乙有超速现象． 20．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的图像是由两支组成的双曲线，    (1)当，作出函数图像； (2)是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）由直接作图即可； （2）由函数单调性的概念即可求解； （3）由一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）    （2）函数参数分离为， 若函数在区间严格减函数，则， 且函数的最大值， 即，解得：， 所以实数的取值范围是； （3）由题意可知：在区间有两个不同的根，或在区间有两个不同的根， 由可得，如果方程有根，由韦达定理可知：，所以两根不可能同在区间上， 所以应在区间有两个不同的根， 可得：，又， 代入得：， 解得：， 所以实数的取值范围是 21．（23-24高一上·上海·期末）在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 【答案】(1)根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. (2)当时,最低值为多少 (3)由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【分析】（1）结合条件，提出合理的假设即可. （2）由条件求解析式，结合基本不等式求求最小值. （3）第三小问属于开放式试题,合理的建议即可. 【详解】（1）根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. （2）稳定阶段: 疲劳阶段: 故. 当时， 当时， 当且仅当时，即时取等号. 比较可知，当时 故最低值为多少 （3）由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【点睛】分段函数要找到分段点，时间的变化要带入数学式子中计算,以免产生错误. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数的概念、性质及应用重难点检测卷 学校：________姓名：________班级：________考号：________ 注意事项： 本试卷满分150分，试题共21题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）用区间表示集合 . 2．（24-25高一上·上海·期中）函数的最小值为 . 3．（24-25高一上·上海·期中）若是闭区间上的偶函数，则 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为 . 7．（2024高一·上海·专题练习）函数是定义在()上的偶函数且在上是增函数，则，，的大小顺序是 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为 . 10．（24-25高一上·上海·课前预习），其图像如图1． （1）从左至右图像上升还是下降？ ； （2）在区间 上，随着的增大，的值随之 ． 11．（24-25高一上·上海·期中）对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·云南楚雄·阶段练习）已知海面上的大气压强是，大气压强P（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 倍（精确到0.01）. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知a，b是非零实数，且，则下列不等式中一定成立的有（   ）个． ①    ②    ③ A．0 B．1 C．2 D．3 14．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·期中）已知二次函数，定义满足的x为函数的正值点，满足的x为函数的负值点，已知集合中有该函数的两个负值点和一个正值点，则正值点（   ） A．不可能是 B．不可能是0 C．不可能是1 D．三个数都有可能 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)，； (3)； (4)，． 18．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点. (1)确定m、n的值； (2)求满足条件的实数的取值范围. 19．（24-25高一上·上海浦东新·期中）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的小道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：，.问：甲、乙两车有无超速现象？ 20．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的图像是由两支组成的双曲线，    (1)当，作出函数图像； (2)是否存在实数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值恒为负？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求实数的取值范围． 21．（23-24高一上·上海·期末）在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 学科网（北京）股份有限公司 $$