专题05 分式与分式方程（15题型100题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题05 分式与分式方程 题型01 分式的定义 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）在,，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·四川内江·期中）下列代数式，，，，中是分式的有（　　）个 A．4 B．2 C．3 D．5 3．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）若是分式，则“”可以是（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 题型02 分式的有（无）意义、值为零 5．（16-17八年级上·云南红河·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 7．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（19-20八年级上·河北邢台·期末）已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 c 分式的值 无意义 0 3 （1） ； （2） ． 10．（21-22八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 11．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知分式，当x＝2时，分式的值为0，当x＝1时，分式无意义，则m+n＝ ． 题型03 分式的基本性质 12．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·河北唐山·二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 15．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）写出一个与分式相等的分式，下面正确的（ ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）分式中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（     ） A．2 B． C． D．y 17．（23-24八年级下·四川内江·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的2倍 18．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列说法错误的是（　　） A．若式子没有意义，则x的取值范围是 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 题型04 分式的约分与通分 19．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 21．（21-22八年级上·河北邯郸·期末）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 22．（20-21八年级下·河北保定·期末）下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·河北邢台·期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 题型05 分式的乘除法运算 25．（21-22八年级下·河北保定·期末）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 26．（21-22八年级上·河北承德·期末）化简，正确结果是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 28．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 29．（22-23八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 题型06 分式的加减运算 30．（2023·河南·中考真题）化简的结果是（    ） A．0 B．1 C．a D． 31．（22-23八年级上·河北保定·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．2 D． 32．（21-22八年级上·河北保定·期末）若，则中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 33．（21-22八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（    ） 计算： 解：原式 A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质 34．（21-22八年级下·贵州·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：， 乙同学： 下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确 C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确 35．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 36．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）计算的结果是 ． 37．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 38．（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 39．（22-23八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 题型07科学记数法 40．（23-24八年级下·河北沧州·期中）某芯片晶体管栅极宽度达，用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径为am，用科学记数法表示为，则a中小数点后面0的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 42．（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 题型08 零指数幂与负指数幂 43．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 44．（13-14九年级·浙江温州·周测）计算：（    ） A． B．2 C．1 D．0 45．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算：． 46．（21-22六年级下·山东烟台·期中）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）． 题型09 解分式方程 47．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 48．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）已知代数式 和 的值相等，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 49．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）下面是小明同学解方程的过程． 解：方程两边同时乘，得    第一步 解得：   第二步 检验：当时，   第三步 所以原方程的解是   第四步 针对以上解题过程，下列说法正确的是（    ） A．完全正确 B．从第三步开始有错 C．从第二步开始有错 D．从第一步开始有错 50．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程 (1)； (2)． 51．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 52．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 题型10 分式方程的应用问题 53．（23-24八年级上·河北保定·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（    ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 54．（23-24八年级下·河北保定·期末）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务．求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（    ） A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度 C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 55．（23-24八年级上·河北保定·期末）为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：甲：；乙：，则下列说法不正确的是（    ） A．x表示原计划平均每月的绿化面积 B．y表示实际完成这项工程需要的月数 C．□表示 D．◇表示 56．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 57．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 58．（23-24八年级上·河北承德·期末）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 59．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 60．（16-17八年级上·安徽合肥·期末）某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． (1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ (2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 61．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）某工厂计划购进A，B 两种型号的机器，其中每台 B 型机器的进价比A型机器多300元，且用72000 元购进A 型机器的数量与用81000元购进B型机器的数量相等． (1)求 A，B 两种型号机器每台的进价； (2)该工厂打算用不超过100000元的资金购进 A，B两种型号的机器共 40 台，  则至少需要购进多少台 A 型机器？ 62．（23-24八年级下·山西临汾·期末）年月日，“我们的节日·春节——平遥中国年”在古城平遥启动，活动以“龙腾新时代，活力中国年”为主题，从月日开始到月日持续天．在此期间，古城游客暴增，平遥特色工艺品推光漆器备受欢迎．某旅行团购买种漆器的总价为元，购买种漆器的总价为元，其中购买种漆器的数量比种多件．已知种漆器的单价比种单价贵．求种漆器每件的价格． 63．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）某商场第一次购进一定数量的A，B两个款式的T恤，其中A款T恤一共花费1200元，B款T恤一共花费6000元，每件B款T恤的进价比每件A款T恤的进价高80元，且B款T恤的数量刚好是A款T恤数量的3倍． (1)求第一次购进的A，B两款T恤的进价； (2)第一批货卖完后，商场决定再购进一定数量的B款T恤，且进货量不超过60件，商场的销售情况如下：先按标价300元卖了15件，剩余的按标价打八折进行促销，若总利润不低于3220元，求第二次可购进B款T恤多少件． 64．（23-24八年级下·河北保定·期末）某中学积极探索“五育并举，融合育人”的育人方式，计划组织八年级师生到皮影非遗传承基地开展跨学科主题研学活动．为正常开展研学活动，学校需为前往的师生们准备一些皮影道具作为学习材料，供应商A提供的皮影材料每件比供应商B提供的皮影材料每件便宜20元，用240元在供应商A处购买的皮影材料的件数与用360元在供应商B处购买的皮影材料的件数相同． (1)供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为多少元？ (2)考虑到学生的参与度和学习效果，学校计划购买皮影道具的总数量为120件．若学校的预算不超过5600元，且从供应商B处购买的材料件数不少于从供应商A处购买的材料件数的一半．若学校决定从供应商A处购买m件皮影道具，求m的值． 65．（23-24八年级上·河北保定·期末）保定市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同． (1)足球与篮球的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？如何购买？（直接写出答案） 66．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 67．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 68．（12-13九年级·重庆·课后作业）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 69．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成． (1)甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？ (2)若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元． ①若甲队单独完成这项工程，总工程款为 万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为 万元． ②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）． 70．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 71．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 72．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 题型01 分式的求值问题 73．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 74．（22-23八年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 75．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若，则等于 ． 题型02 由分式的符号求字母的范围 76．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 77．（21-22八年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 78．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 79．（21-22八年级上·河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型03 分式加减的应用 80．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 81．（2021九年级·全国·专题练习）如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣1）m的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（　　） A．优选1号单位面积产量高 B．优选2号单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量相等 D．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 82．（21-22八年级下·河北保定·期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 83．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 84．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． （2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： ①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 85．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题． (1)请你通过计算，验证小明的说法； (2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由． 86．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 题型04 分式的混合运算与求值 87．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（  ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 88．（23-24八年级下·河北保定·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 89．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知：． (1)化简； (2)从中选一个合适的数作为的值，求的值． 90．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法． 计算：． 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程．我选择______同学． 91．（23-24八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，且a的值满足． 92．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 93．（23-24八年级上·河北保定·期末）先化简后，再任选一个你喜欢的数x代入求值． 94．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号） ①；  ②；  ③；  ④． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 题型05 分式方程解的讨论问题 95．（16-17八年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．3 C． D．2 96．（16-17八年级下·陕西·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 97．（11-12九年级上·江苏苏州·期中）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 98．（2022·重庆·一模）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 99．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 100．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）已知关于x的分式方程. （1）若，分式方程的解为 ； （2）若分式方程无解，则m的值为 ． 试卷第2页，共64页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式与分式方程 题型01 分式的定义 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）在,，，，，，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】考查了分式的定义，根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 分母中含有字母，因此是分式． 故选C． 2．（23-24八年级下·四川内江·期中）下列代数式，，，，中是分式的有（　　）个 A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 3．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）若是分式，则“”可以是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，解题的关键在于熟知“对于两个整式A、B，其中B中含有字母，则式子叫做分式”． 【详解】解：由分式的定义可知，只有C选项中的式子作为分母时，满足是分式， 故选C． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（     ） 甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母． 乙：是整式，因为，而1是整式． A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对 C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义即可解答． 【详解】解：∵因为是整式，且分母中含有字母， ∴代数式是分式，即甲对、乙不对． 故选A． 题型02 分式的有（无）意义、值为零 5．（16-17八年级上·云南红河·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件“分母不为零”可得，进行计算即可得，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：分式有意义，则， ， 故选：A． 6．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）若分式的值为0，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，根据分式值为零的条件列式计算即可得出答案． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得：， 故选：B． 7．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）分式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义则分母不为0，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：D． 8．（19-20八年级上·河北邢台·期末）已知时，分式无意义，则“□”可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件解答即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴当时，分式的分母等于0， ∵当时，， ∴C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 9．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知分式（为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 c 分式的值 无意义 0 3 （1） ； （2） ． 【答案】 / 5 【分析】本题主要考查分式，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程是解题的关键， （1）根据当时，分式无意义，即分母为0，即可求出b值；当时，分式的值为0，即可求出a值，即可求解； （2）由（1）可得分式为，再根据分式的值，解分式方程即可求出c的值， 【详解】解：（1）由表格数据得：当时，分式无意义， 当时，分式的值为0， 解得：， 分式为， 故答案为： （2）当分式的值为3时，即 解得：， 检验：为分式方程的解． 故答案为：5． 10．（21-22八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义分母为零，进行计算即可，解题的关键是由分式无意义分母为零，列出方程并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为：． 11．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）已知分式，当x＝2时，分式的值为0，当x＝1时，分式无意义，则m+n＝ ． 【答案】3 【分析】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【详解】解：∵当x＝2时，分式的值为0， ∴2x﹣m＝2×2﹣m＝0，解得：m＝4； ∵当x＝1时，分式无意义， ∴x+n＝1+n＝0解得：n＝﹣1． ∴m+n＝4﹣1＝3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了分式的值为0，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值为0，分式无意义的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义是解题的关键． 题型03 分式的基本性质 12．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式中的符号法则进行有关的化简． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：B． 13．（2023·河北唐山·二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质分别计算判断即可． 【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意． C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 14．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 15．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）写出一个与分式相等的分式，下面正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于零的数或式子，分式的值不变解答． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）分式中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（     ） A．2 B． C． D．y 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意； B、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意； C、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意； D、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，符合题意； 故选D． 17．（23-24八年级下·四川内江·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．缩小到原来的 C．不变 D．扩大到原来的2倍 【答案】B 【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则．根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则， 分式的值缩小到原来的， 故选：B． 18．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下列说法错误的是（　　） A．若式子没有意义，则x的取值范围是 B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C．分式的值不可能等于0 D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：A．若式子没有意义，则，即，故不符合题意； B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，即，所以分式的值不变，故符合题意； C．当，即时，，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意； D．若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故不符合题意； 故选：B． 题型04 分式的约分与通分 19．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式，据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、是最简分式，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的约分，先把分子分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故选C 21．（21-22八年级上·河北邯郸·期末）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【详解】解：， ， 故部分的式子应该是． 故选：B． 22．（20-21八年级下·河北保定·期末）下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，异分母的加减法，逐项判断即可；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变 【详解】A.当时， ，选项A不正确，不符合题意； B. 选项B不正确，不符合题意； C. ，选项C正确，符合题意； D. 选项D不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，，异分母的加减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 23．（23-24八年级上·河北邢台·期中）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 24．（23-24八年级下·河北保定·期末）琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 题型05 分式的乘除法运算 25．（21-22八年级下·河北保定·期末）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【答案】C 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 26．（21-22八年级上·河北承德·期末）化简，正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 27．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 28．（21-22八年级上·全国·课后作业）下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 29．（22-23八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的除法运算即可； （2）根据分式的除法，因式分解计算即可求出答案． 【详解】（1）解：原式＝ ＝ （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【点睛】此题考查了积的乘方，分式除法，解题关键是熟练掌握其相关的运算法则． 题型06 分式的加减运算 30．（2023·河南·中考真题）化简的结果是（    ） A．0 B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 31．（22-23八年级上·河北保定·期末）计算的结果是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式． 32．（21-22八年级上·河北保定·期末）若，则中的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，利用分式的加减法法则，即可求解． 【详解】解：． 故选A． 33．（21-22八年级下·河北保定·期末）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（    ） 计算： 解：原式 A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则 C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质 【答案】D 【分析】根据分式的加减法法则、合并同类项法则、提公因式法、分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、①：同分母分式的加减法法则，则此项正确，不符合题意； B、②：合并同类项法则，则此项正确，不符合题意； C、③：提公因式法，则此项正确，不符合题意； D、④：分式的基本性质，则此项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的加减法、合并同类项、提公因式法、分式的基本性质，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键． 34．（21-22八年级下·贵州·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：， 乙同学： 下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确 C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确 【答案】D 【分析】将分式化简，再比较甲乙两人的结果即可． 【详解】解： ， ∴两人的解答过程都不正确， 故选：． 【点睛】此题考查分式了的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 35．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 36．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查异分母分式加法运算，先通分，再算加法即可． 【详解】解： , 故答案为： 37．（23-24八年级上·河北承德·期末）“■”覆盖了两个分式之间的运算符号：． （1）若“■”表示的是“＋”，其运算结果为 ； （2）若“■”表示的是“÷”，并且其运算结果为1，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法与除法运算，利用平方根的含义解方程，掌握运算法则是解本题的关键； （1）按照同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）先计算分式的除法运算，再建立方程，利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：（1）； （2）， 而， ∴， 解得：，经检验符合题意； 故答案为：（1）；（2）； 38．（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明，小红 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算， （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： 故小明计算错误； 故小红计算错误； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红； （2）正确的解答过程如下： ． 39．（22-23八年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． （1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，即可求解； （2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型07科学记数法 40．（23-24八年级下·河北沧州·期中）某芯片晶体管栅极宽度达，用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】， 故选：． 41．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径为am，用科学记数法表示为，则a中小数点后面0的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法，（其中为正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数． 【详解】解：， ∴小数点后面0的个数有4个． 故选：B． 42．（2024·河北邢台·一模）红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是8位小数 D．是7位小数 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，以及幂的运算，根据相关概念和运算法则对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：， A项错误，不符合题意； ， B项错误，不符合题意； 是8位小数， 故C项正确，符合题意；D项错误，不符合题意； 故选：C． 题型08 零指数幂与负指数幂 43．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的性质求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 44．（13-14九年级·浙江温州·周测）计算：（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了0指数幂．利用0指数幂的定义“任何非零数的零次幂等于1”即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 45．（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，先根据零指数幂，算术平方根和乘方的意义将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、公式、定义和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 46．（21-22六年级下·山东烟台·期中）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q． （2）将代入（1）式，计算化简后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：将代入，得： ； （3）解：． 【点睛】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及代数式的正确书写． 题型09 解分式方程 47．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 48．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）已知代数式 和 的值相等，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案． 【详解】代数式 和 的值相等， , 经检验是分式方程的解． 故选：A． 49．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）下面是小明同学解方程的过程． 解：方程两边同时乘，得    第一步 解得：   第二步 检验：当时，   第三步 所以原方程的解是   第四步 针对以上解题过程，下列说法正确的是（    ） A．完全正确 B．从第三步开始有错 C．从第二步开始有错 D．从第一步开始有错 【答案】C 【分析】本题主要考查解分式方程，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为1、检验解决此题，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘，得 ，    解得： ，   检验：当时，，   所以原方程的解是 ， ∴题中解题过程，从第二步开始有错， 故选：C． 50．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意不要漏乘，结果要检验． （1）去分母化为整式方程，然后求解即可； （2）去分母化为整式方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类型，得， 化系数为1，得， 检验：， ∴是原方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类型，得， 化系数为1，得， 检验：， ∴是原方程的增根，即原方程无解． 51．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：设原题中“◆”是a， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 52．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解 ． 【答案】 3 的解是 第n个方程为，其解为 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程的解；根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】解：（1） 去分母得， 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：． 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：3； （2）由题意得，第⑤个方程为，其解为， 故答案为：的解是； （3）①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是， ……， 以此类推，可知，第n个方程为，其解为， 故答案为：第n个方程为，其解为． 题型10 分式方程的应用问题 53．（23-24八年级上·河北保定·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（    ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意和方程中式子的意义． 根据是表示快马的速度是慢马的2倍，则是表示慢马的速度，是表示快马的速度，所以是表示慢马的时间，是表示慢马的时间，即可求解． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：， ∴x表示规定的时间． 故选：C． 54．（23-24八年级下·河北保定·期末）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长的道路进行拓宽改造．为了减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务．求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．珍珍同学根据题意列出方程；文文同学根据题意列出方程．已知两人的答案均正确，下列说法正确的是（    ） A．x，y代表相同的含义 B．x表示实际每天改造道路的长度 C．y表示实际施工天数 D．表示实际每天改造道路的长度 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，理解题意是解题的关键．根据题意依次进行判断即可． 【详解】解：珍珍同学：设原计划每天改造道路的长度为，实际每天改造的长度为； 文文同学：设实际施工天数为，故原计划施工天数为； x，y代表不相同的含义，故选项A错误； x表示原计划每天改造道路的长度，故选项B错误； y表示实际施工天数，故选项C正确； 表示原计划每天改造道路的长度，故选项D错误； 故选：C． 55．（23-24八年级上·河北保定·期末）为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：甲：；乙：，则下列说法不正确的是（    ） A．x表示原计划平均每月的绿化面积 B．y表示实际完成这项工程需要的月数 C．□表示 D．◇表示 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的应用，先设原计划平均每月的绿化面积为，再建立方程，设实际完成这项工程需要个月，再建立方程，从而可得答案． 【详解】解：设原计划平均每月的绿化面积为，则 ， 设实际完成这项工程需要个月，则 ， ∴A，B，C，不符合题意，D符合题意； 故选D 56．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶?”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 57．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【答案】(1)嘉琪从张庄到李庄所用的时间 (2)方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据甲同学所列方程即可得到结论； （2）根据题意列分式方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； （2）解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和． 58．（23-24八年级上·河北承德·期末）小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【答案】(1)小明步行的速度是80米/分 (2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可； （2）求出小明总共需要的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解． 答：小明步行的速度是米/分． （2）根据题意得，小明总共需要： ． 答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆． 59．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 60．（16-17八年级上·安徽合肥·期末）某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． (1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ (2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 【答案】(1)商场第一次购入的空调每台进价是元 (2)最多将8台空调打折出售 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，一定要注意验根． （1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元”列出分式方程解答即可； （2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可． 【详解】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得： ， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元； （2）设将y台空调打折出售，根据题意，得： ， 解得：， 答：最多将8台空调打折出售． 61．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）某工厂计划购进A，B 两种型号的机器，其中每台 B 型机器的进价比A型机器多300元，且用72000 元购进A 型机器的数量与用81000元购进B型机器的数量相等． (1)求 A，B 两种型号机器每台的进价； (2)该工厂打算用不超过100000元的资金购进 A，B两种型号的机器共 40 台，  则至少需要购进多少台 A 型机器？ 【答案】(1)A型机器的进价2400元， B 型机器的进价2700元 (2)27台 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设A进价为x元，则B进价为元，根据用72000 元购进A 型机器的数量与用81000元购进B型机器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解分式方程经检验后即可得出结论； （2） 购进A型手机a台，则购进B型手机台，根据用不超过不超过100000元的资金购进 A，B两种型号的机器共 40 台，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设A进价为x元，则B进价为元，根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意； （元）， 答：每台A型机器的进价2400元，每台 B 型机器的进价2700元； （2）设购进A型手机a台，则购进B型手机台， 由题意，得， 解得 ， 答：至少需要购进27台 A 型机器． 62．（23-24八年级下·山西临汾·期末）年月日，“我们的节日·春节——平遥中国年”在古城平遥启动，活动以“龙腾新时代，活力中国年”为主题，从月日开始到月日持续天．在此期间，古城游客暴增，平遥特色工艺品推光漆器备受欢迎．某旅行团购买种漆器的总价为元，购买种漆器的总价为元，其中购买种漆器的数量比种多件．已知种漆器的单价比种单价贵．求种漆器每件的价格． 【答案】元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设种漆器每件的价格为元，则种饰品的单价为元，根据“购买种漆器的数量比种多件”列出分式方程，求解并检验后即可得解．正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】解：设B种漆器每件的价格为x元根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：种漆器每件的价格为元． 63．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）某商场第一次购进一定数量的A，B两个款式的T恤，其中A款T恤一共花费1200元，B款T恤一共花费6000元，每件B款T恤的进价比每件A款T恤的进价高80元，且B款T恤的数量刚好是A款T恤数量的3倍． (1)求第一次购进的A，B两款T恤的进价； (2)第一批货卖完后，商场决定再购进一定数量的B款T恤，且进货量不超过60件，商场的销售情况如下：先按标价300元卖了15件，剩余的按标价打八折进行促销，若总利润不低于3220元，求第二次可购进B款T恤多少件． 【答案】(1)第一次购进的款恤的进价为120元，款恤的进价为200元 (2)第二次可购进款恤58件或59件或60件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设第一次购进的款恤的进价为元，则款恤的进价为元，根据款恤的数量刚好是款恤数量的3倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设第二次可购进款恤件，根据总进货量不超过60件，总利润不低于3220元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一次购进的款恤的进价为元，则款恤的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：第一次购进的款恤的进价为120元，款恤的进价为200元； （2）解：设第二次可购进款恤件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 或59或60， 答：第二次可购进款恤58件或59件或60件． 64．（23-24八年级下·河北保定·期末）某中学积极探索“五育并举，融合育人”的育人方式，计划组织八年级师生到皮影非遗传承基地开展跨学科主题研学活动．为正常开展研学活动，学校需为前往的师生们准备一些皮影道具作为学习材料，供应商A提供的皮影材料每件比供应商B提供的皮影材料每件便宜20元，用240元在供应商A处购买的皮影材料的件数与用360元在供应商B处购买的皮影材料的件数相同． (1)供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为多少元？ (2)考虑到学生的参与度和学习效果，学校计划购买皮影道具的总数量为120件．若学校的预算不超过5600元，且从供应商B处购买的材料件数不少于从供应商A处购买的材料件数的一半．若学校决定从供应商A处购买m件皮影道具，求m的值． 【答案】(1)供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为40元、60元 (2)80 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设供应商A提供的皮影材料每件为x元．根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出不等式组，解出即可． 【详解】（1）解：设供应商A提供的皮影材料每件为x元．由题意，得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则． 答：供应商A和供应商B提供的皮影材料每件分别为40元、60元． （2）解：由题意，得： 解得：． 65．（23-24八年级上·河北保定·期末）保定市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的件数与320元单独购进足球的件数相同． (1)足球与篮球的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？如何购买？（直接写出答案） 【答案】(1)足球单价为40元，篮球的单价为60元 (2)只有一种购买方案为：足球购买16个，篮球购买24个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用∶ （1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，利用数量总价单价，结合用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入中即可求出篮球的单价； （2）设购买足球y个，则购买篮球个，根据“每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球，且投入的经费不超过2100元”，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）设足球单价为元，则篮球的单价为元． 依题意得： ， 解得： ， 经检验符合题意． ∴足球单价为40元，篮球的单价为60元． （2）解：设足球购买个，则篮球购买个． 依题意得：   解得：， ∵y是正整数， ∴， ∴， ∴只有一种购买方案为：足球购买16个，篮球购买24个． 66．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)整数的值为3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解． 此时圆珠笔的数量为， 圆珠笔的数量为整数， 不合题意， 嘉嘉搞错了； （2）由题意可得， 解得： 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 67．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 (3)至多购进甲种商品12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价-乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； （3）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 68．（12-13九年级·重庆·课后作业）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可； 正确理解题意并建立方程是解题的关键．解答工程类问题，经常设工作量为“单位1”． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）， 答：该工程的费用为元． 69．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成． (1)甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？ (2)若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元． ①若甲队单独完成这项工程，总工程款为 万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为 万元． ②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）． 【答案】(1)甲队单独完成该工程需16天，乙队单独完成该工程需32天 (2)①19.2；17.6；②或 【分析】（1）设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需天，根据题意，列分式方程，求解并检验即可； （2）①根据题意，列式求解即可；②根据题意列二元一次方程，求解并检验即可． 【详解】（1）设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲队单独完成该工程需16天，则乙队单独完成该工程需32天； （2）①若甲队单独完成这项工程，总工程款为（万元）； 若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为（万元）， 故答案为：19.2；17.6； ②由题意得：， ∴， ∵，m、n均为正整数， ∴或， ∵， ∴， ∴和均符合， ∴或． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列二元一次方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 70．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间 (2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块 (3)不能，每小时至少多做12块 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍， 故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量 小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块， 故x表示乙队完成任务所需时间； （2）解：，得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； 解：，得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； （3）不能；1小时20分钟小时 甲队已完成：（块）； 乙队已完成：（块）； 还剩余：（块）； 两队合作1小时可完成：（块）， ， 故不能完成； （块）； 答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务． 71．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 72．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 题型01 分式的求值问题 73．（2022八年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用完全平方公式和提公因式法进行变形，再代入进行计算即可． 【详解】解：原式， 把，代入得： 原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求分式的值．能够正确利用完全平方公式和提公因式法进行变形解题的关键． 74．（22-23八年级下·河北保定·期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 75．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若，则等于 ． 【答案】 【分析】设，，()，代入式子即可求解． 【详解】解：， 设，，()， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了用设辅助未知数的方法，简便求分式的值，掌握求法是解题的关键． 题型02 由分式的符号求字母的范围 76．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 77．（21-22八年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 78．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】根据分式的分子与分母的不同取值，进行判断即可． 【详解】A、时，分式，A正确，但不符合题意； B、时，分式的分母为0，故分式无意义，B正确，但不符合题意； C、时，，则分式，分式值为正数，C不正确，但符合题意； D、时，，且，于是， D正确，但不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为0、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为0时无意义． 79．（21-22八年级上·河北唐山·期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 题型03 分式加减的应用 80．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式． 【详解】解：依题意， 故选：A． 81．（2021九年级·全国·专题练习）如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a﹣1）m的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（　　） A．优选1号单位面积产量高 B．优选2号单位面积产量高 C．两种水稻单位面积产量相等 D．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 【答案】B 【分析】优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为，利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再判断结果与零的大小可得答案． 【详解】解：优选1号单位面积产量与优选2号单位面积产量差为： = =， ∵a+1＞0，（a﹣1）2＞0， ∴＜0， ∴优选1号单位面积产量低于优选2号单位面积产量， 即优选2号单位面积产量高， 故选：B． 【点睛】本题考查分式加减的实际应用，根据题意列出正确的分式算式并灵活计算是解题关键． 82．（21-22八年级下·河北保定·期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接根据题意表示出，的值，进而利用分式的性质的计算求出答案． 【详解】解：∵=，=， ∴==， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键． 83．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元．设两次购买的面粉单价分别为元/和元/（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元/，乙所购面粉的平均单价是______元/；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______元/．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式） 【答案】；； 【分析】本题考查了列代数式，分式的减法运算．根据题意可用含，的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值． 【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：（元/）， 乙购买面粉的平均单价是：（元/）， 在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：（元/）， 故答案为：；；． 84．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． （2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： ①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 【答案】（1）；时，原式；时，原式； (2)①；②，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，列代数式，掌握通分，约分，速度、时间、路程三者之间的关系是解决问题的关键． （1）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把或4代入计算即可． （2）①利用路程÷速度=时间列式即可；②利用路程÷速度=时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可． 【详解】（1）解： ∴取时，原式（或取，原式） （2）解：① （小时） 故答案为：． ②（小时） （小时） 故答案为：，． 85．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根据对话内容回答问题． (1)请你通过计算，验证小明的说法； (2)假设某住宅窗户面积为平方米，地板面积为平方米，且，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)条件会更好，见解析 【分析】（1）根据题意计算出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值进行比较即可； （2）根据题意表示出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：∵住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，∴ ∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ ∵，∴所以窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅采光条件会更好． （2）∵窗户面积为平方米，地板面积为平方米，∴ ∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． 86．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 题型04 分式的混合运算与求值 87．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（  ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】解： ， ∴开始出现错误的同学是乙同学， 故选B． 88．（23-24八年级下·河北保定·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式的化简求值，根据定义得到，整体代入所求分式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 89．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知：． (1)化简； (2)从中选一个合适的数作为的值，求的值． 【答案】(1) (2)时，原式= 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及分式有意义的条件：分母不为0． （1）先将括号内通分，各个分子分母进行因式分解，再根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，得出x的值，再将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，原式． 90．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法． 计算：． 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 (1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程．我选择______同学． 【答案】(1)③；②． (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可； 乙同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先通分，然后根据分式的减法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是乘法分配律，乙同学解法的依据是分式的基本性质， 故答案为：③；②； （2）解：选择甲，计算如下： 原式 ． 选择乙，计算如下： 原式 ． 91．（23-24八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，且a的值满足． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的基本性质及运算法则，有括号先算括号里面的，注意利用因式分解先约分化简，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：原式＝； ＝； ； ； ∵； ∴； ∴原式． 92．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再从不等式的正整数解中选一个使原式有意义的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、求一元一次不等式的整数解等知识点，正确确定x的取值成为解答本题的关键．先利用分式的四则混合运算法则对原分式化简，然后再解不等式确定不等式的整数解，最后选择合适的x的值代入求解即可． 【详解】解： ； 解不等式， 得：， 其正整数解为1，2，3． ∵分式有意义， ∴且， 当时，原式． 93．（23-24八年级上·河北保定·期末）先化简后，再任选一个你喜欢的数x代入求值． 【答案】，取，原式的值为 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．首先将括号里面的进行通分，然后进行化简，根据分式有意义的条件可得x不能取，2，再代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 根据题意得：且， ∴x不能取，2， 当时，原式． 94．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号） ①；  ②；  ③；  ④． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③④； (2)； (3)是美好分式，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可； （2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可； （3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可． 【详解】（1）解：①由，则①属于“美好分式”；②分式分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由，则③属于“美好分式”；④则④属于“美好分式”； 故答案为：①③④； （2）解：． （3）解：的化简结果是“美好分式”，理由如下： ∵ ， ∴的化简结果是“美好分式”． 题型05 分式方程解的讨论问题 95．（16-17八年级下·河南南阳·阶段练习）关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解决本题的关键．先解关于的分式方程得．再根据增根的定义，解决此题． 【详解】解： 去分母，得， 移项，得． 关于的分式方程有增根， ， ． 故选：． 96．（16-17八年级下·陕西·期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：A 97．（11-12九年级上·江苏苏州·期中）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 98．（2022·重庆·一模）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论． 【详解】解：不等式组的解集为， ． ． 关于的分式方程的解为． 是原分式方程的增根， ． ． 关于的分式方程的解为正整数， 为正整数． ，4，7． ， ，4． 所有满足条件的所有整数的和为：． 故选：C． 99．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 100．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）已知关于x的分式方程. （1）若，分式方程的解为 ； （2）若分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解．熟练掌握解分式方程，分式方程无解的情况是解题的关键． （1）由题意知，，去分母化成整式方程，求解，然后检验即可； （2）根据分式方程无解：分①分式方程转化为整式方程，整式方程无解；②分式方程转化为整式方程，整式方程有解，但分式方程的最简公分母为0，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 解得，， 检验，将代入， ∴是原分式方程的解， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，， ∵分式方程无解， 将代入得，， 解得，， 故答案为：3． 试卷第2页，共64页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$