专题04 整式的乘方与因式分解(14题型100题)-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题04 整式的乘方与因式分解 题型01同底数幂相乘 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建厦门·模拟预测）式子的运算结果与下列运算结果一致的是（  ） A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘 【详解】解：，表示5个a相乘， 5．（22-23七年级下·河北唐山·期中）计算： ． 6．（2024·河北保定·一模）若，则n的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）“的次方与的积”的计算结果为（   ） A． B． C． D． 题型02 幂的乘方运算 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）对于算式“”，下列说法正确的是（    ） A．□表示“个” B．□表示“个n” C．█表示“个” D．█表示“个” 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（20-21七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 题型03 积的乘方运算 13．（22-23八年级上·河北保定·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23七年级下·山西太原·期中）下列各图中，能直观解释“”的是（　） A．   B．   C．   D．   16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·河北沧州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 题型04 整式的乘法运算 18．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·河北保定·期中）当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 23．（14-15八年级上·重庆·期末）下列各式中，计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 25．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 26．（23-24七年级下·河北张家口·期中）嘉嘉计算一道整式乘法的题：，由于嘉嘉在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． ∵抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为 27．（23-24七年级下·河北承德·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：    (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． （1）设多项式为A，然后运用单项式乘多项式法则计算即可． 题型05 整式的除法运算 28．（23-24七年级下·河北唐山·期中）若，则的值为（     ） A．8 B．12 C．24 D．48 29．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算：若，则 ． 32．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 33．（23-24八年级上·河北唐山·期中）（1）； （2）． 34．（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 35．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 题型06 平方差公式的应用 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）若，则（　　） A．4 B．5 C． D． 38．（23-24七年级下·河北张家口·期中）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·河北保定·期中）直接写出下面这个算式的结果（用乘方的形式表示结果）并说出这个结果的个位数字 ．其个位数字是： ． 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 41．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为． （1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）． （2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米． 42．（18-19七年级下·河北石家庄·期中）阅读下面问题： 你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：______； _______； ______；… 由此猜想________． (2)利用得出的结论计算： 题型07 完全平方公式的应用 43．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 44．（23-24七年级下·河北保定·期中）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．10 D．5 45．（17-18八年级上·北京·期中）若是一个完全平方式，则 ． 46．（14-15七年级下·河北衡水·期末）先化简，再求值：，其中． 47．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型08 因式分解 48．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（    ） ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 49．（22-23八年级下·河北保定·期末）数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（    ） 董天宇：    秘锦航： 夏渤骅：    武帅： A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅 50．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 51．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知实数满足，，则的值为 ． 52．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）因式分解： ． 53．（12-13七年级下·浙江杭州·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 54．（22-23七年级下·河北承德·期末）（1）用简便方法计算： （2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由． 55．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）因式分解： (1)； (2)． 题型01 同底数幂相乘的逆用 56．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知，则（  ） A． B． C． D． 57．（23-24八年级上·河北保定·期末）若，则（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 58．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a，b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 59．（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 60．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 题型02 幂的乘方的逆用 61．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若． （1） ； （2） ． 62．（22-23八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为 ． 63．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 64．（17-18七年级下·江苏无锡·期中）按要求答题 (1)已知，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值． 题型03 积的乘方的逆用 65．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）的值为（　　） A． B． C．2 D． 66．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 67．（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 69．（22-23七年级下·河北唐山·期中）的值是（    ） A． B． C．0 D．1 70．（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 题型04 整式乘法的应用 71．（16-17七年级上·重庆江津·期中）下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 72．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 ∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是3、2、5张． 73．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（    ） A． B． C． D．3 ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 74．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A．和的面积之差 B．和的面积之和 C．和的面积之和 D．和的面积之和 75．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 76．（22-23七年级下·河北沧州·期末）计算（为常数）的值，把x，y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的x，y的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2023，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，可以推断出n的值为 ． 77．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）小青在化简时，发现其中一个多项式的系数被污染了，不能看出其中的数值． （1）他猜想“●”为3，则化简的结果为 ． （2）若最后的结果中不含二次项，则“●”的值是 ，化简的结果为 ． 78．（22-23七年级上·河北唐山·期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上． (1)用、表示阴影部分的面积______．（写最简结果） (2)计算当，时，阴影部分面积． (3)试着说明：白色部分面积与的大小无关． 79．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 80．（21-22七年级下·河北保定·期中）观察以下等式： ， ， ， …… (1)按以上等式的规律，填空：； (2)运用整式的乘法法则，计算说明上述等式成立； (3)利用以上规律计算：． 81．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 猜想： （2）当n为正整数时，， 题型05 乘法公式与图形面积 82．（17-18八年级上·福建泉州·期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ） A． B． C． D． 83．（11-12八年级上·福建泉州·期末）在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 84．（19-20八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，四个阴影小正方形可以拼成边长为的正方形，阴影部分的面积还等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，由此列等式即可． 阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：， 85．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 86．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）几何验证：如图1，可验证公式． （1）公式应用：若，，则的值为 ； （2）拓展延伸：如图2，四边形和四边形是两个正方形，若，，则的值为 . 87．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 88．（21-22七年级下·河北承德·期末）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 89．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A，B型是边长分别为a，b（）的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用1张A型纸板，1张B型纸板和2张C型纸板拼接（无缝隙不重叠）成如图2所示的大正方形． (1)如图2，大正方形的边长为 ，利用大正方形的面积，可得到一个关于a，b的乘法公式为 ； (2)已知图2中拼成的大正方形的面积为81，1张A型纸板和1张B型纸板的面积之和为25，求1张C型纸板的面积； (3)若图2中拼成的大正方形的边长为8，C型纸板的面积为15，用2张A型纸板和2张B型纸板拼成如图3所示的图形，求阴影部分正方形的边长． 90．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． （1）根据题图、线段的和差关系，先用a、b表示出，再利用三角形的面积公式和整式的运算法则得结论； （2）①利用完全公式的变形计算得结论；②先得到n与的关系，再确定n的整数最大值． 91．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．    (1)请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：_______；方法二：______； (2)观察图，直接写出代数式，，之间的关系； (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，求的值； ②已知：，求的值． 92．（23-24七年级下·河北保定·期末）活动探究： 数学活动课上，王老师准备了若干个图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．    (1)若小明想用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要C种纸片________张； (2)小兰用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了图2所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：_______； 实践应用： (3)如图3，学校在长方形空地里铺了地砖，地砖有三种，一种是5个相同的黑色小长方形，另两种是两个白色大正方形和两个白色小正方形．已知长方形空地的周长为8.4米，每个黑色小长方形地砖的面积均为0.36平方米．设每个黑色小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①____________； ②求空地中白色地砖的总面积． 题型06 因式分解的应用 93．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 94．（23-24八年级上·河北承德·期末）若a、b、c为一个三角形的三条边，则的值（    ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为0 ∵a、b、c为一个三角形的三条边， 95．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式的值都能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除 96．（23-24八年级上·河北保定·期末）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为．则 ， ． 【分析】本题考查了因式分解，根据题意，甲的计算中a值正确；乙的计算中，b值正确，计算判断即可． 97．（2023·河北石家庄·三模）【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：______；______；______；以上计算结果均______（填“是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 98．（22-23八年级上·河北保定·期末）问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如（1）分解因式． 原式； 例如（2）求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 解决问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________； (2)分解因式：； (3)求代数式的最大或最小值． 99．（22-23八年级上·河南新乡·期中）综合与实践    学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______． (2)图3是由若干张三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式分解因式为_______． (3)选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由． 由题意得，若Q为定值，则Q将不随的变化而变化， 100．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；③；③④是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 试卷第2页，共63页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘方与因式分解 题型01同底数幂相乘 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）若，则表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求出答案． 【详解】解：由同底数幂乘法的计算方法可得，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂乘法，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是正确解答的关键． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算得，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ，得正确的答案． 【详解】∵， ∴？的值为． 故选D． 3．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是得出正确答案的前提．根据同底数幂的乘法计算法则进行计算即可． 【详解】解：， “□”所表示的代数式为， 故选：A 4．（2024·福建厦门·模拟预测）式子的运算结果与下列运算结果一致的是（  ） A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算出结果，再根据乘方的意义即可判断． 【详解】解：，表示5个a相乘， 故选：C． 5．（22-23七年级下·河北唐山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法是解题的关键． 6．（2024·河北保定·一模）若，则n的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据同底数幂的乘法运算进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C 7．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）“的次方与的积”的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的列法及同底数幂乘法的运算能力，正确理解题意是解决此题的关键． 先根据题中表达的意义列出算式，再根据同底数幂乘法计算便可． 【详解】解：根据题意得，“的次方与的积”为：． 故选：A． 题型02 幂的乘方运算 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）对于算式“”，下列说法正确的是（    ） A．□表示“个” B．□表示“个n” C．█表示“个” D．█表示“个” 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，理解幂的乘方的意义是解题的关键．根据幂的乘方的意义即可求解． 【详解】解：， █表示“个”， 故选：C． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方的法则． 幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 10．（20-21七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，严格按照法则进行计算是解决本题的关键．根据幂的乘方法则进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 11．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方可判断选项A，根据合并同类项可判断选项B，根据同底数幂的乘法可判断选项C、D． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，掌握相关的运算法则是解题的关键． 12．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下面是计算的过程： 解： 步骤、分别是（    ） A．合并同类项，同底数幂的乘法 B．幂的乘方，同底数幂的乘法 C．幂的乘方，积的乘方 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行分析即可． 【详解】解： （幂的乘方） （同底数幂的乘法） 故选B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型03 积的乘方运算 13．（22-23八年级上·河北保定·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键． 14．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，合并同类项，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B．，故该选项是错误的； C．，故该选项是错误的； D．，故该选项是正确的 故选：D． 15．（22-23七年级下·山西太原·期中）下列各图中，能直观解释“”的是（　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】 、  表示，故不符合题意； B、  表示，故不符合题意； C、  表示，故符合题意； D、  表示，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，正确运用运算法则运算是关键． 先用积的乘方运算法则得，再利用幂的乘方运算得结果为． 【详解】， ∴选项A、B、C错误，选项D正确． 故选D． 17．（22-23七年级下·河北沧州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方运算法则处理． 【详解】解：； 故选：B 【点睛】本题考查积的乘方运算法则；掌握法则是解题的关键． 题型04 整式的乘法运算 18．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法、单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法、单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误， 故选：A． 19．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式的乘法法则是解题的关键．根据单项式的乘法法则计算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 20．（23-24七年级下·河北保定·期中）当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式化简和代数式求值，先将原式去括号，再合并同类项，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故选：A． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 22．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，利用多项式乘以多项式的法则将等号左边展开，根据等号左右两边对应相等得出的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ，，， 解得：， ， 故选：A． 23．（14-15八年级上·重庆·期末）下列各式中，计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，准确的将其展开是解题的关键． 24．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方，再根据同底数幂乘法计算即可； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 25．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 26．（23-24七年级下·河北张家口·期中）嘉嘉计算一道整式乘法的题：，由于嘉嘉在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为． (1)求a的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据题意可得，据此根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则结合（1）所求进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为 ， ∴， ∴； （2）解： ． 27．（23-24七年级下·河北承德·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：    (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，代数式求值： （1）设多项式为A，然后运用单项式乘多项式法则计算即可． （2）把，代入所捂多项式计算即可 【详解】（1）解：设多项式为A， 则． （2）解：，， ． 题型05 整式的除法运算 28．（23-24七年级下·河北唐山·期中）若，则的值为（     ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法的逆应用，解答即可，本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故， 故选A． 29．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 根据多项式除以单项式可直接进行求解． 【详解】解：原式． 故选：B． 30．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知-4a与一个多项式的积是，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据-4a与一个多项式的积是得出这个多项式为，计算即可． 【详解】解：根据题意得这个多项式为： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，是解题的关键． 31．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算：若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变指数相减求值即可． 【详解】已知， 则， 故答案为：． 32．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 【答案】 【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 33．（23-24八年级上·河北唐山·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；也考查了多项式除以单项式，先计算多项式除以单项式，再合并同类项即可；熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解：（1）； （2）． 34．（23-24七年级下·河北邢台·期中）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再转换为一元一次方程即可； （）利用幂的乘方和同底数幂的除法即可求解； 此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴． 35．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 题型06 平方差公式的应用 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键； 根据平方差公式的结构逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； B、 能用平方差公式计算，此项符合题意； C、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； D、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； 故选：B． 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）若，则（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，平方差公式，利用平方根解方程，令，将原式变形为，结合，可得答案． 【详解】解：令，则原等式变形为：， 整理得， 解得， ， ，即， 故选A． 38．（23-24七年级下·河北张家口·期中）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，从而可得答案． 【详解】解：， 故选B 39．（23-24七年级下·河北保定·期中）直接写出下面这个算式的结果（用乘方的形式表示结果）并说出这个结果的个位数字 ．其个位数字是： ． 【答案】 1 【分析】本题考查了平方差公式、尾数特征、整式的除法，解题的关键是注意指数的变化． 先变形成，再根据平方差公式即可求解；先计算等数字的值，找到个位数字的变化规律，进而推算出的个位数字． 【详解】解： ． ， 故个位数字是按3，9，7，1循环的， ， 即的个位数字是第16组末位数，为1． 故答案为：，1． 40．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】此题主要考查了整式的换件求值，．利用单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项，最后把已知数据代入求出答案． 【详解】解： 当时，原式． 41．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为． （1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）． （2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米． 【答案】 2 【分析】本题考查列代数式，平方差公式与几何图形的面积问题． （1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可； （2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得：种菜的面积为：，种花的面积为， ∴种菜和花的总面积为； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴比长2米； 故答案为：2． 42．（18-19七年级下·河北石家庄·期中）阅读下面问题： 你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． (1)先填空：______； _______； ______；… 由此猜想________． (2)利用得出的结论计算： 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键． （1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④； （2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④由此猜想， 故答案为：，，，； （2）解： ． 题型07 完全平方公式的应用 43．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，则（   ） A．25 B．19 C．9 D．6 【答案】A 【分析】此题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 根据完全平方公式，即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 故选：A． 44．（23-24七年级下·河北保定·期中）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选A． 45．（17-18八年级上·北京·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 根据完全平方式得出，再求出即可． 【详解】解：， ∵关于的多项式是一个完全平方式， ， 故答案为：16． 46．（14-15七年级下·河北衡水·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及知识有：完全平方公式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 将中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x和y的值代入化简后的式子，即可得到原式的值． 【详解】解： ， 当时，原式． 47．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)5 【分析】此题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的灵活应用和变形是解题的关键． （1）运用完全平方公式变形为，即可求解； （2）运用完全平方公式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵，， 由（1）知：， ∴ ． 题型08 因式分解 48．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的有（    ） ①；②；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【详解】①右边不是乘积形式，不属于因式分解； ②左边不是多项式，不属于因式分解； ③从左边到右边的变形属于因式分解； ∴从左到右的变形是因式分解的有③，只有一个， 故选：B． 49．（22-23八年级下·河北保定·期末）数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（    ） 董天宇：    秘锦航： 夏渤骅：    武帅： A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义依次分析各项即可． 【详解】解：，是整式的乘法，不属于因式分解； ，右边不是积的形式，不属于因式分解； ，属于因式分解； ，右边不是积的形式，不属于因式分解； 只有夏渤骅同学的答案是正确的， 故选：C． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 50．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：； ； 故甲、乙的结果都正确； 故选C． 51．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知实数满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 将，代入上式， 可得， ∴的值为， 故答案为：． 52．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 53．（12-13七年级下·浙江杭州·单元测试）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 回答下列问题： 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步) (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【答案】(1)两数和的完全平方公式 (2)不彻底， (3) 【分析】本题主要考查了因式分解及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的前提， （1）根据完全平方公式作答即可； （2）根据因式分解的定义及完全平方公式作答即可； （3）根据换元法及完全平方公式因式分解即可； 【详解】（1）解：第二步到第三步使用的是公式， 即两数和的完全平方公式， 故答案为：两数和的完全平方公式； （2）解：∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是， 故答案为：不彻底，； （3）解：设， ． 54．（22-23七年级下·河北承德·期末）（1）用简便方法计算： （2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析 【分析】（1）提公因数，进而即可求解； （2）提公因式，分为偶数、奇数，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）原式 （2）能 ∵ 若为偶数，则必为奇数 若为奇数，则必为偶数 在中，，必有一个是偶数 ∴一定能被2整除 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 55．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用提公因式法解答，即可求解； （2）先提出提公因式法，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型01 同底数幂相乘的逆用 56．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键． 利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 57．（23-24八年级上·河北保定·期末）若，则（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 把化为，然后把已知条件代入计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：C． 58．（22-23七年级下·河北沧州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a，b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系 【详解】解： ， ， ， ， ； 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键． 59．（23-24七年级下·河北承德·期中）规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 60．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 题型02 幂的乘方的逆用 61．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若． （1） ； （2） ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了幂的运算法则，关键是逆用同底数幂和幂的乘方的运算法则． 由，得，，再整体代入求值． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：2； （2）， 故答案为：4． 62．（22-23八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知得出，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算法是解题的关键． 63．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【答案】 27 32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 64．（17-18七年级下·江苏无锡·期中）按要求答题 (1)已知，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1)8 (2)32 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，对于（1），将待求式化为，再根据，可得出答案； 对于（2），将待求式化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）原式． ∵， ∴， ∴原式； （2）原式． ∵， ∴原式． 题型03 积的乘方的逆用 65．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方法则是解题的关键． 根据积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：原式． 故选：A． 66．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，逆用积的乘方运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C 67．（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】题目主要考查积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算得出，求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：D． 68．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，和同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，准确计算． 69．（22-23七年级下·河北唐山·期中）的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】逆用积的乘方，以及有理数的乘方运算，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 【点睛】本题考查积的乘方的逆用，有理数的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 70．（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题： 计算：．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．” (1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整． 解： ________ ________ （________） (2)请你利用小李的解题方法解答下面问题： ①计算：； ②若，则的值为________________． 【答案】(1)0.25，4，1； (2)①；②4． 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． （1）根据乘法的交换律、积的乘方的逆用等计算即可； （2）①仿照小李的解题方法计算即可； ②根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算得出，求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）① ； ② ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 题型04 整式乘法的应用 71．（16-17七年级上·重庆江津·期中）下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，能正确列出代数式是解此题的关键．根据图形列出代数式或或，再找出选项即可． 【详解】解：图中阴影部分的面积是或或， 即只有选项C符合题意，选项A、选项B、选项D都不符合题意． 故选：C． 72．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 【答案】D 【分析】本题考查多项式的乘法的应用．根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵ 长方形长为，宽为， ∴长方形的面积：， ∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是3、2、5张． 故选：D． 73．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为的要求建立方程组，即可求解． 【详解】 ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 74．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A．和的面积之差 B．和的面积之和 C．和的面积之和 D．和的面积之和 【答案】B 【分析】设分别交于点，由，，证明，设正方形和正方形的边长都是，正方形的边长为，则，，可求得，可推导出；；；，即可获得答案． 【详解】解：如图，设分别交于点， ∵，， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长都是，正方形的边长为， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 整理得， ∵， ∴的结果与值的大小无关，故选项A不符合题意； ∵， ∴和的面积之和可由的值求得，故选项B符合题意； ∵， ∴和的面积之和不能由的值求得，故选项C不符合题意； ∵， ∴和的面积之和不能由的值求得，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式运算，理解题意，正确进行相关运算是解题关键． 75．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查数据的规律类问题．根据题意可以得出规律，第n项为，，根据规律逐项求解判断即可． 【详解】解：由题意可知，第1个整式为，第2个整式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ....． ∴，故①正确； ∵将第2个整式与相加作为第3个整式， ∴第3个整式为， 当时，，故②错误； ∵将第3个整式与相加作为第4个整式， ∴第4个整式为， 以此类推，第n个整式为， ∴第4个整式为， ∵第5个整式与第4个整式之差为15， ∴， 解得，故③正确； ∵第n个整式为， ∴第个整式为，故④正确； ∵， ∴ ，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：D． 76．（22-23七年级下·河北沧州·期末）计算（为常数）的值，把x，y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的x，y的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2023，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，可以推断出n的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知，原式的值与y的取值无关，化简后令相关项的系数为0，即可解得答案． 【详解】解： 根据已知，原式的值与y的取值无关， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于n的方程． 77．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）小青在化简时，发现其中一个多项式的系数被污染了，不能看出其中的数值． （1）他猜想“●”为3，则化简的结果为 ． （2）若最后的结果中不含二次项，则“●”的值是 ，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】（1）把代入多项式，再化简即可得出答案． （2）根据结果中不含二次项，则不含这一项，即可求出答案． 【详解】解：（1）若， 则原式 故答案为：． 解：（2）若最后的结果中不含二次项， 则， ∴； 故答案为：； 当时， 原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键． 78．（22-23七年级上·河北唐山·期末）如图，将边长为的小正方形和边长为的大正方形放在同一平面上． (1)用、表示阴影部分的面积______．（写最简结果） (2)计算当，时，阴影部分面积． (3)试着说明：白色部分面积与的大小无关． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）把、的值代入，即可求得答案． （3）根据题意表示出白色部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ． （2）解：当，时，阴影部分的面积为： （3）解：白色部分的面积为 ． ∴白色部分面积与的大小无关． 【点睛】本题考查了求代数式的值和列代数式，整式的加减，能正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 79．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】(1)，； (2)420平方米，930平方米； (3)88500元 【分析】本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【详解】（1）解：（平方米） （平方米） （2）当米，米时 （平方米） （平方米） （3）（元） 80．（21-22七年级下·河北保定·期中）观察以下等式： ， ， ， …… (1)按以上等式的规律，填空：； (2)运用整式的乘法法则，计算说明上述等式成立； (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据给出的等式的特点，三项式的特点为：首平方，尾平方，首尾相乘在中央，中间项的符号，跟二项式的符号相反，即可得解； （2）利用多项式乘多项式的运算法则：多项式的每一项分别乘另一个多项式，再把它们的积相加，进行计算即可； （3）根据规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据给出的等式的特点，三项式的特点为：首平方，尾平方，首尾相乘在中央，中间项的符号，跟二项式的符号相反，可得： ； （2）解：因为等式左边， ， ＝等式右边； 所以成立． （3）解：原式． 【点睛】本题考查多项式乘多项式的规律探究．根据题意推出运算规律，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，是解题的关键． 81．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 【答案】（1）；；；（2）； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可； （2）由（1）得出一般性规律，将变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ， ， 猜想： ； （2）当n为正整数时，， ∴的值为． 题型05 乘法公式与图形面积 82．（17-18八年级上·福建泉州·期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了平方差公式的应用．根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为， ∴根据图形的变化过程，得到的等式是． 故选：B 83．（11-12八年级上·福建泉州·期末）在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案． 【详解】解：正方形中，， 梯形中， ， ∴， 故选：C． 84．（19-20八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，四个阴影小正方形可以拼成边长为的正方形，阴影部分的面积还等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，由此列等式即可． 【详解】解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为的正方形，因此面积为， 阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：， 因此有， 故选A． 85．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 【答案】(1)长为：,宽为： (2)，91 【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值． （1）结合图形进行分析即可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由题意得：B型卡片的长为：,宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： 当，时， 86．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）几何验证：如图1，可验证公式． （1）公式应用：若，，则的值为 ； （2）拓展延伸：如图2，四边形和四边形是两个正方形，若，，则的值为 . 【答案】 13 18 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键． （1）将完全平方公式变形为，即可求解； （2）设，．则，，据此求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：13． （2）设，． 则， ∴， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， 又∵， ∴． ∴ ． 故答案为：18． 87．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【答案】探究： [应用]（1）4 （2） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． [探究]根据阴影部分的面积相等，得到； [应用]（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：[探究]：由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， 可以得到乘法公式， 故答案为：；． [应用] （1） ． （2） ． 88．（21-22七年级下·河北承德·期末）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和为15，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①1；②15 (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）①先根据求出的值，再求平方根即可得； ②将和看作整体，利用完全平方公式计算即可得； （2）先根据题意得出，，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ， ∴， 又∵，即， ∴， 故答案为：1； ②∵，， ∴ ， 故答案为：15． （2）解：由题意可知，，， 则图中阴影部分的面积为 ， 答：图中阴影部分的面积为5． 89．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A，B型是边长分别为a，b（）的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用1张A型纸板，1张B型纸板和2张C型纸板拼接（无缝隙不重叠）成如图2所示的大正方形． (1)如图2，大正方形的边长为 ，利用大正方形的面积，可得到一个关于a，b的乘法公式为 ； (2)已知图2中拼成的大正方形的面积为81，1张A型纸板和1张B型纸板的面积之和为25，求1张C型纸板的面积； (3)若图2中拼成的大正方形的边长为8，C型纸板的面积为15，用2张A型纸板和2张B型纸板拼成如图3所示的图形，求阴影部分正方形的边长． 【答案】(1)， (2)28 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据图形可直接解答空1，根据大正方形的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+长方形C面积的2倍解答空2； （2）由已知可知，然后代入计算即可； （3）先求出，再求出即可． 【详解】（1）由图2可知，大正方形的边长为，则面积为， 验证的乘法公式为：． 故答案为：，． （2）由已知可知， 由可得： ， ∴． ∴1张C型纸板的面积是28． （3）（3）由已知可得， ， ∵， ∴， 则． ∴阴影部分正方形的边长为2． 90．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，已知两个长方形和如图放置，已知，，且，．延长交于点，表示的面积，表示的面积． (1)________，________；（用含、的代数式表示） (2)已知，． ①求； ②现有一个边长为的正方形，面积为，且，直接写出整数的最大值． 【答案】(1)， (2)①34；②5 【分析】本题考查了整式的运算和完全平方公式的几何背景，掌握相应的定义是关键． （1）根据题图、线段的和差关系，先用a、b表示出，再利用三角形的面积公式和整式的运算法则得结论； （2）①利用完全公式的变形计算得结论；②先得到n与的关系，再确定n的整数最大值． 【详解】（1）解：，且， ， ， ， 故答案为：，； （2）①，， ； ②边长为的正方形，面积为， ， ，， ， 满足条件的整数的最大值为5． 91．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．    (1)请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：_______；方法二：______； (2)观察图，直接写出代数式，，之间的关系； (3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （2）根据大正方形面积等于阴影面积加四个小长方形的面积可得出三个代数式之间的等量关系，然后计算验证即可； （3）①根据（2）中的等量关系可得，代入计算即可；②根据，，结合（2）中的等量关系，即可求解． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分正方形的边长为，则阴影部分的面积为：； 方法2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即； 故答案为：，； （2）解：∵两种方法表示的阴影部分面积相等， ∴， （3）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴ 92．（23-24七年级下·河北保定·期末）活动探究： 数学活动课上，王老师准备了若干个图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．    (1)若小明想用图1中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要C种纸片________张； (2)小兰用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了图2所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：_______； 实践应用： (3)如图3，学校在长方形空地里铺了地砖，地砖有三种，一种是5个相同的黑色小长方形，另两种是两个白色大正方形和两个白色小正方形．已知长方形空地的周长为8.4米，每个黑色小长方形地砖的面积均为0.36平方米．设每个黑色小长方形地砖的长为m米，宽为n米． ①____________； ②求空地中白色地砖的总面积． 【答案】(1)3 (2) (3)①1.4；② 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． （）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解； （）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解； （）①由长方形的周长可得，再求解即可；②由，，再结合完全平方公式的变形可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张； （2）解：∵图大正方形的面积等于部分面积之和， ∴； （3）解：①设每个黑色小长方形地砖的长为m米，宽为n米．长方形空地的周长为8.4米， ∴， ∴； ②∵每个黑色小长方形地砖的面积均为0.36平方米． ∴， ∵， ∴ ． 题型06 因式分解的应用 93．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 94．（23-24八年级上·河北承德·期末）若a、b、c为一个三角形的三条边，则的值（    ） A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为0 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系应用，解题关键是将多项式变形为． 【详解】解：， ∵a、b、c为一个三角形的三条边， ∴，， ∴，， ∴， ∴为负数， 故选：B． 95．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式的值都能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可． 【详解】解： ， 为任意整数， 的值总能被3整除， 故选：B． 96．（23-24八年级上·河北保定·期末）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为．则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据题意，甲的计算中a值正确；乙的计算中，b值正确，计算判断即可． 【详解】∵，， ∴ 故答案为：，． 97．（2023·河北石家庄·三模）【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：______；______；______；以上计算结果均______（填“是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 【答案】（1）8，24，48，是；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）计算出结果，即可得出结论； （2）设这个奇数为，计算的结果即可； （3）设这个奇数为，计算的结果即可． 【详解】解：（1）；；； ；；； 所以，以上计算结果均是8的倍数； 故答案为：8，24，48，是； （2）设这个奇数为， 则有， 又因为为两个连续整数， 故其中必有一个是2的倍数， 所以，能被8整除； （3）设这个奇数为， 则有， 所以，任意奇数的平方加上1后都一定是2的倍数． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 98．（22-23八年级上·河北保定·期末）问题情境：我们知道形如的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 例如（1）分解因式． 原式； 例如（2）求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 解决问题： (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为_____________； (2)分解因式：； (3)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)最大值45 【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解； （2）仿照题中的配方法求解； （3）利用题中的配方法进行变形，再利用非负数的性质判断． 【详解】（1）∵，且是一个完全平方式， 所以的值为25， 故答案为：25． （2） （3） ， 当时，有最大值45 【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解配方法及非负数的性质是解题的关键． 99．（22-23八年级上·河南新乡·期中）综合与实践    学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为的长方形． (1)选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式_______． (2)图3是由若干张三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式分解因式为_______． (3)选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式； （2）由可得型卡片1张，型卡片6张，型卡片5张； （3）设长为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为， 方法2：图2中四部分的面积和为：， 因此有， 故答案为：． （2）解：由图可知： 故答案为： （3）解：，理由如下： 设长为． ，， ， 由题意得，若Q为定值，则Q将不随的变化而变化， 可知当时，即时，为定值， ∴若为定值时，． 【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解，整式加减运算，解题的关键是学会利用参数解决问题和数形结合的思想，解题方法是面积法，属于中考常考题型． 100．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；③；③④是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)代数式有最大值，最大值为． 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据题干信息直接作答即可； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值，最大值为． 试卷第2页，共63页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$