清单01 有理数（知识清单，14个考点梳理+13个题型解读+8个提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材冀教版

清单01 有理数（14个考点梳理+13个题型解读+8个提升训练） 【清单01】正、负数 1.负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 （3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。 【清单02】有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 【清单03】有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 【清单04】数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 【清单05】有理数的比较大小 1.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 2.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 【清单06】相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 【清单07】绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 【清单08】有理数的加法 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 【清单09】有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a 【清单10】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 【清单11】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 【清单12】倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 【清单12】有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 【清单13】有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单14】有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【考点题型一】有理数的分类 例1：（24-25七年级上·广东茂名·期中）在下列数，，，，0，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 【考点题型二】有理数的大小比较 例2：（24-25七年级上·四川广安·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图，检测排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．下列已经检测出的4个排球的质量中，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（   ） A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．食用油 【变式2-4】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）比较大小： ．（请在横线上填入“>”、“<”、或“=”） 【变式2-5】（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． ． 【考点题型三】相反数与相反数的应用 例3：（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）数轴上表示a，b的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列为 ． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【变式3-4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【考点题型四】绝对值及其应用 例4：（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，四个有理数在数轴上的对应点分别是，且点与点表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式4-4】（24-25七年级上·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【变式4-5】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数表示的点画在数轴上，并用“”把这些数连接起来 ，，0，， 【考点题型五】有理数加法 例5：（24-25七年级上·广西玉林·期中）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·天津北辰·期中）计算的结果等于（　　） A．2 B． C．8 D．1 【变式5-2】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若数轴上点对应的数是，将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是 ． 【变式5-4】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）温度由上升是 ． 【变式5-5】（24-25七年级上·重庆·期中）在抗洪抢险中，抢险队员驾驶的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处距离地______千米． (2)请你帮忙确定地相对于地的方位，距离地多少千米． (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油． 【考点题型六】加法运算律 例6：（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【变式6-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【变式6-2】（2024七年级上·全国·专题练习）根据加法的交换律，式子（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 【变式6-4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【考点题型七】有理数的减法运算 例7：（24-25七年级上·江苏徐州·期中）点A是数轴上一个点，若将点A先向左移动8个单位，再向右移动10个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）计算：． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为 ．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 【变式7-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所表示的数的和是． (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是________；若以为原点，则________； (2)若点到原点的距离为4，求的值． 【考点题型八】有理数的乘法 例8：（24-25七年级上·福建福州·期中） ． 【变式8-1】（16-17七年级上·湖南长沙·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面各组式子的积在和之间的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25七年级上·山东济南·开学考试）年月日至年月日期间购买的新能源汽车免征车辆购置税，每辆新能源车最高免税额是万元．车辆购置税车辆计税价格，阳阳家购买了一辆新能源车，计税价格为万元，应缴纳（　　）元购置税． A． B． C． D． 【变式8-5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值． 【考点题型九】有理数的乘法运算律 例9：（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【变式9-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【变式9-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）计算： 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）简便计算： (1)； (2)． 【考点题型十】倒数 例10：（24-25七年级上·广东韶关·期中）的倒数是（  ） A． B． C． D．2 【变式10-1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）若数的倒数的相反数为，则数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．4和 B．和 C．和 D．0和0 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知互为相反数，互为倒数，则的值是 ． 【考点题型十一】有理数的乘方运算 例11：（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【变式11-1】（24-25七年级上·山东淄博·期中）下列各对数中，相等的一对数是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式11-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b满足，则 ． 【变式11-2】（2024七年级上·全国·专题练习）［传统文化］《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 ． 【变式11-3】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【变式11-4】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算题： (1)； (2)； (3)． 【考点题型十二】有理数的除法运算 例12：（重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年七年级上学期半期考试数学试题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）计算的结果是（    ） A．0 B．2024 C． D． 【变式12-2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ． 【变式12-4】（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处错误是第______步，错误原因是______； 第二处错误是第______步，错误原因是______； (2)请写出正确的结果：______． 【变式12-5】（24-25七年级上·山东临沂·期中）计算： (1)； (2)． 【考点题型十三】科学记数法 例13：（24-25七年级上·湖南永州·期中）据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入2105亿元，将旅游收入2105亿元，用科学记数法表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式13-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 【变式13-2】（2024七年级上·全国·专题练习）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式13-3】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）央视网消息，交通运输部统计显示，10月1日至7日，全社会跨区域人员流动量突破20亿人次，数据20亿用科学记数法表示为 ． 提升训练 68．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ． 69．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 70．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足．    (1)________，________； (2)若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 71．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 72．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 73．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 74．（24-25七年级上·广东韶关·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，．类比有理数的乘方，我们把记作读作“4的圈4次方”，记作，读作“的圈3次方”，一般地，写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ________，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是________． ① ②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ③圈次方等于它本身的数是1或． ④任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （4）比一比：________；（填“>”“<”或“=”） （5）算一算：． 75．（24-25七年级上·河北邢台·期中）数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （5）根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 试卷第2页，共43页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数（14个考点梳理+13个题型解读+8个提升训练） 【清单01】正、负数 1.负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 （3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。 【清单02】有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 【清单03】有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 【清单04】数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 【清单05】有理数的比较大小 1.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 2.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 【清单06】相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 【清单07】绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 【清单08】有理数的加法 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 【清单09】有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a 【清单10】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 【清单11】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 【清单12】倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 【清单12】有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 【清单13】有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单14】有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【考点题型一】有理数的分类 例1：（24-25七年级上·广东茂名·期中）在下列数，，，，0，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，与0比较，负有理数小于0是解本题的关键．根据负有理数是小于0的有理数，可判断负有理数的个数． 【详解】解：在数，，，，0，中， 负有理数有，，一共2个． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 【答案】(1)见解析 (2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合 【分析】此题考查了有理数的分类． （1）根据负数和分数的定义填表即可； （2）根据负分数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意如图： （2）解：这两个圈的重叠部分表示既是负数又是分数，也就是负分数集合． 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：． 正分数集合：______； 整数集合：______； 正有理数集合：______． 【答案】；； 【分析】本题考查有理数的分类，分别根据正分数、整数、正有理数的定义进行分类即可 【详解】解：正分数集合：； 整数集合：； 正有理数集合：． 故答案为：；；． 【考点题型二】有理数的大小比较 例2：（24-25七年级上·四川广安·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，根据，得出，则，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：C 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 故不正确； B．∵， ∴， 故不正确； C．∵， ∴， 故正确；     D．∵， ∴， 故不正确； 故选C． 【变式2-2】（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图，检测排球的质量，超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数．下列已经检测出的4个排球的质量中，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，绝对值，有理数比较大小，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个排球的绝对值得： ， ． 的绝对值最小． 所以这个球是最接近标准的球． 故选：B． 【变式2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）液体沸腾时的温度叫作沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点： 物质 液态一氧化碳 液态甲醛 酒精 食用油 沸点 则沸点最低的物质是（   ） A．液态一氧化碳 B．液态甲醛 C．酒精 D．食用油 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较出各数的大小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴液态一氧化碳沸点最低， 故选：． 【变式2-4】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）比较大小： ．（请在横线上填入“>”、“<”、或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，据此即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故答案为：<． 【变式2-5】（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了绝对值、数轴和比较有理数的大小等知识，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键．先化简，再在数轴上表示，然后即可比较大小． 【详解】解：， 如图： ． 大小关系如下：． 【考点题型三】相反数与相反数的应用 例3：（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此判断即可． 【详解】解：A、，，不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，，不互为相反数，故此选项不符合题意； C、与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、，，互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）数轴上表示a，b的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图， 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】由、为相反数得出，再根据即可求出的值．本题考查了相反数，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：、为相反数， 则， ， ∴ 解得， 故答案为：3． 【变式3-4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 【详解】（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． 【考点题型四】绝对值及其应用 例4：（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是，， 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据绝对值的非负性得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为有理数，式子存在最大值， ∵ ∴ ∴ ∴的最大值是2024． 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的性质，有理数比较大小的方法，掌握绝对值的性质化简，有理数比较大小的方法是解题的关键． 根据题意，分别化简得出具体数值，再比较大小的方法“正数大于零，零大于负数，正数大于负数”进行判定即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：A． 【变式4-3】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，四个有理数在数轴上的对应点分别是，且点与点表示的数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的意义和绝对值的意义，掌握相关知识是解答关键． 先根据点与点表示的数互为相反数，确定原点在点与点之间，再结合数轴观察哪一个点距离原点最近来求解． 【详解】解：点与点表示的数互为相反数， 原点在点与点之间． 距离原点最近， 图中表示绝对值最小的数的点是点． 故选：C． 【变式4-4】（24-25七年级上·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要查了求一个数的绝对值．根据绝对值的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式4-5】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数表示的点画在数轴上，并用“”把这些数连接起来 ，，0，， 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下所示： ∴． 【考点题型五】有理数加法 例5：（24-25七年级上·广西玉林·期中）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数是解题的关键．先由图1可得白色表示负数，黑色表示正数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选A． 【变式5-1】（24-25七年级上·天津北辰·期中）计算的结果等于（　　） A．2 B． C．8 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算法则，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）某地一天早晨的气温是，到了中午，气温上升了，则中午的气温是（    ） A．10℃ B．℃ C．8℃ D．12℃ 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行解题即可． 【详解】解：， 故某地一天早晨的气温是℃，到了中午，气温上升了10℃，则中午的气温是8℃． 故选C． 【变式5-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若数轴上点对应的数是，将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【变式5-4】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）温度由上升是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，用原来的温度加上上升的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴温度由上升是， 故答案为：3． 【变式5-5】（24-25七年级上·重庆·期中）在抗洪抢险中，抢险队员驾驶的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处距离地______千米． (2)请你帮忙确定地相对于地的方位，距离地多少千米． (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油． 【答案】(1) (2)地在地的东边，距离地千米，过程见解析 (3)升，过程见解析 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案；（2）将所给的路程记录相加；（3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解：路程记录中各点离出发点的距离分别为： 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米； （2）解：， ， ； 地在地的东边，距离地千米； （3）解：， ， ， ， 若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充升油． 【考点题型六】加法运算律 例6：（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，根据加法交换律和加法结合律即可求解，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：． 【变式6-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式6-2】（2024七年级上·全国·专题练习）根据加法的交换律，式子（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法交换律．根据题意利用加法交换律可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：A． 【变式6-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先由加法交换律和结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再由加法交换律和结合律恒等变形，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型七】有理数的减法运算 例7：（24-25七年级上·江苏徐州·期中）点A是数轴上一个点，若将点A先向左移动8个单位，再向右移动10个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，根据向右移动为加，向左移动为减列式求解即可． 【详解】解：， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，直接根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差．2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，小红在北京观看电视直播的时间为 ．（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为，东京时间为，那么东京与北京的时差为） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正负数的实际意义，理解时差的含义是解题关键．根据巴黎与北京的时差为，即可求解． 【详解】解：2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日，巴黎与北京的时差为， 则小红在北京观看电视直播的时间为时分时时分，即北京时间， 故答案为：． 【变式7-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所表示的数的和是． (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是________；若以为原点，则________； (2)若点到原点的距离为4，求的值． 【答案】(1)3，5 (2)或17 【分析】本题主要数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点的左边时；当原点在点的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】（1）解：以为原点时， ∵点到点的距离为3， ∴点所表示的数是3， 以为原点时，则点表示的数是，点到点的距离为8， ∴点表示的数是8， ∵点，，所表示的数的和是， ∴， 故答案为3；5． （2）解：当原点在点的左边时，点到原点的距离为4， ∴点表示的数为， ∵点到点的距离为3， ∴点表示的数为， ∵点到点的距离为8， ∴点表示的数为， ∴； 当原点在点的右边时， ∴，，三点在数轴上所表示的数分别为，，4， ∴； 综上所述，的值为或17． 【考点题型八】有理数的乘法 例8：（24-25七年级上·福建福州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式8-1】（16-17七年级上·湖南长沙·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个有理数的乘法运算，多个有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项符合题意； C. ，计算正确，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项不符合题意； 故选：． 【变式8-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下面各组式子的积在和之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法，比较有理数的大小，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 先依据有理数的乘法法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：A、，，故A错误； B、，，故B正确； C、，，故C错误； D、，，故D错误； 故选：B 【变式8-3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）若为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，先根据数轴得到，再根据有理数四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，，， ∴四个选项中只有A选项计算正确，符合题意； 故选：A． 【变式8-4】（24-25七年级上·山东济南·开学考试）年月日至年月日期间购买的新能源汽车免征车辆购置税，每辆新能源车最高免税额是万元．车辆购置税车辆计税价格，阳阳家购买了一辆新能源车，计税价格为万元，应缴纳（　　）元购置税． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘法、减法的应用，根据题意，可以列出算式，然后计算即可，明确题意，列出相应的算式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，阳阳家购买的新能源车应缴纳购置税为： （元）， 故选：． 【变式8-5】（24-25七年级上·浙江温州·期中）小温与小周在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片，小温请小周按要求抽出卡片，完成下列各问题：    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，请列式计算出最大值． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，请列式计算出最大值． 【答案】(1)11； (2)14． 【分析】本题考查了有理数减法法则和有理数乘法的计算，熟练掌握有理数减法法则和乘法法则是解答本题的关键． （1）根据两数相减，用最大的数减去最小的数差最大，找出并计算即可； （2）根据两数相乘，同号得正，异号得负，正数大于负数抽取计算即可；． 【详解】（1）解：抽取卡片上的数字分别为4和这2张， 2张卡片上数字差的最大值为； （2）解：抽取卡片上的数字分别为和这2张， 2张卡片上数字积的最大值为； 【考点题型九】有理数的乘法运算律 例9：（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 【变式9-1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是乘法的分配律，利用乘法的分配律把原式化为，再展开代入即可得到答案. 【详解】解： 故选：B． 【变式9-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键； 将化为，然后乘以，即可求解； 【详解】解：， ， 故答案为： 【变式9-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．利用乘法分配律进行展开计算即可． 【详解】解： 【变式9-4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）先把减法转化为加法，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【考点题型十】倒数 例10：（24-25七年级上·广东韶关·期中）的倒数是（  ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 根据倒数的概念求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 【变式10-1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）若数的倒数的相反数为，则数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据相反数的定义，倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵的相反数为，的倒数为， ∴， 故选：A． 【变式10-2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．4和 B．和 C．和 D．0和0 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数，倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，根据倒数和相反数的定义逐一判断可得． 【详解】解：A、4和互为相反数，此选项不符合题意； B、和互为倒数，此选项符合题意； C、和不是互为倒数，此选项不符合题意； D、0没有倒数，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式10-3】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知互为相反数，互为倒数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数，有理数加减运算等知识点的应用，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点题型十一】有理数的乘方运算 例11：（24-25七年级上·云南昭通·期中）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，底数，指数的意义解答即可． 本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：A. 的底数是，原说法错误，不符合题意；     B. 表示5个2相乘，原说法错误，不符合题意； C. 表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，原说法错误，不符合题意；     D. 的指数是3，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式11-1】（24-25七年级上·山东淄博·期中）下列各对数中，相等的一对数是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方计算，以及化简多重符号，化简绝对值，正确的化简各数是解题的关键．根据有理数的乘方计算，以及化简多重符号，化简绝对值，进而即可求解． 【详解】解：A、与，故该选项不正确，不符合题意； B、与，故该选项不正确，不符合题意； C、 ，，则与相等，故该选项正确，符合题意； D、与，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式11-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性及完全平方的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式11-2】（2024七年级上·全国·专题练习）［传统文化］《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分数乘法的应用以及乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据分数乘法的意义求得剩下的长度即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第一次截取后剩余长度为， 第二次截取后剩余长度为， 第三次截取后剩余长度为， 第次截取后剩余长度为， 故第5天截取后木棍剩余的长度是． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【答案】 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用“”，再写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：， 故答案为：. 【变式11-4】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）利用乘法分配律展开，再进一步计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：   ； （2） ； （3）原式 ． 【考点题型十二】有理数的除法运算 例12：（重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年七年级上学期半期考试数学试题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减乘除的运算，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式12-1】（24-25七年级上·甘肃金昌·期中）计算的结果是（    ） A．0 B．2024 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据“零除以零以外的任何数都得零”解答即可． 【详解】解： 故选：A． 【变式12-2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式12-3】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的，据此求解即可． 【详解】解：∵要使两张卡片上的数字的商最小， ∴在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的， ∴根据题意可选择一正一负， ∴当选择这两张卡片时，商最小为， 故答案为：． 【变式12-4】（2024七年级上·辽宁·专题练习）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处错误是第______步，错误原因是______； 第二处错误是第______步，错误原因是______； (2)请写出正确的结果：______． 【答案】(1)二，没有按照同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， （1）观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； （2）先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按照同级运算从左至右运算，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，错误原因是符号错误，两数相除同号得正，并把绝对值相除 （2）解： ． 【变式12-5】（24-25七年级上·山东临沂·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加法运算、有理数的乘除混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数的加法运算即可求解； （2）根据有理数的乘除混合运算法则即可运算求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十三】科学记数法 例13：（24-25七年级上·湖南永州·期中）据旅游研究院最新数据显示，今年中秋节国庆节假期，全国实现旅游收入2105亿元，将旅游收入2105亿元，用科学记数法表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】． 故选A． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：，故是一个9位数，选项D正确，C错误； 故，选项A错误； ，选项B错误； 故选：D． 【变式13-2】（2024七年级上·全国·专题练习）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法—原数、科学记数法—表示较大的数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．先确定出原数中整数位数，再确定其中0的个数即可． 【详解】解：用科学记数法表示为的原数为727000000000， 原数中“0”的个数为9． 故选：C． 【变式13-3】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）央视网消息，交通运输部统计显示，10月1日至7日，全社会跨区域人员流动量突破20亿人次，数据20亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：20亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 提升训练 68．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算．解题的关键是熟练掌握新定义运算，有理数乘法和加减法，从而完成求解． 根据新定义运算列出算式，然后利用有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 69．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： (1)第一组的第八个数是______． (2)分别写出第二组和第三组的第个数______，______． (3)取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256 (2)， (3)不存在m的值，使这三个数的和等于514 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 【详解】（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 70．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1，，为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“”，“”两个刻度分别对应着数轴上表示数，的两点，且，两数满足．    (1)________，________； (2)若将图1中的数轴沿水平方向移动个单位，此时刻度“”对应数轴上的数为________； (3)若刻度尺右端的刻度为“”，将刻度尺沿数轴向右移动个单位长度，此时，刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度，并说明理由． 【答案】(1)，2． (2)或 (3)，理由见详解． 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数混合运算的应用等知识． （1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值． （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出对应的数为，再分类讨论向左向右移动，进而可得出对应数轴上的数． （3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再得出N的刻度， 进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2． （2）解：∵，， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：， ∵， ∴对应数轴上的数为， 若向左移动一个单位，则对应， 若向右移动一个单位，则对应， ∴对应的数为或 （3）解：刻度尺沿数轴向右移动个单位长度， 设N表示的数为：n， ∵刻度尺的左端点恰好与数轴上表示数的点重合， ∴， ∴N的刻度为：， ∴， 则这把刻度尺有刻度一侧的长度为． 71．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 【答案】(1)， (2)（） (3)，，， 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得：， 不大于， 取绝对值，得：， 当时，； 当时， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 不大于， 取相反数，得：， 大于， 取倒数，得：， 当时，； 故答案为：，； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是：， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是：， 是输入的经过若干次加而来， 即：（）， （）， 故输入的为：（）， 故答案为：（）； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为：，，，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 72．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 73．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 74．（24-25七年级上·广东韶关·期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，．类比有理数的乘方，我们把记作读作“4的圈4次方”，记作，读作“的圈3次方”，一般地，写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ________，_______； （2）关于除方，下列说法错误的是________． ① ②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 ③圈次方等于它本身的数是1或． ④任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （4）比一比：________；（填“>”“<”或“=”） （5）算一算：． 【答案】（1），；（2）①、③；（3）；（4）>；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算和正负数，理解新定义是解题的关键． （1）根据除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，按此规律得到结果； （4）把一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】解：（1）；； 故答案为：；； （2）①、，，故该选项错误； ②、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项正确； ③、圈次方等于它本身的数是1，故该选项错误； ④、如，即任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故该选项正确， 故选：①、③； （3）的圈次方等于的倒数的次方，即等于， 故答案为：； （4），， 故， 故答案为：； （5）， ， ， 75．（24-25七年级上·河北邢台·期中）数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （5）根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）0，6；（4）①小明，②27；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值，数轴的应用，关键是读懂题意，正确地运算即可． （1）根据相反数，绝对值，倒数的概念，即可得到结果； （2）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （3）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （4）①根据图所示，逐一验算三位同学的计算，即可得到结果；②根据有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【详解】解：（1）20的相反数是，的倒数是， 故答案为：，； （2）如图所示， ， 点对应，点对应，点对应6； （3）以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， 点到点的距离为6个单位长度， 故答案为：0，6； （4）①老师给出的式子是：， 小明计算了乘方，应得到：，小明计算错误， 故答案为：小明； ②： ； （5）． 故答案为：． 试卷第2页，共43页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$