第三章 圆 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第三章 圆 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）． 根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案． 【详解】解：圆心到直线的距离的半径， 直线与的位置关系是：相离， 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①长度相等的两条弧是等弧；②相等的两个圆心角所对的弦相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④圆周角的度数等于它所对弧的度数．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦，圆周角定理，圆心角定理，注意同圆或等圆是重要的判定条件． 根据等弧、等弦，圆周角定理，圆心角定理判断即可． 【详解】解：能够完全重合的弧叫等弧，故①错误； 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故②错误； 同弧或等弧所对的圆周角相等，故③正确； 同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，圆心角度数等于它所对的弧的度数，故④错误． 综上所述：正确的是③， 故选：D． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，弦，垂足为点，，，则的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得，，由线段的和与差可得，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据即可得解． 【详解】解：为的直径，且弦， ，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，已知，，是的三条切线，点，，分别为切点，，点为上（不与点，重合）的点，则为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是：熟记切线的性质和圆周角定理．连接，，在四边形中，可求出的度数，根据圆周角定理，分两种情况讨论点所在位置，即可求解． 【详解】解：连接，， 、为切点， 、为半径， ，， 在四边形中，， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 故选B． 8．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式根据“点移动的弧长等于个的周长”列出关于的方程，解方程即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为：， ∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：， ∴， 解得：． 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，令即，所以当直线于相切时，最大，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，连接，点E，F分别在，边上运动，始终满足，连接、交于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由，，证明，则，，可判断①的正误；由，可得，可判断②的正误；证明，则，可求，可判断③的正误；如图，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过作的延长线于，以为圆心，为半径画圆，在优弧上取点，连接，证明四点共圆，圆心为，可知当三点共线时，的值最小，可求的最小值是，可判断④的正误． 【详解】解：∵正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，，①正确，故符合要求； ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴，即，③错误，故不符合要求； 如图，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过作的延长线于，以为圆心，为半径画圆，在优弧上取点，连接， ∴， ∵， ∴四点共圆，圆心为， ∴当三点共线时，的值最小， 由勾股定理得，， 解得，， 由题意知，， 同理，， 由勾股定理得，， ∴的最小值是，④正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）某班学生表演戏剧，制作了一顶圆锥形的小丑帽．这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是运用，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为 故答案为：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，，三点在上，且，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握它们是解题的关键；在优弧上任取点P，连接；由已知可得的度数，由圆内接四边形性质可求得的度数，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上任取点P，连接； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：． 13．（24-25九年级上·广西南宁·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的直径，为的切线，为切点，则，两点到的距离之和等于 . 【答案】 【分析】连接，延长交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，进而证明得出，则，两点到的距离之和为，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交的延长线于点， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即， ∴，两点到的距离之和等于 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】此题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等，把式子进行变形是解题的关键．过点作， 连接，根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径． 【详解】解：设的半径为R，过点作， 连接， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴的半径为2． 故答案为：2． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点， 由切线的性质可得， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ，， 如图，延长交于点， 同理可得，是等腰直角三角形， ， ， ， 当与相切时，有最值，连接， 、都是切点， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的最大值为； 如图， 同理可证，，四边形是正方形， 的最值为； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，估算无理数的大小等知识，证明，并且当与相切时，有最大或最小值是解题的关键． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆心角、弧、弦的关系定理得到，由圆周角定理得到，因此，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷）图①，图②均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，确定四边形的对称中心． (2)在图②中，画出经过点的的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，切线的判定与性质，熟记轴对称变换的性质，切线的判定与性质是解答关键． （1）根据轴对称的性质结合网格作出图形即可； （2）根据切线的性质结合网格作出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示（答案不唯一）    （2）解：如图所示 19．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； （2）解：由（）得，， ∴， ∴ ． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点A、C、E、G在上，； (1)求证：； (2)如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据弧、弦、圆周角的关系证明即可； （2）根据圆周角定理证明，即可得证； （3）连接、、，证明是等边三角形，则，根据圆周角定理可得是的直径，则，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出x即可． 【详解】（1）证明： ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接、、， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及弧、弦、圆周角的关系，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定． 23．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答； （2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出． ②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上， ∵直径， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ． ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为， 故答案为：． （3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【详解】（1）证明：是直径，， ， ． （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 25．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】(1) (2)①， ②， ③ 【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，由圆周角定理得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； ③根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴     ∴ （2）①证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）给出下列说法：①长度相等的两条弧是等弧；②相等的两个圆心角所对的弦相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④圆周角的度数等于它所对弧的度数．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．② D．③ 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，弦，垂足为点，，，则的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 5．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 6．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，已知，，是的三条切线，点，，分别为切点，，点为上（不与点，重合）的点，则为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为(    ) A．3 B． C．6 D． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，连接，点E，F分别在，边上运动，始终满足，连接、交于点G，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）某班学生表演戏剧，制作了一顶圆锥形的小丑帽．这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，，三点在上，且，那么 ． 13．（24-25九年级上·广西南宁·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为，，则的度数是 ． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的直径，为的切线，为切点，则，两点到的距离之和等于 . 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，弦与交于点，若，，则的半径为 ． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 18．（吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷）图①，图②均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，确定四边形的对称中心． (2)在图②中，画出经过点的的切线． 19．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 20．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，点A、C、E、G在上，； (1)求证：； (2)如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 23．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 25．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$