专题09 二次函数易错必刷题型专训（75题25个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题09 二次函数易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二次函数的相关概念】 1．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 2．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 3．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 【易错必刷二 y=ax2的图象与性质】 1．对于的图象，下列叙述错误的是（　　） A．图形是轴对称图形 B．对称轴是直线 C．图象的最低点是原点 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据的图象与性质及二次函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A．图形是轴对称图形，叙述正确，故选项不符合题意； B．对称轴是直线，叙述正确，故选项不符合题意； C．图象的最高点是原点，原叙述错误，故选项符合题意； D．∵图象的开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，叙述正确，故选项不符合题意； 故选：C． 2．若点在抛物线上，则的大小关系为： （填“＞或＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质， 根据题意抛物线的对称轴和开口方向，再比较x的值可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，开口向下， ∴当时，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移． （1）将点代入计算，即可求解； （2）根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵点在此函数图象上， ∴； （2）解：抛物线的图象沿y轴向上平移3个单位后的解析式为：． 故答案为：． 【易错必刷三 y=ax2+k的图象与性质】 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为轴，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴为轴， 故选：D． 2．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决． 【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式， 即只有二次项系数相反， 则其解析式为， 故答案为：． 3．如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； （2）解：∵，且， ∴由图得． 【易错必刷四 y=a（x-h）2的图象与性质】 1．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口向下，即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 3．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)点不在此函数图象上 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，抛物线的性质： （1）根据两点的纵坐标相同即可求出对称轴； （2）根据（1）所求得到抛物线的解析式为：，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：两点的纵坐标相同， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为， 抛物线的解析式为：， 当时，， 点不在此函数图象上． 【易错必刷五 y=a（x-h）2+k的图象与性质】 1．关于二次函数，下列结论不正确的是(   ) A．开口向上 B．时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意；选项C正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 2．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 3．探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【答案】(1)开口向上 (2)直线 (3) (4)当时，有最小值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据解析式可得，即可求解； （2）根据顶点式，即可求解； （3）令，得出，即可求解； （4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向上； （2）解：， ∴对称轴为直线； （3）解：， 当时， ∴图象与y轴的交点坐标为； （4）解：， 顶点坐标为， 当时，有最小值． 【易错必刷六 y=ax2+bx+c的图象与性质】 1．已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点，都在该抛物线上，且， ∴； 故选A． 2．已知，两点都在抛物线上，那么 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系；由题意知，是方程的两个根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，两点都在抛物线上 ∴是方程的两个根，即是方程的两个根， ∴ 故答案为：4． 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标； (3)当时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标为； (2)与x轴的交点坐标为，； (3)减少 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，与坐标轴的交点问题、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令，可求出与x轴的交点坐标； （3）根据二次函数的图象开口向上，以及对称轴是直线可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：当时，即， 解得：，， 与x轴的交点坐标为，； （3）解：∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵对称轴是直线， ∴当时，随增大而减少． 故答案为：减少． 【易错必刷七 顶点式】 1．抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（    ） A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数一般是化为顶点式，二次函数的性质，先将一般是化为顶点式，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， 故选：A． 2．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而增大可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴，则m的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位长度、再向上平移4个单位长度或先向上平移4个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 将化成的形式为； （2）解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移4个单位长度；②先向上平移4个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 【易错必刷八 二次函数与一次函数、反比例函数】 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 2．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第 象限．    【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴， 且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于正半轴， 故图像一定不经过第三象限， 故答案为：三． 3．如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 【易错必刷九 二次函数图象与各系数关系】 1．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记二次函数图象与系数的关系，能通过图象判断二次函数系数的取值范围是解决本题的关键． 通过开口和对称轴判断出之间的关系，即可判断出说法①②的正确性，再通过与x轴的交点个数，可判断③，通过与y轴的交点得到c的取值范围，即可判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，，故说法①错误； ∴，故说法②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故说法③正确； 由图象与y轴交点在y轴的正半轴上，可知当时，， ∵， ∴，故说法④正确， ∴错误的结论个数有1个， 故选：D． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到之间的关系，从而对②作判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在和之间可以判断c的大小可判断④，由此即可得出结论． 【详解】①由抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线， ∴，， 又∵， ∴，故①是正确的； ②二次函数的图象与x轴交于点， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴当时，，故②是错误的； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方， ∴最小值为， ∵， ∴，故③正确； ④∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ，， 且二次函数的图象与x轴交于点， ∴当时，， 即， ∴， ∴．故④错误； 故答案为：①③． 3．已知抛物线的顶点在第四象限，请判断b，c的符号并简要说明理由． 【答案】的符号为“－”，的符号可“＋”可“－”也可以是0． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，横纵坐标的符号分别为“＋”“－”进行判断即可． 【详解】解：， 故抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在第四象限， ∴ ， ∴， ∴的符号为“－”，的符号可“＋”可“－”也可以是0． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质．熟练掌握第四象限内点的符号特征，准确的求出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 【易错必刷十 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 2．已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】解∶和2时的函数值都是4， 对称轴为直线， 故答案为∶直线． 3．二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … (1)这个二次函数的对称轴是直线 ； (2)m的值为 ； (3)当时，则y的取值范围为 ． 【答案】(1)； (2)3； (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：3； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 【易错必刷十一 根据二次函数的对称性求函数值】 1．二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（   ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，， 故选：B． 2．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0； (3)或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）配方成顶点式，即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时y取最小值，时y取最大值； （3）求得点关于直线对称的点的横坐标是1，数形结合可求解． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 【易错必刷十二 二次函数的最值问题】 1．已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到对称轴只能在y轴右侧，则．由当时函数的最大值为2，当时，，求出b、c，即可得到答案． 【详解】解：由得该抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则， 由当时，，则， 由得，解得或（舍去）， ∴， 则， 故选：D 2．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．函数配方后得，当时，函数值y的最小值，则当，y有最小值可得m． 【详解】解∶， 当时，函数值y的最小值为， 根据题意，当时，y的值最小 ． 解得， 故答案为． 3．已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【答案】y的最大值为6，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，依据题意，由二次函数为，从而当时，y取最小值为，再结合到对称轴距离越远值越大求最大值即可． 【详解】解：二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y取最小值为， 又，即到对称轴的距离比大， ∴当时，有最大值，最大值； 当时，y的最大值为6，最小值为． 【易错必刷十三 二次函数的平移问题】 1．将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为，则的值是（） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得． 【详解】解：抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，即， 故选：C． 2．若抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，的图象与性质，坐标与图形变化——平移等知识点，熟练掌握“左减右加，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先得到二次函数的顶点坐标，然后按照“左减右加，上加下减”的平移规律求出其先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位后的顶点坐标，于是得解． 【详解】解：， 其顶点坐标为， 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位后的顶点坐标为，即， 故答案为：． 3．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线． (1)请直接写出抛物线的表达式； (2)对于抛物线所对应的函数，当自变量时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，当时，取最小值－3 【分析】（1）由平移的性质得的表达式为：； （2）根据函数表达式可知的开口向上，对称轴为，所以当时，函数在顶点处取得最小值，即可求解. 【详解】（1）由平移的性质可得的表达式为：； 抛物线的表达式或 （2）存在 抛物线开口向上，对称轴， 时，先随的增大而减小，再随的增大而增大， 时，取最小值－3. 【易错必刷十四 待定系数法求二次函数解析式】 1．若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 2．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 3．已知二次函数的图像经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数值的取值范围： （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，从而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，再求出当时，，当时，，则当时，． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，． 【易错必刷十五 二次函数与方程】 1．若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数(是常数，)的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．本题抛物线与轴有两个交点，则，然后解不等式即可． 【详解】∵抛物线与轴有两个不同的交点 ∴ 解得： 故选：B． 2．如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．利用一次函数图象在二次函数图象上方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点，， ∴一次函数图象在二次函数图象上方时，，即， 故答案为：． 3．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点为 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，，   对称轴为直线，顶点为， （2）证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【易错必刷十六 二次函数与不等式】 1．函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，观察所给图象可直接得出答案． 【详解】解：观察图象可知，当或时，对应的y值大于等于1， 因此使成立的x的取值范围是或， 故选D． 2．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 3．抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点．    (1)C点坐标为______，的面积为______； (2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 【答案】(1)，3 (2)图象见解析，不等式的解集为：或． 【分析】本题考查二次函数的作图及基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）令、分别列方程，解方程即可知、、三点坐标，进而可知三角形的面积； （2）利用五点作图法画图即可，再通过函数图象即可知道不等式的解集． 【详解】（1）解：当时，，故点坐标为， 当时，，解得或， 又∵A在B左侧， ∴，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：，3 （2）利用五点作图法，画图如下：    由图可知，不等式的解集为：或． 【易错必刷十七 二次函数应用之图形几何问题】 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为米，菜园的面积为平方米，可得；根据即可判断①；求解即可判断②；根据，，即可判断③； 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 2．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    【答案】 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 3．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4cm (2)当时，点Q与点C重合 (3)当时，，当时；；当时， 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质解答； 对于（2），当点Q与点C重合时，即，再求出，进而得出答案； 对于（3），分，，三种情况，再根据面积公式求出答案． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：； （2）点Q与点C重合时，即， 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）当时，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴； 当时， 根据题意可知，则， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时， 根据题意可知， ∴． 【点睛】这是一道关于动点问题在几何图形的应用，考查了一次函数，二次函数的应用，直角三角形的性质，特殊角三角函数，勾股定理，注意多种情况讨论． 【易错必刷十八 二次函数应用之销售问题】 1．某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，根据“销售单价每降价1元，每天销量增加10个”，可得销售量y与销售单价x之间的函数关系；根据利润销售量（单价成本）列出利润w与销售单价x之间的函数关系即可解题． 【详解】解：设每个降价x元， 每天销售量为， 每天销售商品获得的利润， 故选：C． 2．某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【详解】解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元． 答：每顶头盔降了5元， 故答案为：5． 3．某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫的售价90元 (2)每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 （2）解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 【易错必刷十九 二次函数应用之拱桥问题】 1．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（   ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，进而得到，代入抛物线进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴由题意，得：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 故选B． 2．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 3．如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 【易错必刷二十 二次函数应用之投球问题】 1．在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用；根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：令，即， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球成绩是10米． 故选：C． 2．一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的应用，推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 3．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． （1）用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y的值，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． 【易错必刷二十一 二次函数应用之喷水问题】 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 2．昆明某公园拟增建喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜射出水柱，经过测量水柱在不同位置到喷水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，若要使水柱在离喷水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度为5米，水柱落地处离喷水管水平距离为8米，则喷水管要离地面 米喷水． 【答案】3.2 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解题关键．由题意建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线顶点式，结合抛物线过点，可求出a的值，即得出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，且可设该抛物线解析式为． ∵该抛物线还过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线解析式为． 令，则， ∴喷水管要离地面3.2米喷水． 故答案为：3.2． 3．为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】(1)； (2)该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用． （1）设水流所在抛物线解析式为：，把代入解析式，求出的值即可得到答案； （2）令，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【易错必刷二十二 二次函数应用之存在性问题】 1．点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，根据点在二次函数的图象上，得出，再求出判别式的值，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 2．对某一函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如函数，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数的上确界是5，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键．将二次函数化为顶点式，得到，再利用上确界的定义，即可求出的值． 【详解】解：， 函数有最大值，最大值为，即， 函数的上确界是5， ， ， 故答案为：4． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．若在抛物线上存在一点P，使，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数与面积问题，求出，设，则，根据，可得，即可求解； 【详解】解：令，则； ∴； 设，则， ∵，， ∴； 令，解得：， ∴点P的坐标为或； 令，解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或或 【易错必刷二十三 二次函数的角度旋转问题（45°）】 1．如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案． 【详解】解：，则是等腰直角三角形 ， 可设点、， 把代入，得 即， ， ，即． 故选：A． 2．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，点，点，已知抛物（是常数），顶点为 (1)当抛物线经过点时，求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入求出m，化为顶点式即可得到顶点P的坐标； （2）将函数解析式化为顶点式，得到顶点P的坐标为，由点在轴下方，当时，，得到点P在第四象限的角平分线上，根据横纵坐标互为相反数列得方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴， ∴顶点的坐标是 （2）∵， ∴顶点P的坐标为， ∵点在轴下方，当时，， ∴点P在第四象限的角平分线上， ∴， 解得（舍去）， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，将函数解析式化为顶点式，解一元二次方程，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 【易错必刷二十四 二次函数的面积计算】 1．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．32 B．18 C．16 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．设，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可． 【详解】解： ∵， ∴四边形的面积； 设， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 当时，四边形的面积最大：18， ∴四边形的最大面积是：18； 故选B． 2．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为、．当矩形的面积最大时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先求出一次函数图象与轴的交点的坐标，设点的坐标为（），矩形的面积为，利用矩形的面积公式，可列出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：令，则， 解得：， ， 设点的坐标为（），矩形的面积为， 根据题意可得： ， ， 二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值，此时， ， 当矩形的面积最大时，点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，实际问题与二次函数，把二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，代数式求值等知识点，利用二次函数的图象与性质，确定当矩形的面积最大时点的横坐标是解题的关键． 3．如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求出交点的坐标： （1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴的面积． 【易错必刷二十五 二次函数与相似结合】 1．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． (1)求直线AB的表达式； (2)求tan∠ABD的值； (3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线经过点A（2，0），可得抛物线解析式为，再求出点B的坐标，即可求解； （2）先求出点D的坐标为 ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD为直角三角形，即可求解； （3）先求出直线BD的解析式，可得到点P的坐标为 ，然后分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0）， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为， 当 时， ， ∴点B的坐标为 ， 设直线AB的解析式为 ， 把A（2，0），，代入得： ，解得： ， ∴直线AB的解析式为； （2）如图，连接BD，AD， ∵， ∴点D的坐标为 ， ∵A（2，0），， ∴ ， ∴ ， ∴△ABD为直角三角形， ∴； （3）设直线BD的解析式为 ， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线BD的解析式为 ， 当 时， ， ∴点P的坐标为 ， 当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB， 如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1， ∵△ABP∽△ABC， ∴∠ABD=∠BCQ， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴CQ=9， ∴OC=OQ+CQ=10， ∴点C的坐标为 ； 当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数易错必刷题型专训（75题25个考点） 【易错必刷一 二次函数的相关概念】 1．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 3．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【易错必刷二 y=ax2的图象与性质】 1．对于的图象，下列叙述错误的是（　　） A．图形是轴对称图形 B．对称轴是直线 C．图象的最低点是原点 D．当时，随的增大而减小 2．若点在抛物线上，则的大小关系为： （填“＞或＜”）． 3．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 【易错必刷三 y=ax2+k的图象与性质】 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 2．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ． 3．如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【易错必刷四 y=a（x-h）2的图象与性质】 1．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 2．如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是 ． 3．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 【易错必刷五 y=a（x-h）2+k的图象与性质】 1．关于二次函数，下列结论不正确的是(   ) A．开口向上 B．时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 3．探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【易错必刷六 y=ax2+bx+c的图象与性质】 1．已知抛物线，若点，都在该抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知，两点都在抛物线上，那么 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求二次函数的图象与x轴的交点坐标； (3)当时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）． 【易错必刷七 顶点式】 1．抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（    ） A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 2．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 【易错必刷八 二次函数与一次函数、反比例函数】 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第 象限．    3．如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【易错必刷九 二次函数图象与各系数关系】 1．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 3．已知抛物线的顶点在第四象限，请判断b，c的符号并简要说明理由． 【易错必刷十 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 1．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为 ． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 3．二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 m 8 … (1)这个二次函数的对称轴是直线 ； (2)m的值为 ； (3)当时，则y的取值范围为 ． 【易错必刷十一 根据二次函数的对称性求函数值】 1．二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（   ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 2．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【易错必刷十二 二次函数的最值问题】 1．已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 2．已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 3．已知二次函数，当时，求y的最大值和最小值． 【易错必刷十三 二次函数的平移问题】 1．将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为，则的值是（） A．1 B．3 C． D． 2．若抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是 ． 3．把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线． (1)请直接写出抛物线的表达式； (2)对于抛物线所对应的函数，当自变量时，其函数值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷十四 待定系数法求二次函数解析式】 1．若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 3．已知二次函数的图像经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)时，求的取值范围． 【易错必刷十五 二次函数与方程】 1．若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是 ． 3．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【易错必刷十六 二次函数与不等式】 1．函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是 ． 3．抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点．    (1)C点坐标为______，的面积为______； (2)请在平面直角坐标系中画出函数图象，并回答：不等式的解集是______． 【易错必刷十七 二次函数应用之图形几何问题】 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 2．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    3．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【易错必刷十八 二次函数应用之销售问题】 1．某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 3．某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【易错必刷十九 二次函数应用之拱桥问题】 1．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（   ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 2．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为 ． 3．如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【易错必刷二十 二次函数应用之投球问题】 1．在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（   ） A． B． C． D． 2．一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是 m． 3．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【易错必刷二十一 二次函数应用之喷水问题】 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 2．昆明某公园拟增建喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜射出水柱，经过测量水柱在不同位置到喷水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，若要使水柱在离喷水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度为5米，水柱落地处离喷水管水平距离为8米，则喷水管要离地面 米喷水． 3．为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【易错必刷二十二 二次函数应用之存在性问题】 1．点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（    ） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 2．对某一函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如函数，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数的上确界是5，则的值为 ． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．若在抛物线上存在一点P，使，求点P的坐标． 【易错必刷二十三 二次函数的角度旋转问题（45°）】 1．如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中，点，点，已知抛物（是常数），顶点为 (1)当抛物线经过点时，求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式； 【易错必刷二十四 二次函数的面积计算】 1．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ） A．32 B．18 C．16 D．以上都不对 2．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为、．当矩形的面积最大时，点的坐标是 ． 3．如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【易错必刷二十五 二次函数与相似结合】 1．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． (1)求直线AB的表达式； (2)求tan∠ABD的值； (3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$