专题08 二次函数65道压轴题型专训（13大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题08 二次函数65道压轴题型专训（13大题型） 【题型目录】 题型一 二次函数图象与各系数关系 题型二 二次函数的图象与性质压轴题 题型三 二次函数中的最值 题型四 二次函数中平移问题压轴 题型五 二次函数与方程、不等式压轴 题型六 二次函数的存在性问题 题型七 二次函数含参应用 题型八 二次函数的翻折对称问题 题型九 二次函数中的“倍角”关系问题 题型十 二次函数中特殊角度关系问题 题型十一 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十二 二次函数与三角函数综合 题型十三 二次函数与相似综合 【经典例题一 二次函数图象与各系数关系】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（  ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：由题意，由图象可得，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故错误，正确； 又由图象知，当时，， ∴，故错误； ∵二次函数与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确， 综上，正确的有：． 故选：． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性和最值进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①开口向下， ， 图象与y轴的交点在正半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， 故①不正确； ②当时，， ， 故②正确； ③由对称性知，当时，函数值大于0， ， 故③正确； ④， ， 故④不正确； ⑤当时，y取得最大值，最大值为， 而当时，， 所以， 故， 即， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选： ． 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识． 根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程即的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④错误． 故答案为：②③⑤． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向下， ∴， ∵二次函数图象过，两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①错误； 若，则， ∵， ∴对称轴直线为，即， ∴， 把代入抛物线得，， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且， ∴对称轴直线为， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，图象开口向下， ∴，故③正确； 已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④ ． 【经典例题二 二次函数的图象与性质压轴题】 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)二次函数的最大值为，最小值的为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 7．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线，点在抛物线上． (1)求n与m之间的关系式； (2)若当时，抛物线有最小值，求n与m的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）把点代入即可解决问题． （2）分三种情形①当，②当，③当，分别列出方程解决问题． 【详解】（1）解：点在抛物线上 ， （2）解：， ①当时，则， ∵时，， ， ， 不符合题意， ②当时，时，， ， 或． 不符合题意， ， ③当时，时，， ， ． 综上所述：，或，． 8．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)求抛物线经过的定点的坐标； (2)是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． 【详解】（1）解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：； （2）解：不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上； （3）解：∵当时，， ∴， ∵，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 9．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求h的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得； （2）根据题意分两种情况讨论：和，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且点在此抛物线上， ∴点一定在对称轴的右侧，时的函数值与时的函数值相等，时的函数值与时的函数值相等， 由题意，分以下两种情况： ①当时，若点在对称轴的右侧， 要使对于，都有， 则， 解得； 若点在对称轴的左侧， 要使对于，都有， 则， 解得； ②当时， 要使对于，都有， 则， 解得， 综上，当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为． 10．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上的两个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． （）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （）设点关于对称轴的对称点为，由抛物线的对称轴，，得，由点，在对称轴左侧，，且，根据二次函数性质，时，随的增大而减小，则，则当时，，代入即可求解； （）由，则对称轴右侧，随的增大而增大；对称轴左侧，随的增大而减小，故点在直线左侧，其对称点为，然后分当点在直线右侧时，当点在直线左侧时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴； （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴ ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入解析式得； （3）解：∵， ∴对称轴右侧，随的增大而增大；对称轴左侧，随的增大而减小， ∵， ∴点在直线左侧，其对称点为， ∵，， ∴， ∵， ∴点在直线左侧，其对称点为， 当点在直线右侧时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点在直线左侧时，如图， ∵， ∴ 解得， 综上：或． 【经典例题三 二次函数中的最值】 11．（24-25九年级上·河北唐山·期中）规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”． 例如：点，则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为______； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 【答案】(1)8； (2)的值为4； (3)的值为或5． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）根据纵横值的定义直接求解即可； （2）由抛物线的对称轴公式可以求得，得到二次函数的解析式为，再通过配方法得到，结合函数的最优纵横值为5，得到，即可求解的值； （3）先得到二次函数的纵横值为，再令，则由题意得：当时，w的最大值为2，再分类①；②；③，讨论3种情况即可求解的值． 【详解】（1）解：点， 它的“纵横值”为． （2）的顶点在直线上， ， 解得：， 二次函数为， 二次函数纵横值为， 当时，有最大值， 又的最优纵横值为5， ， 解得：， 的值为4． （3）二次函数纵横值为， 令，则由题意得：当时，w的最大值为2， 下面分3种情况讨论： ①若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； ②若， 当时，w的最大值为， 无解； ③若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； 综上所述，的值为或5． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线 (1)①抛物线的对称轴为直线_______；（用含a的代数式表示） ②若时，始终有y随着x的增大而增大，求a的取值范围； (2)若时，抛物线经过点，试比较和的大小，并说明理由； (3)y的最小值随着a的变化而变化，求函数值y的最小值中的最大值． 【答案】(1)①；②； (2)当时，；当时，；当时，； (3)函数值y的最小值中的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题关键． （1）①利用抛物线对称轴公式即可求解；②由题意得在对称轴直线右侧，始终有y随着x的增大而增大，据此列式计算即可求解； （2）将点代入，用表示出和的值，再求差，分类讨论求解即可； （3）配方得，当时，取得最小值，最小值为，再配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①对于抛物线，对称轴为直线， 故答案为：； ②∵，抛物线的开口向上， ∴在对称轴直线右侧，始终有y随着x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：当时，抛物线为， 将点代入得， ，， ∵， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； （3）解：配方得， ∵，抛物线的开口向上， ∴当时，取得最小值，最小值为， 由于随的变化而变化， 配方得， ∵，抛物线的开口向下， ∴当时，取得最大值为． 答：函数值y的最小值中的最大值为． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． (3)若关于x的方程（m，n是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)①不是，②是 (2)或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义， （1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于k方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，化简即可． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 不是“邻根方程”； ②解方程得：，， ， 是“邻根方程”； （2）解：由方程得， 解得：，， 由于方程是“邻根方程”， 则或， 解得或； （3）解：解方程得：， 关于的方程，是常数，是“邻根方程”， ， 整理得， ， ， 当时，有最大值． 14．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）数形结合是解决数学问题的常用方法．例如：若x为实数，求式子的最小值．解法一：设．则当的值最小时，式子的最小值，由二次函数的性质知的最小值为9，故式子的最小值为3． 解法二：，该式子的值可以看成是平面直角坐标系中轴上一点与点间的距离，因此当轴时，点A、B间的距离最短且为3，式子的最小值为3． (1)式子的最小值是 ； (2)式子表示平面直角坐标系中轴上一点到点、的距离之和，该式子的最小值为 ； (3)如图，中，，，，点D，E分别在边，上，连接，，若，求的最小值，并直接写出此时的值． 【答案】(1)2 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）根据解法一：设，根据二次函数的性质求得的最小值为4，据此求解即可； （2）先把原式化为的形式，再根据材料结论即可得出结果； （3）作于点，由勾股定理结合等积法求得和的长，再利用勾股定理求得，再根据材料结论即可得出结果，利用待定系数法求得直线的解析式，据此可求得． 【详解】（1）解：设． 则当的值最小时，式子的最小值， ∵， ∴当时，的最小值为4， 故式子的最小值为2； 故答案为：2； （2）解： ， 如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点， 则可以看成点到点、的距离之和，就是求的最小值． 作点关于x轴的对称点为，则， 因此，求的最小值，只需求的最小值，而点、间的线段距离最短，所以的最小值为线段的长度． 为此，构造直角三角形，因为，， 所以，即原式的最小值为． 故答案为：； （3）解：作于点， ∵，， ∴， ∵，即， ∴，， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 可以看成点到点、的距离之和，就是求的最小值． 同理，作点关于x轴的对称点为，则， 因此，求的最小值，只需求的最小值，而点、间的线段距离最短，所以的最小值为线段的长度． 同理，，即原式的最小值为． 设直线的解析式为， 由题意得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，二次函数的性质．解答此题的关键是根据题中所给的材料画出图形，再利用数形结合求解． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知关于x的函数，其中k为实数． (1)若函数经过点，求k的值； (2)若函数图像经过点，，试说明： (3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键． （1）将代入得到关于的方程，解方程即可； （2）将点，代入，则，即可求证； （3）当时，都有恒成立转化为恒成立，，令，即当时，恒成立，即成立即可，分类讨论，，利用函数的增减性进行分析即可． 【详解】（1）解：若函数经过点， 将代入 得：， 解得：； （2）解：∵函数图像经过点，， ∴将点，代入 得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，都有恒成立转化为恒成立， ∴， 令，即当时，恒成立， ①当时，在范围内恒成立，故符合题意； ②当时，可求对称轴为直线， 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而增大， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴； 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而减小， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴， 综上所述，． 【经典例题四 二次函数中平移问题压轴】 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①存在，；② 【分析】1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得；（2）①求出，代入求得，得到，当点M在上时，，最小，当时，，得到；②设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为． 【详解】（1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到； （2）①存在，理由： 当时， ， ∴， 代入， 得， ∴， ∴， 当点M在上时， ，最小， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ②设交x轴于点N，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点的横坐标为．    【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 17．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线 (1)求的函数解析式； (2)设抛物线的对称轴交直线于点P，求点P的坐标； (3)设直线与抛物线交于A、B两点，求A、B两点的坐标． (4)Q点是直线下方抛物线上一动点，求面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， (4)有最大值，此时点Q的坐标为： 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，以及和一次函数的结合． （1）根据二次函数平移的性质求解即可． （2）先求出抛物线的对称轴为，即点P的横坐标为2，由P点在上即可得出点P的坐标． （3）联立和方程组求解即可得出A、B两点的坐标． （4）根据抛物线解析式设点，过点Q作轴交与点N，则，求得，即可列出关于m的方程，利用二次函数的性质求最值和点坐标即可． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 则 （2）∵ ∴抛物线的对称轴为， ∵抛物线的对称轴交直线于点P， ∴． （3）根据题意联立方程， 解得：，， ∴，， ∴， （4）， 设点，， 过点Q作轴交与点N，则， ∴， ∴ ， 故当时，有最大值， 当，则 此时点Q的坐标为：． 18．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，为定值4． 【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线解析式为， 设，由于动点P在直线下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． （3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 19．（2024·海南·三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： ①设的面积为，求出关于的关系式； ②当为何值时，与相似？ (3)如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②当的值为或时，与相似 (3)或或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，利用待定系数法可得出结论； （2）①根据题意可先得出的取值范围，分两种情况，分别求解即可； ②当点在上时，不存在；当点在上时，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）平行四边形两定两动问题，①以、为对角线，则的中点即是中点，②以、为对角线，则中点即是中点，③以、为对角线，分别列方程组即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， ， 解得， 抛物线． （2）解：抛物线，令，则， ； ， ， ，， ∴； ①如图，当点在上，即时，，， ； 如图，当点在上，即时，，， ， 过点作轴， ， ， ，即， ， ； 综上，； ②当点在上时，如图，此时是钝角三角形，不符合题意； 当点在上时： 当时，如图，此时， ， 由①可知，，， ，， ， 解得，； 当时，如图，此时， ， ， 解得，； 综上，当的值为或时，与相似； （3）解：存在，理由如下： 平分面积， 为中点，即， 由题意可知，抛物线沿射线平移，且过点，则平移至点时，向右平移2个单位，再向下平移个单位， 抛物线解析式为：，即， 抛物线的对称轴为：， ，，而，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ， 解得， ； ②以、为对角线，则中点即是中点，如图， ， 解得， ； ③以、为对角线，如图， ， 解得， ， 综上所述：满足条件的点坐标为：或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，涉及二次函数的平移，二次函数与面积的最值问题，二次函数与相似三角形的综合运用，二次函数与特殊四边形的问题，二次函数求线段最值问题，正确画出图形，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 20．（2024·广西南宁·二模）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： (1)k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． (2)若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； (3)若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）根据向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度即可求出． （2）设反比例函数上的任意一点，将函数图像按平移后，M的对应点为，进而推出x与，y与之间的关系，再根据M在反比例函数上即可求出． （3）根据抛物线的顶点，可得按平移以后的抛物线顶点坐标为，进而得出平移后的解析式为，联立一次函数解析式，利用韦达定理求出，，再根据，可求出，设平移后的路径长为l，即，然后利用二次函数最值即可求出． 【详解】（1）解：向下平移2个单位长度， 向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度 平移后 故答案为：；． （2）设反比例函数上的任意一点， 将函数图像按平移后，M的对应点为 则， ， M在反比例函数上，代入得 即N在函数上 平移后的函数解析式为 （3）由题可知，抛物线的顶点， 按平移以后的抛物线顶点坐标为， 设平移后的解析式为，与其直线的两个交点分别为，， 联立①②得 整理得： 则：， 由勾股定理得： ， 代入上式，再两边平方，整理得 将③代入，整理得： 设平移后的路径长为l，由已知可得 将代入上式得， ， 当时，最小，即l最小 此时 当平移路径最短时，， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，反比例函数的图像的性质，函数图像的平移，韦达定理，两点间距离等知识，解题的关键在于熟练掌握函数图像平移后的解析式写法以及点坐标变化特征． 【经典例题五 二次函数与方程、不等式压轴】 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b为常数）． (1)该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为， ①b的值是 ，点B的坐标是 ； ②当时，借助图象，求自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①，②或 (2) (3) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可； ②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）解：∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，） (1)若，函数图象顶点坐标为，求函数图象与轴的交点坐标； (2)若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象顶点坐标为，得到顶点式，令，解方程即可； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，由题意可确定，对称轴为直线，则，故，y取得最大值，而当时，，则，联立方程，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵，函数图象顶点坐标为， ∴解析式为：， 当，则， 解得：或， ∴与轴的交点坐标为； （2）证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3）解：∵函数图象经过点， ∴， ∵当时，； 当时，， 当时，， ∴，对称轴为直线， ∴， ∴，y取得最大值， 当时，， ∴， ∴联立方程得，， 解得：． 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数． (1)若对于任意，有恒成立，求和的值． (2)若，且对于任意，有恒成立，求的取值范围． (3)设关于的方程的根为，关于的方程的根为．是否存在，使得？并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，理由见解析 【分析】该题主要考查了二次函数的性质和图象，一次函数的性质，一元二次方程等知识点，解题的关键是理解题意． （1）把分别代入列出不等式，根据题意得出三式的等号均成立，即可求解． （2）把看成自变量，为关于的一次函数，故只需保证和时即可，据此列出不等式求解即可． （3）由题意得，，从而得出．取，则，取，可以得出，，即可求解． 【详解】（1）解：把分别代入，可得①，②，③． 可得，又由③知， 故以上三式的等号均成立，解得． （2）解：把看成自变量，为关于的一次函数， 故只需保证和时即可， ∴， 解得：或． （3）解：由题意得，， ． 取，则， 取，此时， 则， 故存在，使得． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（，是实数，）． (1)求证：若该函数图象与轴一定有两个不同的交点； (2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． (3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与轴的交点情况，二次函数的图象和性质， （1）由，，即可得证； （2），分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则且，，即可求解； （3）当时，总有随的增大而减小，则，，继而得出，再根据二次函数的最值即可得解； 掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴该函数图象与轴一定要有两个不同的交点； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点、分别位于抛物线对称轴的两侧，且， ∴且，， 解得：， ∴的取值范围是； （3）∵图象过点， ∴，即， ∵当时，总有随的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值是：， ∴的最小值是． 25．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)轴交点，轴交点 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，解方程即可； （2）顶点为，由抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得顶点翻折至，由于经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，则直线经过点即可，则，解方程即可； （3）当时，，当时，，由，得，故当时，，而当时，，则，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 时，， 解得：， ∴与轴交点为：，与轴交点为； （2）解：， ∴顶点为， ∵抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折， ∴顶点翻折至 ∵经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点， 则直线经过点即可，如图： ∴， ∴； （3）解：如图： 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时， ∵，抛物线的对称轴为直线，且， ∴当时，， ∴， 解得：． 【经典例题六 二次函数的存在性问题】 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数图象与x轴交于、两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)是否存在一条直线，始终与该二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，求m，n满足的数量关系． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点， （1）由顶点坐标公式即可求解； （2）先求出二次函数图象经过的两定点，，两图象要始终有两个不同交点，即直线也必过这两点，进而即可求解； （3）依据题意，求出直线与直线的交点M，再消去a，即可得解； 解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】（1）当时，函数， ∴其顶点横坐标为， 当时，， 故顶点坐标为：； （2）， 令， 解得：，， ∴当时，， 当时，， ∴抛物线必经过点，， ∵要始终有两个不同交点， ∴直线必过点，， ∴， ∴ ∴直线表达式为：； （3） ∵抛物线与x轴交于、两点（A在B的左侧， 令，解得：或， ∵， ∴， 即点，， 令可得：， ∵ ， ∴， 设直线的解析式为：, ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线的交点M满足它们的解析式组成的方程组， ， 解方程组得， ， ∴，， ∴， ∴， 27．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，抛物线   与轴交于两点，与轴交于点 ．该抛物线的顶点为 ．    (1)求的坐标； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以点 为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形 (3)符合条件的点的坐标为：或或 【分析】（1）令，解得，，，可得，，令，可得，由此即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，两点之间的距离公式即可求解； （3）根据题意，分类讨论：时；过点作，交轴于点，，，时；过点作，交轴于点，，时；结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，，， ∴，， 令时，则， ∴； （2）解：已知，，且， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，，连接，    ∴， ∵，，， ∴， 此时点与点重合， ∴； 如图所示，过点作，交轴于点，，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴； 如图所示，过点作，交轴于点，，    同理，， ∴， ∴，则， ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与坐标轴交点的计算，勾股定理及其逆定理，两点之间的距离公式，相似三角形的判定和性质等知识的综合是解题的关键． 29．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)将沿直线翻折，点的对应点为． ①若落在该抛物线的对称轴上，求实数的值； ②是否存在正整数，使得点落在的内部？若存在，求出整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）令，解关于的方程即可得到点、的坐标； （2）①设对称轴与轴的交点为，求出，再根据翻折变换的性质可得，取的中点，则，得出是等边三角形，进而可得，然后利用勾股定理，列式计算即可得解； ③过点作于，根据垂线段最短可得，再根据翻折变换的性质可得，从而判断出点总落在的外部． 【详解】（1）令，则， 解得：， ， （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线 当时，，则， ∴， 将沿直线翻折，点的对应点落在对称轴上， 设对称轴与轴的交点为，则， ， ， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴，则 ∴ 即 ∴ ②过点作，为垂足， 由翻折的性质得，若点点的对应点落在内部，则，则到的距离大于，而， 不论取何值，点的对应点总落在的外部 这样的整数不存在． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴交点问题，折叠问题，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 30．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了一次函、反比例函数，二次函数的性质，勾股定理； （1）根据新定义联立，解方程，即可求解； （2）根据新定义得出函数的图象的“3系关联点”为，，函数的图象的“6系关联点”为，勾股定理表示出两点距离，根据等腰三角形的定义，分类讨论，解方程，即可求解； （3）根据函数的图象存在唯一的“m系关联点”得出，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，“2系关联点”即 ∴“2系关联点”在上， ①无解， ②，解得，则②的图象上存在“2系关联点” ③消去得，， ， 则③的图象上存在“2系关联点” 故答案为：②③． （2）解： 解得：或 ∴函数的图象的“3系关联点”为，， 解得： ∴函数的图象的“6系关联点”为， 设 ∴，， 当是等腰三角形时， ①当时，，此方程无解 ②当时，，此方程无解 ③当时， 解得： （3）解： 消去得， 解得：（为正整数，舍去）或 所以抛物线为 ∵当时，函数的最小值为， 对称轴为直线， ①当时，即，随的增大而减小，则最小值为 解得：，此时最小值为， ②当时，，此方程无解， ③当时，最小值为，则（舍去） 综上所述， 【经典例题七 二次函数含参应用】 31．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1) (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 32．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 33．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 34．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 35．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 【经典例题八 二次函数的翻折对称问题】 36．（2023·辽宁锦州·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或， 【分析】（1）根据一次函数解析式，确定，然后利用待定系数法代入求解计算即可； （2）①设，的周长为，则，，证明，得到，再利用勾股定理，求得，得到的周长为，进而得出，然后利用二次函数的性质，即可得到答案； ②根据菱形的性质可知，，且，即点落在轴上．过点作轴于点，设，则、，得到，，再利用勾股定理得到，然后利用列等式求解的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2） 令，则， 、，， ①设，的周长为， 则，， 轴， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， 的周长为， ， ， 当时，， 即的周长的最大值为； ②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形， ，且， 点落在轴上， 如图2，过点作轴于点，    设，则、， ，， 在中，， ， 或， 解方程①得：或（不符合题意，舍去）， 解方程②得：或（不符合题意，舍去）． 当时，， 当时，． 故以、、、为顶点的四边形能成为菱形的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用解析式表示出线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程式解题关键． 37．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图1，抛物线与直线交于A、B两点，过A作轴交抛物线于点C，直线交x轴于点D． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点H是线段上的一个动点，过H作轴交抛物线于E点，连接，当时，求的值； (3)如图2，连接及，设点F是的中点，点P是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的． 【答案】(1)点A坐标，点B坐标，点坐标． (2) (3)当或时，与重叠部分的面积是面积的 【分析】（1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标． （2）如图1中，设，，则，根据 列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题． （3）分两种情形：①若翻折后，点G在直线下方时，连接．如图2，根据三角形的中线性质可证四边形是平行四边形，得，在中，根据，即可解决问题；②若翻折后，点G在直线上方时，连接，如图3，可证四边形是平行四边形，得即可解决问题． 【详解】（1）解：由解得或， ∴点A坐标，点B坐标， ∵轴， ∴点纵坐标为， 由，解得或（舍去）， ∴点坐标． （2）解：如图中，设，，则， 由（1）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 则点O到的距离为， ∴． （3）解：∵，， ∴，，， ∵， ∴． ①若翻折后，点在直线下方时，连接．如图，重叠面积为， 由折叠性质得，，， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴．， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴． ②若翻折后，点在直线上方时，连接．如图，重叠部分为， 同理，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 综上所述：当或时，与重叠部分的面积是面积的 ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，折叠性质等知识，问题（3）中判断四边形是平行四边形是解答的关键，此题综合性比较强，难度较大，属于中考压轴题． 38．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）观察函数图象，即可求解； （3）将代入解析式，解方程，即可求解； （4）分三种情况讨论，分别根据函数图象结合函数的最大值与最小值的差是时，列出方程或不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：或（舍去） ∴； （2）解：∵，则顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵翻折， ∴在部分的图象的顶点坐标为，解析式为： ∴的解析式为 观察函数图象可得，函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是或 （3）当时，，解得：或 当时，，解得：或 ∵点在函数的图象上， ∴或或或； （4）解：①当即时，依题意 解得：或（舍去） ②当时即时，依题意， 解得：（舍去）或（舍去） ③令， 解得：或 ∴当时，函数值的最大值为最小值为，符合题意， ∴ 解得： 综上所述，的取值范围为：或 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，求函数值，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． (1)设点在图象上，则点A在图象上的对应点坐标为 ； (2)如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； (3)如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据关于轴对应的点的坐标特点可得答案； （2）求解， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为，再进一步可得答案； （3）求解，可得该函数图象的顶点坐标为．由直线l过点且与图象M有四个交点，再结合图象建立不等式求解即可； （4）由（3）可知， (3) 16对称轴为直线．可得点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧．①当P在对称轴左侧时，②当P在对称轴右侧时，再利用最高点与最低点的纵坐标的差为，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 由已知图象和关于y轴对称，所以关于y轴对称的点为； （2）解：由已知经过点， 所以当时， 图象经过点， 得， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为， ∴，解得：， ∴为， 即关于y轴对称的对应的函数表达式为； （3）解：当时， 点C的坐标为． 把点代入二次函数中， 得， 所以． ∴， 该函数图象的顶点坐标为． ∵直线l过点且与图象M有四个交点， 当时，如图， ∴， 解得； 当时，如图，显然不符合题意． 综上，a的取值范围为； （4）解：由（3）可知， (3) 16对称轴为直线． ∵， ∴， ， 如图，∵点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧． ①当P在对称轴左侧时， ∴， ∴， 点P与点Q之间部分最高点为顶点，最低点为点Q， ， 整理解得或．都不符合题意，舍去， ②当P在对称轴右侧时，如图， ∴， ∴． ∵； 所以点 P与点Q 之间部分最高点为P 点，最低点为点Q， ， 整理解得(舍) 或． 综上，a的值为． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 40．（22-23九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，证明：对于y轴上任意一点，都存在过点D的直线交抛物线于E，F两点，使得； (3)将该抛物线在之间的部分图象记为Ω，将图象Ω在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图像，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与几何的综合等知识点，熟练运用数形结合解题是关键． （1）由题意可确定，再将点B代入即可求出函数解析式； （2）如图1，过E作轴，过D作轴，过F作轴，可证明，则，设，则，则有，得到，再由，可知关于m的方程总有两个不相等的实数根，存在E、F点，使得即可； （3）原函数的顶点为，则翻折后函数的顶点为，分当N点在G点下方和上方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵，点A在点B的左侧, 将B点代入，解得， ∴． （2）解：如图1，过E作轴，过D作轴，过F作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴关于m的方程总有两个不相等的实数根， ∴存在E、F点使得． （3）解：原函数的顶点为，则翻折后的函数顶点, ①如图2，当N点在G点下方时，,此时， ∴， ∴， ∴； ②如图3，当N点在G点上方时，则， ，此时， ∴， ∴， ． 综上所述：t的取值范围为． 【经典例题九 二次函数中的“倍角”关系问题】 41．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式为，即可求解； （3）证明，，，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点坐标代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，直线的函数表达式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴； （3）解：当，则，则， ∴ 延长交延长线于点，过点作于点，交延长线于点， 在函数中，令，则， ∴点， ∴轴， 当时，直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立得：， 解得： ， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 42．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，过，画直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点在轴正半轴上，且，求的长； (3)点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据与轴的两个交点、的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）设，然后表示出、的长度，在中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （3）根据相似三角形对应角相等可得，然后分两种情况讨论：①点在点下方时，利用同位角相等，两直线平行判定轴，从而得到点的纵坐标与点的纵坐标相同，是，代入抛物线解析式计算即可；②点在点上方时，根据（2）的结论，点为直线与抛物线的另一交点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设，则，如图2， 在中，由勾股定理得： ， 解得， 即； （3）解：点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，分两种情况讨论： ①如图2，当在点下方时， ，， ， ， 轴， ， ， 解得（舍去），， ； ②如图3，当在点上方时， ， ，由（2）得，为直线与抛物线的另一交点， 设直线的解析式为， 把的坐标代入，得： ， 解得， ， 由， 解得（舍去），， 此时， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，切线的性质，勾股定理，两函数图象交点的求解方法，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想分析问题． 43．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，，，解直角三角形得出，，延长交延长线于点，过点作于，解直角三角形得出，，推出，，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，则，，求出，再结合二次函数的性质即可得解； （3）移后的抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，作于，于，过点作轴于，过C作于，于，则，，证明三角形相似，由相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】（1）解：在直线上，令，解得， ； 把，代入，得：， 解得，            ； （2）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 延长交延长线于点，过点作于， ， ∵轴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ∴ ；             ， 时，，    此时； （3）解：， ∵， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位，就是将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为， 如图，作于，于，过点作轴于，作于，轴于，则，， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合线段问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 44．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式； （2）如图，过作与抛物线交于点，可得，再利用抛物线的对称性可得答案，在轴上取点，且满足，可得，则与抛物线的交点满足条件，求解，直线为，再进一步建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， ∴， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点， ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过作与抛物线交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 在轴上取点，且满足， ∴，则与抛物线的交点满足条件， ∵，，设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：，， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查了求抛物线，一次函数的解析式、二次函数与角度问题．结合抛物线的性质与建立方程组是解决第二问的关键． 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得： ∴ （2）解：∵，当时， ∴， 又∵， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【经典例题十 二次函数中特殊角度关系问题】 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）交x轴于A、B两点，交y轴于C，A在B的左边． (1)如图1，直接写出A、B、C的坐标； (2)如图2，直线与抛物线交于点M、N，，求k的值； (3)如图3，P在抛物线上，，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)1或7 (3)或 【分析】（1）令，则可求得抛物线与x轴的两个交点坐标；令，则可求得抛物线与y轴交点的坐标； （2）由直线解析式知，它过定点，连接，则轴；设M点在N点的右边，且，由直线与抛物线解析式联立消去y，整理得一元二次方程，，由根与系数关系得；再由面积关系得：，由此即可求得k的值； （3）以为弦作，圆与抛物线的交点P满足，则可求得点D的坐标及圆的半径；设，则；由等于半径，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，即，解得：； 抛物线与x轴的两个交点坐标为； 令，则， ∴； （2）解：由直线解析式知，当时，， ∴直线过定点， 如图，连接，则轴，； 设M点在N点的右边，且， 联立， 整理得：， 由根与系数关系得：； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：以为弦作，与抛物线交于点P，如图； ∵， ∴， ∴，点O在线段的垂直平分线上； ∵，的中点坐标为， ∴， ∴点D的纵坐标为，即； 设，则； ∵， 即， ∵， 即， ∴， 解得：（舍去）； 当时，， 即， ∴或． 【点睛】本题是二次函数、方程与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用这些知识，构造辅助线与辅助圆是解题的关键． 47．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答； （3）当点Q在点C的上方时，则，用解直角三角形的方法求出，即可求解；点在点C下方时，同理可解． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． （2）解：∵， ∴点， 设点，则点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的表达式为：，则点， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：， 如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点， 则， 同理可得：， ∴，解得：（舍去）或 ∴点， ∴的面积为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，； 由点C、P的坐标得，， 当点Q在点C的上方时，则， 由点C、P的坐标得，， 如图：过点Q作于点H， ∵ ∴， 设， ∴,即,解得：， ∴ ∴，解得：； ∴， ∴， ∴， ∴即点； 当点在点C下方时， 同理可得：， ∴点； 综上，或． 48．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． (3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接，，根据平行线的性质得出，即可求解； （3）延长交轴于点，得出，进而求得，根据勾股定理的逆定理可得，过点作交于点，以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则，根据直径所对的圆周角是直角得出，则，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得，， 解得： ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵，则，则， 当时，， ∴，， ∴, 连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 当、、三点在同一直线上， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长交轴于点， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 解得：或， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿边翻折，得到， ∴在直线上，且，， 过点作交于点， ∵， ∴，则， ∴， 以为直径，为圆心作圆，交轴于点，则 设，则， ，， ∵是直径， ∴，则， ∴， 解得， ， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 49．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）（）已知抛物线 交轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶点为 . 请直接写出抛物线的解析式式及点 的坐标； 如图，点 和点 关于抛物线对称轴对称，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，且，请先直接写出点 的坐标，再选择一种情况说明理由. （）直线 与抛物线 交于 两点，若在 轴上存在唯一的一点 ，使，求 的值. 【答案】（1）①抛物线解析式： ，顶点坐标： ②或，理由见解析 （2）或或 【分析】（）利用待定系数法和二次函数顶点坐标公式即可求解； 连接 交对称轴于点 ，连接 ，连接，分两种情况考虑：当点F在下方时，连接 交于点，易得均是等边三角形，再用证明，得，从而在中可求得的长，进而得点K的坐标，求出直线的解析式，联立二次函数解析式即可求得点G的坐标；当点F在上方时，连接 交于点M，同理得均是等边三角形，再用证明，得，则有，再用证明，则可得；从而在中可求得的长，进而得点M的坐标，求出直线的解析式，联立二次函数解析式即可求得点G的坐标；综合即可得点G的坐标； （）分两种情况考虑：以为直径的圆与轴相切，即为切点，取的中点，连接，分别过点作轴和轴的平行线，两线交于点，则；高点M、N的坐标，则可得点S的坐标，从而可表示出；由建立方程可求得m的值；当直线经过A点，或者点时，易于求得m的值；最后综合即可得m的值． 【详解】（）解：把，代入抛物线解析式得， ， 解得， ∴抛物线解析式：， ∴顶点坐标为：； 或，理由如下： 连接交对称轴于点，连接，连接， 当点F在下方时，连接交于点，如图， 点和点关于抛物线对称轴对称，，抛物线对称轴为直线， ∴， ∵垂直平分， ， ， ， 在中，， ， 为等边三角形， ， ； ∵四边形是菱形， ； ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理得:， ∴点K的纵坐标， ； ， 直线的解析式为； 联立， 解得（舍去）， ； 当点F在上方时，连接，交于点M，如图， ∵垂直平分 ， ， 同理得，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴点M的纵坐标， ； ， 直线的解析式为； 联立， 解得（舍去）， ； 综上，或 （2）在轴上存在唯一的一点，使得，有以下两种情况： ①以为直径的圆与轴相切，即为切点， 取的中点，连接，分别过点作轴和轴的平行线，两线交于点，则； 则轴， 设， 联立，可得 ， ， ∵， ∴， ∵， 在中，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②当直线经过A点，或者点时； ，对称轴为直线 ， ， 经过点A或点， 或， 综上所述：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的解法及一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性较强，涉及到分类讨论、构造辅助线等思想与方法． 50．（24-25九年级上·重庆江津·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为4，此时 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． （1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【详解】（1）解：将代入中， ， ， ∴． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； （3）解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 【经典例题十一 二次函数中特殊角度关系问题】 51．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据三角形的面积公式及配方法求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴抛物线的解析式为：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点M作轴交BC于点N，连接，． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点 设直线的函数解析式为，将点，代入， 得，解得：， ∴直线BC的函数解析式为， 设点M的横坐标为（）， 则点M的坐标为，点N的坐标为， ∴， ， ∴当时，的面积最大，最大值为8． 把代入，得， ∴点M的坐标为． 故面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 52．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 【答案】(1) (2)当点P运动到时面积最大，最大面积是 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ①若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； ②若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 53．（24-25九年级上·天津·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为， 此时点 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； （2）将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （3）设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 54．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)当点时，△的面积取得最大值，最大值为4 (3)或 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）由题意得，，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ， 设点， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：由（1）（2）可知：，，设点，点，由点在下方结合根据中点坐标公式可分： ①以、为对角线，， ， 或（不符合题意，舍去）； ②以、为对角线，， ， 或， ∴或， ∴当时，代入直线的解析式得：，此时点Q在直线下方，符合题意； 同理可验证也符合题意； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 55．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为； （3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得 ∴ 把点和C为代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得， ∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P， 此时，的值最小． ∵直线，当时，， ∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，， ∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 【经典例题十二 二次函数与三角函数综合】 56．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，D是抛物线上一点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A______，B______，C______； (2)若点D到直线的距离等于t，当t为何值时，这样的D点有且仅有3个； (3)如图（2），当D在第二象限时，连接，，若，求D点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别令，时，即可求解； （2）当在轴下方，过作，交于，由点到直线的距离得，当直线与抛物线有一个交点时，作直线关于直线对称直线，此时直线与抛物线的交点到直线的距离均为，此时这样的D点有且仅有3个，设直线的解析式为，求出一元二次方程有两个相等的实数根时的值，从而可求出的坐标，过作轴，交轴于，交与，即可求解； （3）连接，过作轴，与轴的交点为，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，可求，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，即可求解； 【详解】（1）解：当时， ， 解得：，， ，， 当时， ， ； 故答案：，，； （2）解：如图，当在轴下方，过作，交于， ， 当直线与抛物线有一个交点时，作直线关于直线对称直线，此时直线与抛物线的交点到直线的距离均为， 此时这样的D点有且仅有3个， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 整理得：， 直线与抛物线有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：， ， ， 如下图，过作轴，交轴于，交与， ， 当时， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，这样的D点有且仅有3个； （3）解：如图，连接，过作轴，与轴的交点为， 轴， ， ， 可设， 在第二象限， ， ， ， ， ， 在中： ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去），（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，求函数与坐标轴交点坐标，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等，能将直线与抛物线的交点数转化为一元二次方程根的个数，作出恰当的辅助线，构建相似三角形，并熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 57．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：在，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点下方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为，    设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点上方时：设与轴交于点，    ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 同理可得的解析式为， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或；． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 58．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，，，    (1)求抛物线的解析式 (2)点为直线上方抛物线上的一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围 (3)在（2）的条件下，连接交于点，在轴的点左侧取一点使，连接交于点，，求点的横坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，可求出的长度，根据可求出的长度，再根据即可求出的长度．从而可确定点的坐标，即可求解． （2）过点作轴于，交直线于点，求出直线的解析式，表示出线段的长度即可； （3）过点作于，过点作于，证，求出直线的解析式；过点作轴于，过点作轴于，设，表示出点的坐标；作的平分线交轴于，设，则，可利用正切值求出；过点作于，求出点的坐标，进一步求出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：当时，，∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把和，代入抛物线中， 得， 解得， ∴ （2）解：过点作轴于，交直线于点，    设， 设直线的解析式，把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴ （3）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰等腰三角形， 过点作于，过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴均为等腰直角等三角形 ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点作轴于，过点作轴于， ∵为中点， 又∵， ∴为的中位线， ∴， 设， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交轴于， ∴， 设，则， ∴，则， ∴， ∵平分，∴， 设，则， ∴，解得， 在中，， 过点作于， ∴轴， ∴， 在中，， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立：得： 解得： 由（２）得： ∴点的横坐标为：    【点睛】本题属于综合性极强的二次函数题．做出第三问的关键是依据解题思路作出辅助线． 59．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点C，过B、C两点的抛物线交x轴负半轴于点A，且 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第二象限的抛物线上，连接、，的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点A关于y轴的对称点为点D，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，点E恰好在y轴上，点N在线段上，连接，，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点C、B的坐标，再根据求出从而得到点A的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式得到方程组，解方程组即可得到答案； （2）连接，过点P作轴于点M，过点P作轴于点H，根据即可得到答案； （3）先证明，得到的值，从而求出t的值，进而得到点P的坐标，再过点N作轴于T，设点N的横坐标为n，在中，通过勾股定理建立方程，解方程的得到点N的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ∴， 轴轴， 在中，， ， ， ， 把A、B坐标代入抛物线解析式得， 解得 解析式为； （2）解：如下图所示，连接，过点P作轴于点M，过点P作轴于点H， ∵ ； （3）解：如下图所示，点A关于y轴的对称点为点D， ， 过点P作轴于H， ∵， ∴， ，， ∴， ，， 解得（舍），， ， ， 在中，勾股得， ， 过点N作轴于T， 设， ， 在中，勾股得， ，解得，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，正切，二次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，正切，二次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程是解题的关键． 60．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点C作轴于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，则函数y的取值范围是 ； (3)点P为右侧第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点H，点Q为y轴正半轴上一点，连接,，延长线交x轴于点B，点N在y轴负半轴上，连接，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的性质是解的关键， （1）在中，令，解得：，故可得，进而得到，从而得，代入，得 ，进而得到抛物线解析式； （2）由，可得，故抛物线的顶点，当时，，当时，，故； （3）如图，在上取点K，使，过点K作轴于R，可得，易证，进而可得，设，则，故，，可得直线的解析式为，由，得，故点P的横坐标为，且点P为直线与抛物线的交点，列出方程可得，得直线的解析式为，当时，可得 ，进而得到B、Q、A、N四点共圆，从而得到，设直线的解析式为，代入即可得直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴，代入， 得：， 解得：（舍去）或， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：如图，在上取点K，使，过点K作轴于R， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为，且点P为直线与抛物线的交点， ∴， 解得： （负值舍去）， ∴，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、Q、A、N四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为． 【经典例题十三 二次函数与相似综合】 61．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，． (2)． (3)或． 【分析】（1）当时，解出的值，即可知道、点坐标；当时，解出的值，即可知道点坐标； （2）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设，求出长度，再转化的面积，得到，进而可求出面积最大值； （3）通过计算可得，进而可知只可能存在和两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为． （3）如图，过点作轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和两种情况， 当时，有，即，解得， 当时，有，即，解得， 综上点坐标可以为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题关键． 62．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 63．（2023·山东泰安·二模）抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解； （3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）解：设直线的表达式为 则，解得： ∴直线的表达式为 设点，则点 ∴ 设直线与直线交于点G， ∵ ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：（舍） ∴ （3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等 腰直角三角形， 分三种情况： 若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图， 同理可证 ∴， ∴； 若，如图， 同理可证 ∴， ∴ ∴； 如图，同理可得： ∴ ∴； 若，如图， 过点Q作 同理可证 ∵ 此时不存在符合条件的P，Q 综上：点的坐标为，，，， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 64．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； (2)或 (3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； （2），， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 65．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式； （2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数65道压轴题型专训（13大题型） 【题型目录】题型一 二次函数图象与各系数关系 题型二 二次函数的图象与性质压轴题 题型三 二次函数中的最值 题型四 二次函数中平移问题压轴 题型五 二次函数与方程、不等式压轴 题型六 二次函数的存在性问题 题型七 二次函数含参应用 题型八 二次函数的翻折对称问题 题型九 二次函数中的“倍角”关系问题 题型十 二次函数中特殊角度关系问题 题型十一 铅垂高、水平宽求面积最值 题型十二 二次函数与三角函数综合 题型十三 二次函数与相似综合 【经典例题一 二次函数图象与各系数关系】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级上·全国·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（  ）    A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ．（填写序号） 【经典例题二 二次函数的图象与性质压轴题】 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 7．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线，点在抛物线上． (1)求n与m之间的关系式； (2)若当时，抛物线有最小值，求n与m的值． 8．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)求抛物线经过的定点的坐标； (2)是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求h的取值范围． 10．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上的两个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【经典例题三 二次函数中的最值】 11．（24-25九年级上·河北唐山·期中）规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”． 例如：点，则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为______； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线 (1)①抛物线的对称轴为直线_______；（用含a的代数式表示） ②若时，始终有y随着x的增大而增大，求a的取值范围； (2)若时，抛物线经过点，试比较和的大小，并说明理由； (3)y的最小值随着a的变化而变化，求函数值y的最小值中的最大值． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． (3)若关于x的方程（m，n是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 14．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）数形结合是解决数学问题的常用方法．例如：若x为实数，求式子的最小值．解法一：设．则当的值最小时，式子的最小值，由二次函数的性质知的最小值为9，故式子的最小值为3． 解法二：，该式子的值可以看成是平面直角坐标系中轴上一点与点间的距离，因此当轴时，点A、B间的距离最短且为3，式子的最小值为3． (1)式子的最小值是 ； (2)式子表示平面直角坐标系中轴上一点到点、的距离之和，该式子的最小值为 ； (3)如图，中，，，，点D，E分别在边，上，连接，，若，求的最小值，并直接写出此时的值． 15．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知关于x的函数，其中k为实数． (1)若函数经过点，求k的值； (2)若函数图像经过点，，试说明： (3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围． 【经典例题四 二次函数中平移问题压轴】 16．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 17．（23-24九年级上·新疆巴音郭楞·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线 (1)求的函数解析式； (2)设抛物线的对称轴交直线于点P，求点P的坐标； (3)设直线与抛物线交于A、B两点，求A、B两点的坐标． (4)Q点是直线下方抛物线上一动点，求面积最大是多少？此时点Q坐标是多少？ 18．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 19．（2024·海南·三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题： ①设的面积为，求出关于的关系式； ②当为何值时，与相似？ (3)如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2024·广西南宁·二模）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： (1)k的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿x轴方向向右平移h个单位或向左平移个单位；再沿y轴向上平移k个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，M的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． (2)若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； (3)若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于A，B两点，，当平移路径最短时，求m，n的值． 【经典例题五 二次函数与方程、不等式压轴】 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b为常数）． (1)该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为， ①b的值是 ，点B的坐标是 ； ②当时，借助图象，求自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，） (1)若，函数图象顶点坐标为，求函数图象与轴的交点坐标； (2)若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：； (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 23．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数． (1)若对于任意，有恒成立，求和的值． (2)若，且对于任意，有恒成立，求的取值范围． (3)设关于的方程的根为，关于的方程的根为．是否存在，使得？并说明理由． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（，是实数，）． (1)求证：若该函数图象与轴一定有两个不同的交点； (2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围． (3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 25．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知抛物线． (1)当时，求抛物线与坐标轴的交点坐标． (2)若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像．经过点且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值： (3)当时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值． 【经典例题六 二次函数的存在性问题】 26．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数图象与x轴交于、两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)是否存在一条直线，始终与该二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，求m，n满足的数量关系． 27．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 28．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，抛物线   与轴交于两点，与轴交于点 ．该抛物线的顶点为 ．    (1)求的坐标； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以点 为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)将沿直线翻折，点的对应点为． ①若落在该抛物线的对称轴上，求实数的值； ②是否存在正整数，使得点落在的内部？若存在，求出整数的值；若不存在，请说明理由． 30．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 【经典例题七 二次函数含参应用】 31．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 32．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 33．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 34．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 35．（2023·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【经典例题八 二次函数的翻折对称问题】 36．（2023·辽宁锦州·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接． ①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值． ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标． 37．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图1，抛物线与直线交于A、B两点，过A作轴交抛物线于点C，直线交x轴于点D． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点H是线段上的一个动点，过H作轴交抛物线于E点，连接，当时，求的值； (3)如图2，连接及，设点F是的中点，点P是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的． 38．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为．将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到新的函数的图象． (1)求抛物线的解析式； (2)当函数的图象与直线有两个交点时，则的取值范围是_______； (3)若点在函数的图象上，求出的值； (4)当时，函数的最大值与最小值的差是时，直接写出的取值范围． 39．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． (1)设点在图象上，则点A在图象上的对应点坐标为 ； (2)如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； (3)如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 40．（22-23九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，证明：对于y轴上任意一点，都存在过点D的直线交抛物线于E，F两点，使得； (3)将该抛物线在之间的部分图象记为Ω，将图象Ω在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图像，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的取值范围． 【经典例题九 二次函数中的“倍角”关系问题】 41．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 42．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，过，画直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点在轴正半轴上，且，求的长； (3)点在二次函数图象上，以为圆心的圆与直线相切，切点为．若在轴右侧，且，求点的坐标． 43．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 44．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且，请求出点的坐标． 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 二次函数中特殊角度关系问题】 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）交x轴于A、B两点，交y轴于C，A在B的左边． (1)如图1，直接写出A、B、C的坐标； (2)如图2，直线与抛物线交于点M、N，，求k的值； (3)如图3，P在抛物线上，，求P点坐标． 47．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2023·浙江湖州·模拟预测）如图1，抛物线的顶点为，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴左侧一动点，以和为边作，连结．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若、、三点在同一直线上，记的面积为，求证：． (3)连结，若，如图，将沿边翻折，得到，试探究：在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 49．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）（）已知抛物线 交轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶点为 . 请直接写出抛物线的解析式式及点 的坐标； 如图，点 和点 关于抛物线对称轴对称，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，且，请先直接写出点 的坐标，再选择一种情况说明理由. （）直线 与抛物线 交于 两点，若在 轴上存在唯一的一点 ，使，求 的值. 50．（24-25九年级上·重庆江津·期中）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【经典例题十一 二次函数中特殊角度关系问题】 51．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 52．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 53．（24-25九年级上·天津·期中）如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 54．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 55．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【经典例题十二 二次函数与三角函数综合】 56．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，D是抛物线上一点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标：A______，B______，C______； (2)若点D到直线的距离等于t，当t为何值时，这样的D点有且仅有3个； (3)如图（2），当D在第二象限时，连接，，若，求D点坐标． 57．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标． 58．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，，，    (1)求抛物线的解析式 (2)点为直线上方抛物线上的一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求出与的函数关系式，并直接写出的取值范围 (3)在（2）的条件下，连接交于点，在轴的点左侧取一点使，连接交于点，，求点的横坐标 59．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点C，过B、C两点的抛物线交x轴负半轴于点A，且 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第二象限的抛物线上，连接、，的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点A关于y轴的对称点为点D，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，点E恰好在y轴上，点N在线段上，连接，，求点N的坐标． 60．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点C作轴于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，则函数y的取值范围是 ； (3)点P为右侧第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点H，点Q为y轴正半轴上一点，连接,，延长线交x轴于点B，点N在y轴负半轴上，连接，若，，求直线的解析式． 【经典例题十三 二次函数与相似综合】 61．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 62．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 63．（2023·山东泰安·二模）抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 64．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 65．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$