专题07 二次函数常考几何模型专项训练（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题07 二次函数常考几何模型专项训练（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数中的最值模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的切线模型 题型四 二次函数中的线段关系问题 题型五 二次函数中的角度关系问题 题型六 二次函数中的面积关系问题 题型七 二次函数与一次函数、反比例函数综合 题型八 二次函数与三角函数综合 题型九 二次函数与相似综合 题型十 二次函数与圆综合 【经典例题一 二次函数中的最值模型】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的长， 由（2）知：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)在抛物线对称轴上取一点，使得最小，则点的坐标为_______； (2)连接，当的面积的最大时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，线段最短问题，面积问题； （1）根据轴对称的性质可得点在上，求得抛物线对称轴为直线，进而求出直线的解析式，将代入，即可求解； （2）设，则，表示出的长，进而表示出三角形面积公式，根据二次函数的性质求得的值，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 依题意，， ∴ ∴当点在线段上时，最小， 当时，，则， 当时，， 解得：，则，， 设直线的解析式为 ∵过点， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴， 故答案为：． （2）解：设，则 ∴， ∴的面积为 ∴当时，的面积的最大 则 即． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 3．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值； （1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （2）设点，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； 解题关键是用含的代数式表示出矩形的周长并用函数的思想求最大值． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入，得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴点到对称轴的距离为，点到轴的距离为：， 由抛物线的对称性可得， ∴矩形的周长为：， 即， ∵， ∴当时，矩形周长存在最大值， 此时， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 【答案】(1)①对称轴为；② (2)、，的最大值 (3)①；②或；③点的横坐标为 【分析】（1）①由顶点式直接得出对称轴；②利用抛物线的图象与性质即可得到答案； （2）将抛物线：配方，化为顶点式得到顶点坐标即可得到、，再由二次函数图象与性质即可得到的最大值； （3）①根据对称性得到抛物线：，再由抛物线：，对比列方程求解即可得到答案；②由函数图象平移得到抛物线：，联立方程组求解即可得到抛物线和抛物线的交点坐标；③由函数图象平移得到新抛物线，联立方程组得到，由一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①抛物线：， 的对称轴为； ②当时，抛物线：， 抛物线开口向上，对称轴为， 抛物线上的点到对称轴的距离越近，越小， 点和点到对称轴为的距离分别为和， ， 故答案为：； （2）解：抛物线：（其中为常数）， ， 的顶点坐标为，则、， ， 由可知抛物线开口向下，有最大值为； （3）解：当时，抛物线：， 由①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到， ，即， 抛物线：， 抛物线：， ，解得； ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线：， 联立，解得或； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，则表达式为， 联立，则， ， 点是线段的中点，设、， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、函数图象的平移、函数图象对称、求两个抛物线的交点、解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查了利用函数图象解决问题； （1）由翻折得新函数为，分别代值计算，即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象即可求解； 能利用数形结合进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：图象沿x轴翻折，再得到一个新函数为：， 当时，， 当时，， 故答案：，； （2）解：由图象得 当或时，新函数有最小值； 故答案：或； （3）解：由图象得 或，函数y随x的增大而增大时， 故答案：或； （4）解： 由图象得：当时， 直线与新函数图象有4个公共点， 故答案：． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)①点的坐标为；②的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）①当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：①∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立，解得或， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．（2024·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①或；② 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得抛物线的顶点坐标为，据此可求得解析式；根据当时，即可求解； （3）①由题意可得点在轴上方，令，即可求解；②根据题意画出函数图像，分类讨论点在点下方和上方两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线 故答案为： （2）解：∵当时，函数值的取值范围是， 且， ∴抛物线的顶点坐标为 将代入得：， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，； 解得： （3）解：①当时，； ∵抛物线上一点到轴的距离为6，顶点坐标为 ∴点在轴上方 令，解得： ∴点的坐标为或； ②设图象折叠后，顶点的对称点为， ∴； ∵当时，； ∴ 若点在点下方，则的最高点为，最低点为; ∴，解得：； 若点在点上方，则的最高为，最低点为; ∴，解得：； 综上所述： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及了二次函数的对称轴、二次函数的最值、二次函数与翻折问题，掌握数形结合的数学思想是解题关键． 【经典例题三 二次函数中的切线模型】 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）相交；（2）；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据，于是得到结论； （2）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相离，得到，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， ， 直线与抛物线的位置关系是相交， 故答案为：相交； （2）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相离， ， 解得， 故答案为：； （3）设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与直线交于，两点，其中，．当时，必有；当时，必有． (1)求a与c之间的关系式； (2)若点F的坐标，以BF为半径的与x轴只有一个公共点． ①求此抛物线解析式； ②延长线交抛物线L于点E，的切线FM交抛物线L于M，N两点．求四边形BMEN面积的最小值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）可求，从而可得，即可求解． （2）①可求，可得，可求，可得，从而可求，即可求解；②设直线的解析式为，联立抛物线解析式和直线的解析式得，可求，从而可求，进而可求，可求，同理可求，由，即可求解． 【详解】（1）解：当时，必有， ，， ， 抛物线与直线交于、两点， ， 解得：． （2）解：①， ，， ， ， 以为半径的与x轴只有一个公共点， 与x轴相切， ， ， ， 整理得：， 时，必有， ， 解得：， ； ②设直线的解析式为， 联立抛物线解析式和直线的解析式得 ， 整理得：， ， ， ， ， 同理可求：， 如图， 的切线FM交抛物线L于M，N两点， 是的切线， ， ， ， 当，即时， ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，切线的性质，待定系数法求函数的解析式，根于系数的关系，掌握性质及解法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时， 要学生掌握数形结合的数学思想方法． （1）根据折叠的性质得到所以在直角中，利用勾股定理来求的长度， 然后由点在轴上易求点的坐标； （2）已知抛物线与轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程即，根据抛物线的切线的定义知，直线 与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于的一元二次方程则该方程的根的判别式； （3）设 假设 根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到： 根据根与系数的关系求得 利用两点间的距离公式推知， 易求 为定值． 【详解】（1）解：由折叠的性质得到：则 又 ∴． （2）解：依题意可设过点的抛物线解析式为 即， 依题意知，抛物线与直线相切， 有两个相等的实数根， 解得 ∴抛物线的解析式为． （3）证明： 设 假设 依题意得 得 ， 即 为定值． 3．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线：与双曲线的切点坐标； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)切点坐标为 (2) (3)是定值， 【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义得出的值，解之可得； （2）联立可得切点为，从而得出经过点，，利用待定系数法得出，联立，得：，利用得出，，，即可得解； （3）由与的交点的纵坐标为4，可令，则直线，直线 ，联立，得：，由直线是抛物线的切线，可得，同理可得：，从而得出为的两根，最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：联立，得：， 解得：， 切点坐标为； （2）解：直线与二次函数相切， 联立，得：， 解得：， 切点为， 与都相切于同一点， 经过点，， 解得：， ， 联立，得：， ， 解得：， ，， 的解析式为：； （3）解：是定值，， 理由如下： 与的交点的纵坐标为4， 令， 直线，直线 ， ，， 直线，直线 ， 联立，得：， 直线是抛物线的切线， ， 同理可得：， 为的两根， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题四 二次函数中的线段关系问题】 【例4】（24-25九年级上·广东东莞·期中）【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． （1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴，， 把，代入，得， ， 解得，， ∴此抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把把，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为，则点， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为； （3）∵ ∴ 如图， 当为底边时，点的坐标为； 当为腰时，点的坐标为或； 综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或． 1．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连接，二次函数图象从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式； (3)当线段最短时，二次函数的图象能否过点？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，最短， (3)二次函数的图象不过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移，一元二次方程根的判别式： （1）利用待定系数法求解； （2）先表示出M点坐标，进而用含m的式子表示出平移后抛物线的解析式，再用含m的式子表示出线段的长度，即可求解； （3）将代入二次函数解析式，利用一元二次方程根的判别式求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （2）解：∵顶点M的横坐标为m，且在线段上移动， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴当时，最短， 当最短时，抛物线的解析式为； （3）解：假设二次函数的图象经过点， 则方程有解， 即方程有解， ， ∴方程没有实数根， ∴假设不成立，二次函数的图象不过点． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)线段的最大值为；此时的面积 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数图象交坐标轴于点． ， 解得：， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， 设直线的解析式为，代入，则， ， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， 当时，有最大值，最大值为， ∴． 【经典例题五 二次函数中的角度关系问题】 【例5】（24-25九年级上·重庆开州·期中）如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点直线是下方抛物线上一个动点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右移动两个单位得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点使，若有请直接写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为：或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质， （1）用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）由，即可求解； （3）当点M在的右侧时，证明，即点B、N关于y轴对称，则点N，证明四边形为正方形，得到点，然后求出直线解析式与抛物线解析组成方程组，进而求解即可． 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式， ∴，解得， ∴直线的表达式为：， 过点P作轴交于点H， 设点，则点， ∴， 故的最大值为，此时，则点； （3）解：∵抛物线向右移动两个单位得到新抛物线， ∴平移后的抛物线表达式为， 当点M在的右侧时， 设交x轴于点N， ∵、， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即点B、N关于y轴对称，则点，则， 过点N作轴交于点T，则为等腰直角三角形， 过点T作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点，同理可得为等腰直角三角形， 则四边形为正方形，则，即和新抛物线的交点也符合题意， ∴点， 由点C、N的坐标得，直线的表达式为：，同理可得直线的表达式为：， 联立上述两式和新抛物线的表达式得：或， 解得：（正值已舍）或（正值已舍）， 即点M的坐标为：或． 1．（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于A、B两点，其中，，直线分别交坐标轴于C、D两点，直线l1与l2的交点为E．已知，且． (1)求直线的解析式和点E坐标； (2)如图2，若点P为线段上的一个动点（不与C、E两点重合），点R为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当四边形的面积最小时，求出周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线绕点P顺时针旋转，与直线交于点F，连接，若在直线上存在点M，使得，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）证明，是等腰直角三角形，则可求A、B、C、D的坐标，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再联立方程组并解方程组即可求出点E的坐标； （2）证明，设，则，根据可求出，根据二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，由两点间距离公式求出，作关于x轴的对称点，连接，，则，故当、R、B三点共线时，最小，则最小，即的周长最小，即可求解； （3）过B作交于Q，过Q作于K，过P作于L，证明，可求出，，进而求出，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，可求出，然后分两种情况讨论：当M在E的左侧时，判断和关于直线对称，则M和F关于直线对称，即可求出M的坐标；当M在E的右侧时，即为，可得出，根据等角对等边得出，根据三线合一得出，然后根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴； （2）解：同（1）可证， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴， 作关于x轴的对称点，连接，， ∴， ∴当、R、B三点共线时，最小，则最小，即的周长最小，最小值为． （3）解：过B作交于Q，过Q作于K，过P作于L， 则， ∴， ∵直线绕点P顺时针旋转， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 当M在E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴和关于直线对称， ∴M和F关于直线对称， ∴； 当M在E的右侧时，即为，如图 则， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式为，即可求解； （3）证明，，，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点坐标代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，直线的函数表达式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴； （3）解：当，则，则， ∴ 延长交延长线于点，过点作于点，交延长线于点， 在函数中，令，则， ∴点， ∴轴， 当时，直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立得：， 解得： ， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；求当的面积及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值， (3)或 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【经典例题六 二次函数中的面积关系问题】 【例6】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)3 (3)存在； 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据∴，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线，顶点为点， ∴， ∴顶点坐标； （2）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 1．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和． 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，且， ∴， 过点K作直线交抛物线于， 同理可得：直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴， 如图，设，而， ∴， ， ， 当B为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当P为直角顶点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴此时不存在． ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（20-21九年级上·广东·期末）如图，已知二次函数y＝ax2+c的图象与x轴分别相交于点A（﹣5，0），点B，与y轴相交于C（0，﹣5），点Q是抛物线在x轴下方的一动点（不与C点重合）． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图1，AQ交线段BC于D，令t＝，当t值最大时，求Q点的坐标． （3）如图2，直线AQ，BQ分别与y轴相交于M，N两点，设Q点横坐标为m，S1＝S△QMN，S2＝2m2，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为y＝x2﹣5；（2）Q（，﹣）；（3）＝，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，m2﹣5），利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可． （3）是定值．如图2中，设Q（m，m2﹣5），求出直线AQ，BQ的解析式，求出点M，N的坐标，利用三角形的面积公式求出S1即可解决问题． 【详解】解：（1）把A（﹣5，0），C（0，﹣5）两点坐标代入y＝ax2+c， 得到， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5． （2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，m2﹣5）， 由（1）可知，A（﹣5，0），B（5，0），C（0，﹣5）， 直线BC的解析式为y＝kx+b，直线AQ的解析式为y＝ ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，直线AQ的解析式为y＝x+m﹣5， 由， 解得， ∴D（，）， ∴E（m2，m2﹣5）， ∵QE∥AB， ∴△QED∽△ABD， ∴t＝＝＝＝﹣m2+m， ∵﹣＜0， ∴当m＝﹣＝时，t的值最大，此时Q（，﹣）． （3）是定值． 理由：如图2中，设Q（m，m2﹣5）， 由（2）可知，直线AQ的解析式为y＝x+m﹣5， 当x＝0时，y＝m﹣5， ∴M（0，m﹣5）， ∵直线BQ的解析式为y＝x﹣m﹣5， 当x＝0时，y＝﹣m﹣5， ∴N（0，﹣m﹣5）， ∴S1＝S△MNQ＝×m×（2m）＝m2， ∴＝＝，为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，一次函数的性质等等，利用数形结合思想解题，准确计算是解题的关键． 3．（20-21九年级上·江苏淮安·期末）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C． （1）填空：a＝　 　，c＝　 　，点C的坐标为　 　； （2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B′O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A′的坐标； （3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1＋S2＝S3，求m的值． 【答案】（1）-1，2，；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，，的解析式为，求出的解析式联立方程求解即可； （3）连接BP交y轴于点M，过点P作轴，交AC于N，则，求出BP和AC的解析式，根据S1＋S2＝S3计算即可； 【详解】（1）将，代入y＝ax2＋x＋c得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，即， 解得：，， ∵点C在正半轴， ∴点C的坐标为，点B的坐标为； 故答案是：-1，2，； （2）如图所示， 由（1）知，，， ∴， 设，，的解析式为， 则，整理得， ∴，，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∴， 解得：，， 当时，， ∴； （3）连接BP交y轴于点M，过点P作轴，交AC于N，则， ∴， ， 设直线BP为，将，代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线AC为， 将，代入得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 解得：或； 故m的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数的图象与性质计算是解题的关键． 【经典例题七 二次函数与一次函数、反比例函数综合】 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． (1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（   ）     ②（   ） ③（   ） (2)一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)√；×；√ (2)或 (3) 【分析】（1）根据有上界函数的定义结合一次函数和二次函数的性质判断即可得解； （2）分两种情况：当，随增大而增大；当，随增大而减小；分别得出方程，求解即可； （3）分两种情况：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界；当时，时，函数有上确界，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：①中，当时，有最大值，故为有上界函数，√； ②，当时，有最小值，故不为有上界函数，×； ③，当时，有最大值，故为有上界函数，√； （2）解：一次函数是有上界函数，上确界为， 分两种情况：当，随增大而增大， 当时，函数有最大值， ∴； 当，随增大而减小， 当时，函数有最大值， ∴； 综上可知：或； （3）解：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界， 故， ， ， 解得：， 当时，时，函数有上确界， 故， 解得：（舍），（舍）， 综上可知，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、有上界函数的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）设二次函数，是常数的图像与轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成(h是常数)的形式，求的最大值． (3)设一次函数(是常数)，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式，二次函数与轴的交点问题； （1）根据题意可得抛物线解析式为，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意得出，根据二次函数的性质得出，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，，，则，根据函数的图像经过点时，得出或，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别为，， 抛物线解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线； （2）， ，， ， 当时，＋有最大值； （3）   ，， ， 当时，或， 函数的图象经过点， 时，，即或， 或． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）定义：已知一次函数和一次函数若函数，则称函数是一次函数、的累积函数．已知函数是一次函数与一次函数的累积函数． (1)若函数的图象恰好经过，求函数的解析式； (2)若函数的图象顶点为，当点的纵坐标最小时，求此时顶点的坐标； (3)若一次函数，的图象与函数的图象的公共点有且只有三个时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数交点问题； （1）根据新定义列出函数关系式，将代入，即可求解； （2）根据顶点坐标公式求得坐标，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，直线，的交点在函数上，先求得两直线交点坐标，代入二次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，函数解析式为， ∵函数的图象恰好经过， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为，顶点纵坐标为：， ∴当时，取得最小值，最小值为，则横坐标为， ∴当点的纵坐标最小时，此时顶点的坐标为； （3）解：依题意，直线，的交点在函数上， 联立， 解得：， 代入，得， ， 解得：． 3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，直线与反比例函数（为常数，）的图象相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求出点的坐标； (3)是直线所在第二象限部分上一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接把点A代入，可求出的值，然后再求出反比例函数的解析式即可； （2）联合一次函数和反比例函数，即可求出点B的坐标； （3）根据题意得，求出直线与x轴的交点为，，得到，则有，再结合，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意， 把点代入， ∴， ∴． 由点A的坐标为得． ∴． ∴反比例函数关系式为； （2）解：根据题意， ， 解得：，， ∴点B的坐标为； （3）解：∵中，令，则， ∴， ∵点是直线在第二象限部分上点， ∴， ∵， ∴， 令， 当时，，即， 解得：或， ∴函数与直线交于点，如图所示， 根据函数图象可得，当时，， 时，则有， 时，． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，二次函数与不等式，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质进行解题． 【经典例题八 二次函数与三角函数综合】 【例8】（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，交y轴于C点，， (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A点横坐标是m，的面积是S，求S关于m的函数解析式； (3)已知的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1过点B作轴于点H，由，可得，可求得；设反比例函数的解析式为：，将代入即可求解； （2）由题意得，可求出直线的解析式为：得出，根据即可求解； （3）由题意得，设过A和B点的抛物线的解析式为：，可推出 ；设抛物线与x轴的交点分别为，若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则，即；结合根与系数的关系可得，判断此一元二次方程有无实数根即可求解； 【详解】（1）解：过点B作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为： ∴， ∴反比例函数的解析式为： （2）解：∵点A横坐标是m，且点在反比例函数的图象上， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴ （3）解：由解得：， ∴， ∴， 解得：， ∵，即：， ∴， ∴， 设过A和B点的抛物线的解析式为：， 则， 解得：， 设抛物线与x轴的交点分别为， 若过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度等于3，则， ∴，即， 由得：， ∴， 整理得：， ∵， ∴过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度不能等于3 【点睛】本题考查了函数综合问题，涉及了反比例函数、一次函数、二次函数的解析式求解，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数基础． 1．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 2．（2023·广西南宁·三模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点. (1)求此抛物线的解析式及其顶点M的坐标； (2)点在轴的负半轴上，过点D作轴，交抛物线于点E，F（点E在点F左边）.若，求的值； (3)在（2）的条件下，过点D的动直线与抛物线交于G，H两点，且点G在第一象限，点H在第三象限.在直线的运动过程中，若点D恰好是线段的中点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】 本题考查二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，即函数与方程的关系，熟练掌握以上性质是解题关键， （1）根据待定系数法直接求解即可; （2）先联立解析式求出x的值，即表示出点E、F的坐标，再根据题意即可求解; （3）由（2）可得联立解析式求出两根之和，即可求出点G的坐标，即可解答 点评 【详解】（1）抛物线与轴交于点和点， ， 解得：， 此抛物线的解析式， ， ， ， 顶点M的坐标为； （2）点在轴的负半轴上，过点D作轴， 直线的解析式为, 点E，F在抛物线上， ， 解得：，或， 点E在点F左边， ，， ， ， ， ， 解得：； （3）由（2）得， 设直线l的解析式为， 把代入得：， 则直线l为， 点D的动直线与抛物线交于G、H， ， 解得：， ， 点D是线段的中点， ，， ， ， 把代入得， 解得：， 点G在第一象限，点H在第三象限， 把代入得 ， 点G的坐标为 在直线上 直线到x轴的距离的距离为， 则点G到的距离为， 过G作，交于点N， 即， 3．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）求出点，得到，则，则，求出，求出a、b的值，即可得到答案； （3）分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解；当时，抛物线经过点、，把、代入得， 解得 ∴， ∵ ∴顶点 （2）∵抛物线经过点、，点为抛物线顶点． ∴， 把代入得到， 把代入中 得到 即， ， ， ∴，   （3）由题意可知， 仅有和两种情况， 由（2）可知，， 设直线的解析式为，把代入得到，， ∴， ∴， 当时，，解得， ①时，，      ，， （负舍） ②， ，， （负舍） 综上所述，或 【经典例题九 二次函数与相似综合】 【例9】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；然后令，求得x的值，即可确定点B的坐标； （2）如图：取的中点，可确定；如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点．然后运用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，然后将直线的表达式与抛物线联立即可解得； （3）先说明，即点与点不是对应点．然后分和两种情况分别运用相似三角形的性质及正切函数即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得, 抛物线的解析式为． 令，得， 解得，， ． （2）解：如图：取的中点，则， ． 如图：过点作的平行线，与抛物线的交点即为点． 设直线的表达式为， 将代入，得． 将代入，得，解得：， 直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将代入，得． 直线的表达式为． 由，得． （3）解：，以点为顶点的三角形与相似， 以点为顶点的三角形也是直角三角形． 轴，直线交直线于点， ，即点与点不是对应点． ①如图：当时，点与点重合， 则点的坐标即点的坐标， 点的坐标为． ②如图：当时， ，，． 设点的横坐标为，则， ， ． 解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上，点的坐标是或． 2．（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①当时，线段的长最大值为，②证明见详解 (3)或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图3.2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3.3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点Q的坐标是或或． 【分析】（1）分别令和，求解即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴，设，则，，，再分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 令，得，解得或，即，； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 设，则，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴和相似只需或， ①当时，， 解得或， ∴或； ②当时，， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标是或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象和性质，、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【经典例题十 二次函数与圆综合】 【例10】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围．    【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质、二次函数的图象和性质等知识，连接，取中点M，连接、、，求出，，，根据直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理得到，则Q在以M为圆心，1为半径的圆上，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，取中点M，连接、、，    当时，，解得， ∴ 点A坐标， ∴， ∵点C坐标为， ∴， 在中，， ∴ ∵中点为M， ∴ ∵Q为中点，M为中点 ∴ ∴Q在以M为圆心，1为半径的圆上， ∴ ∴ ∴ 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)线段的垂直平分线 (3)6 【分析】（1）先求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再利用两点坐标距离公式和圆的定义判断三个点是否在上，进而根据题中定义作出判断； （2）根据题中定义和圆的定义，结合线段垂直平分线的性质，进而可得到结论； （3）连接，的周长为，当点C、P、共线时取等号，进而可求解． 【详解】（1）解：是二次函数的坐标圆，理由为： 当时，，当时，解方程得，， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； （2）解：∵已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P满足， ∴该二次函数的坐标圆的圆心P在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线； （3）解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、线段垂直平分线的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）令求得点的横坐标即可解答； （）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点作轴，垂足为，可得；由题意可得，从而求解； 本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：令，则，解得，， ∴，； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设， ∵， ∴， 如图，连接，则，过点作轴，垂足为， ∴， ∴由勾股定理得：， 即以切线长为边长的正方形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在一堂数学探索课上，一名同学以坐标原点O为圆心作一组同心圆，同心圆的半径依次为1，2，3，…，n（n为正整数），又作一组平行于x轴的直线（n为正整数），如图1所示，点A与点B为直线与半径为5的圆的交点． (1)直接写出点A的坐标为_________； (2)如图1，若经过部分直线与圆交点的曲线为二次函数图象，直接写出该二次函数的解析式_________； (3)如图2，这名同学把这组平行线和其中一些圆都涂掉，保留半径为5的圆，记为，此圆与x轴交于E，F两点．把（2）得到的抛物线沿y轴向上平移m个单位，使之过点，连接与相交于点D． ①直接写出m的值为_________； ②求的度数； ③直接写出的面积为_________． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③5 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）参考（1）的方法求出另一个交点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （3）①设平移后得到的抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； ②先利用一次函数的性质求出点的坐标，再连接，利用两点之间的距离公式求出的长，证出是等腰直角三角形，由此即可得； ③过点作于点，先根据直角三角形的性质可得，再利用两点之间距离公式求出的长，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，点的纵坐标为，横坐标为， 则点的坐标为， 故答案为：． （2）解：由题意，设这个二次函数的解析式为，它经过点和直线与半径为4的圆的交点，即， 将点和代入得：， 解得， 则这个二次函数的解析式为． （3）解：①设平移后得到的抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 故答案为：； ②由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 由对称性可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， 则点的坐标为， 如图，连接， 则， ， ， 所以，， 所以是等腰直角三角形，， 所以； ③如图，过点作于点， 所以， 因为， 所以， 所以的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理、二次函数的性质、两点之间距离公式、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)①，；②；③ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线解析式可求出点B的坐标，则可求得直线的解析式为；设点，则点，从而得的解析式； ②由①可得；由，得关于m的方程，即可求得点P的坐标； ③由建立方程，可求点P的坐标． 【详解】（1）解：由于抛物线过点与点， 把这两点代入抛物线解析式中，得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：①令，解得：， ∴； 设直线的表达式为， 把点、的坐标代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则，； 故答案为：，； ②由①知，； 若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象的顶点为点，二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上． (1)求点与点的坐标； (2)当四边形为菱形时，求函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质； （1）将二次函数化为顶点式求得点的坐标，根据题意得出点和点关于直线对称，即可得出的坐标； （2）根据菱形的性质可得点和点关于直线对称，求得点的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点． ∵二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上． ∴二次函数的对称轴为：直线， ∴点和点关于直线对称， ∴点． （2）因为四边形是菱形，所以点和点关于直线对称， 因此，点． 因为二次函数的图象经过点，， 所以 解得， ∴ 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，二次函数图象与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图象上是否存在一点不与点重合，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或或． 【分析】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设的纵坐标为，根据，可得，进而代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象与轴交于点两点，设， 把代入得， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解∶∵点两点，与轴交于点． ∴，， ∴ 设的纵坐标为， ∵， ∴， 解得或， 中，当时，， 解得或 ∴点的坐标为或， 中，当时，， 解得解得（舍去）或 ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点是直线上方抛物线上一点，连接、． (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，代入，求出与轴交于A，B两点坐标，令求出点C坐标，然后运用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）过点作轴的平行线交于点，令，， 先求，根据三角形面积公式求，求出m，然后根据点是直线上方抛物线上一点，得出结论． 【详解】（1）当， 解得：，， ，， 当，， ， 设直线的解析式：， 将，代入得： ，，   ； （2）过点作轴的平行线交于点， ，， ，， ， ， ， 令，， ， ， ， ， 即 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得（不在直线上方抛物线上，舍去）， 当时，， 当时，， ，． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数的图象经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧，与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式 ②在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，二次函数与值交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将两点代入求出函数解析式即可； （2）①将代入，配成顶点式，得到含的最小值，再根据题中条件建立方程即可求出的值，即可得到函数解析式； ②分两种情况讨论，点在点的左右两侧，再利用和都是以为底的三角形，求出的长度，从而得到解析式，联立求解即可． 【详解】（1）解：图象经过，两点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：①由（1）可得函数解析式为， ， 当时，函数最小值为， 该二次函数的最小值是， ， 解得， ， ， 故二次函数解析式为：； ②令，则， 解得， ， 当点在点右侧时，如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， 和都是以为底的三角形， ， ， 过点作交轴于点，过点作，则， ， ， ， ， ， 点坐标， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得，， 故点的坐标为或； 当点在点右侧时，过点作交轴于点， 同理可得点坐标， 直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得，， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 9．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知二次函数过点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)点为抛物线与轴的另一个交点，在抛物线上是否存在点P，使的面积为6，若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与面积综合是解题的关键． （1）将点代入得，，计算求解的值，进而可求二次函数的解析式； （2）当时，，可求，即，，设，则，计算求解然后作答即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， 设， ∴， 整理得，， 当时，解得，或； ∴或； 当时，解得，或； ∴或 综上所述，存在，点P的坐标为或或或． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程，平移变换等知识， （1）根据图象直接写出的取值范围即可； （2）设抛物线，再写出抛物线向右平移个单位长度后的解析式，再由函数图象恰好经过原点，列关于m的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意得，进而可得，设抛物线，将代入得出a的值，进而可得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由图象可得，当时，； （2）解：∵抛物线经过点和点， ∴可设抛物线， 将抛物线向右平移个单位长度后得，， ∵平移后的函数图象恰好经过原点， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， 设抛物线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 11．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 12．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1) (2)点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为 【分析】（1）将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）由题意知，二次函数的对称轴为直线，则，如图，设，则，，由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的关系式为； （2）当时，， 解得，或，则， 由题意知，二次函数的对称轴为直线， ∴，如图， 设直线的函数表达式为 将、点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则，， 由题意知，， ∴， ∵， ∴当时，即点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为． 13．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设，根据勾股定理得出，，进而解方程即可求解； （3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由，令，解得：， ∴， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， 点为该抛物线对称轴上的一个动点， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， 设点，使得是以为斜边的直角三角形， 设点为的中点，则， 如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点， ∴， 即， 解得：或． ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键． 14．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知二次函数的图象过点． (1)求b、c的值； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限的抛物线上有一点Q，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）把点、代入中，解方程即可得到结论； （2）在中，当时，，得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，于是得到结论； （3）设，的面积为S，连接，，，根据图形的面积即可得到结论． 【详解】（1）解：把点、代入中， ， 解得， ∴，； （2）解：在中， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴当的面积取得最大值时，四边形的面积最大， 设，的面积为S， 连接，，，    则 ， 又∵， ∴， 当时，， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题意，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）【背景】如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点 （1）求二次函数表达式； 【特例】 （2）当点P的横坐标为4时，线段有什么数量关系？请说明理由； 【思考】 （3）当点P为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】（1）（2），理由见解析（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分别求出两点坐标，进而求出的长，即可得出结论； （3）设P，分别求出两点坐标，进而求出的长，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴， ∵二次函数的图象经过点和， ∴设，把，代入，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）点P的横坐标为4时，， ∴点， 设直线的解析式为：， 则：，解得： ∴直线的表达式为：，当时，， 则点； 同理可得，点， 则，， 故； （3）成立，理由如下： 设点P， 同（2）可得：直线的表达式为：， 则点， 同理可得，点， 则，， 故 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数常考几何模型专项训练（10大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数中的最值模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的切线模型 题型四 二次函数中的线段关系问题 题型五 二次函数中的角度关系问题 题型六 二次函数中的面积关系问题 题型七 二次函数与一次函数、反比例函数综合 题型八 二次函数与三角函数综合 题型九 二次函数与相似综合 题型十 二次函数与圆综合 【经典例题一 二次函数中的最值模型】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)在抛物线对称轴上取一点，使得最小，则点的坐标为_______； (2)连接，当的面积的最大时，求出点的坐标． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． (1)当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； (2)当 时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； (4)直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 3．（2024·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值的取值范围是，求和的值； (3)当时，解决下列问题： ①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，请求出的取值范围． 【经典例题三 二次函数中的切线模型】 【例3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与直线交于，两点，其中，．当时，必有；当时，必有． (1)求a与c之间的关系式； (2)若点F的坐标，以BF为半径的与x轴只有一个公共点． ①求此抛物线解析式； ②延长线交抛物线L于点E，的切线FM交抛物线L于M，N两点．求四边形BMEN面积的最小值． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 3．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线：与双曲线的切点坐标； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由． 【经典例题四 二次函数中的线段关系问题】 【例4】（24-25九年级上·广东东莞·期中）【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 1．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线与x轴相交于点B，连接，二次函数图象从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动． (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短，并求出二次函数的表达式； (3)当线段最短时，二次函数的图象能否过点？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，二次函数图象交坐标轴于点，，点P为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积． 【经典例题五 二次函数中的角度关系问题】 【例5】（24-25九年级上·重庆开州·期中）如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点直线是下方抛物线上一个动点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右移动两个单位得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点使，若有请直接写出的坐标． 1．（24-25九年级上·重庆万州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交坐标轴于A、B两点，其中，，直线分别交坐标轴于C、D两点，直线l1与l2的交点为E．已知，且． (1)求直线的解析式和点E坐标； (2)如图2，若点P为线段上的一个动点（不与C、E两点重合），点R为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当四边形的面积最小时，求出周长的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将直线绕点P顺时针旋转，与直线交于点F，连接，若在直线上存在点M，使得，请直接写出满足条件的点M的坐标． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 3．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；求当的面积及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【经典例题六 二次函数中的面积关系问题】 【例6】（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 1．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 2．（20-21九年级上·广东·期末）如图，已知二次函数y＝ax2+c的图象与x轴分别相交于点A（﹣5，0），点B，与y轴相交于C（0，﹣5），点Q是抛物线在x轴下方的一动点（不与C点重合）． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图1，AQ交线段BC于D，令t＝，当t值最大时，求Q点的坐标． （3）如图2，直线AQ，BQ分别与y轴相交于M，N两点，设Q点横坐标为m，S1＝S△QMN，S2＝2m2，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（20-21九年级上·江苏淮安·期末）如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C． （1）填空：a＝　 　，c＝　 　，点C的坐标为　 　； （2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B′O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A′的坐标； （3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，△PBC的面积记为S3，若满足S1＋S2＝S3，求m的值． 【经典例题七 二次函数与一次函数、反比例函数综合】 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2． (1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×” ①（   ）     ②（   ） ③（   ） (2)一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值． (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 1．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）设二次函数，是常数的图像与轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成(h是常数)的形式，求的最大值． (3)设一次函数(是常数)，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）定义：已知一次函数和一次函数若函数，则称函数是一次函数、的累积函数．已知函数是一次函数与一次函数的累积函数． (1)若函数的图象恰好经过，求函数的解析式； (2)若函数的图象顶点为，当点的纵坐标最小时，求此时顶点的坐标； (3)若一次函数，的图象与函数的图象的公共点有且只有三个时，求此时的值． 3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，直线与反比例函数（为常数，）的图象相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)求出点的坐标； (3)是直线所在第二象限部分上一点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当时，请直接写出的取值范围． 【经典例题八 二次函数与三角函数综合】 【例8】（23-24九年级下·上海·自主招生）如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交于A和B点，交y轴于C点，， (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点A点横坐标是m，的面积是S，求S关于m的函数解析式； (3)已知的面积是，判断过A和B点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，请说明理由． 1．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广西南宁·三模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点. (1)求此抛物线的解析式及其顶点M的坐标； (2)点在轴的负半轴上，过点D作轴，交抛物线于点E，F（点E在点F左边）.若，求的值； (3)在（2）的条件下，过点D的动直线与抛物线交于G，H两点，且点G在第一象限，点H在第三象限.在直线的运动过程中，若点D恰好是线段的中点，求的值. 3．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【经典例题九 二次函数与相似综合】 【例9】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标． 2．（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【经典例题十 二次函数与圆综合】 【例10】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围．    1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． (1)已知点，以P为圆心，为半径作圆，请判断是不是二次函数的坐标圆，并说明理由； (2)已知二次函数图象的顶点为A，交y轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为 P在__________上； (3)求 周长最小值． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 3．（2024·辽宁·模拟预测）在一堂数学探索课上，一名同学以坐标原点O为圆心作一组同心圆，同心圆的半径依次为1，2，3，…，n（n为正整数），又作一组平行于x轴的直线（n为正整数），如图1所示，点A与点B为直线与半径为5的圆的交点． (1)直接写出点A的坐标为_________； (2)如图1，若经过部分直线与圆交点的曲线为二次函数图象，直接写出该二次函数的解析式_________； (3)如图2，这名同学把这组平行线和其中一些圆都涂掉，保留半径为5的圆，记为，此圆与x轴交于E，F两点．把（2）得到的抛物线沿y轴向上平移m个单位，使之过点，连接与相交于点D． ①直接写出m的值为_________； ②求的度数； ③直接写出的面积为_________． 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知二次函数的图象的顶点为点，二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上． (1)求点与点的坐标； (2)当四边形为菱形时，求函数的表达式． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，二次函数图象与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)该二次函数图象上是否存在一点不与点重合，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、．点是直线上方抛物线上一点，连接、． (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数的图象经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧，与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式 ②在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 9．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知二次函数过点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)点为抛物线与轴的另一个交点，在抛物线上是否存在点P，使的面积为6，若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)利用图象回答：当时，请直接写出的取值范围． (2)将该抛物线向右平移个单位长度，该函数图象恰好经过原点，请直接写出的值． (3)将线段绕着点顺时针旋转后，点的对应点恰好是抛物线与轴的交点，求该抛物线的解析式． 11．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 12．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 13．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 14．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知二次函数的图象过点． (1)求b、c的值； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限的抛物线上有一点Q，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）【背景】如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点 （1）求二次函数表达式； 【特例】 （2）当点P的横坐标为4时，线段有什么数量关系？请说明理由； 【思考】 （3）当点P为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$