专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训（13大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训（13大题型） 题型一 二次函数中全等三角形的存在性问题 题型二 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型四 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 题型九 二次函数中角度问题的存在性问题 题型十 二次函数中线段问题的存在性问题 题型十一 二次函数中面积问题的存在性问题 题型十二 二次函数中最值的存在性问题 题型十三 二次函数中新定义的存在性问题 【经典例题一 二次函数中全等三角形的存在性问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 二次函数中相似三角形的存在性问题】 【例2】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 2．（21-22九年级上·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． (1)求直线AB的表达式； (2)求tan∠ABD的值； (3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 3．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例3】（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则________；_________； (3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标； (4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C． (1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论． (2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题． 2．（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例4】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·陕西榆林·一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．    (1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 二次函数中平行四边形的存在性问题】 【例5】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线过B，C两点，其顶点为M，对称轴与直线交于点N． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点P是线段上一动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点Q．是否存在点P，使四边形为平行四边形？并说明理由． 2．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 二次函数中矩形的存在性问题】 【例6】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）抛物线的顶点为（点在第四象限），与轴交于点，是对称轴上一点，为直角三角形； (1)求出的值及顶点的坐标； (2)求点的坐标； (3)若是平面直角坐标系内一点，则是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 二次函数中菱形的存在性问题】 【例7】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点． (1)求出抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 二次函数中正方形的存在性问题】 【例8】（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（22-23九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和抛物线． (1)当抛物线对称轴为直线时，求其解析式． (2)设（1）中的抛物线与直线交于A、B两点，问该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)已知点．若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 二次函数中角度问题的存在性问题】 【例9】（2023·安徽合肥·一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点，且，求点的坐标． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．    (1)求和的值； (2)抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，． ①试判断的形状； ②证明：是直角三角形； (3)在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 二次函数中线段问题的存在性问题】 【例10】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点．     (1)求的长． (2)在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是第三象限内直线下方的抛物线上的点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，若点恰为线段的三等分点，求出点的坐标． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，直线经过两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求点C的坐标及直线l的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点P，过P点作轴，交于D点，请求出线段的最大值． (4)在直线上方的抛物线上存在一动点P，直接写出P到直线距离的最大值． 3．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ； (2)求该抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； (4)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【经典例题十一 二次函数中面积问题的存在性问题】 【例11】（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线交x轴于A，B两点，顶点为C． (1)求的面积． (2)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的x的取值范围． (3)在线段下方的抛物线上存在点M，求面积的最大值，并求出点M的坐标． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【经典例题十二 二次函数中最值的存在性问题】 【例12】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 1．（24-25九年级上·广西河池·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题十三 二次函数中新定义的存在性问题】 【例13】（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． (1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； (2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·辽宁阜新·三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训（13大题型） 题型一 二次函数中全等三角形的存在性问题 题型二 二次函数中相似三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型四 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 题型九 二次函数中角度问题的存在性问题 题型十 二次函数中线段问题的存在性问题 题型十一 二次函数中面积问题的存在性问题 题型十二 二次函数中最值的存在性问题 题型十三 二次函数中新定义的存在性问题 【经典例题一 二次函数中全等三角形的存在性问题】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）存在， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与△APH全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 3．（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质． （1）先将抛物线化为顶点式，再根据抛物线与关于轴对称得抛物线的顶点坐标，最后由开口方向即可得出； （2）先由抛物线：求出点的坐标，再根据题意，分两种情况：当时及当时，设点的坐标为，分别求出的值即可，具体见详解． 【详解】（1）解：抛物线: ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线与关于轴对称 ∴抛物线的顶点为，且抛物线开口向下， ∴抛物线的函数表达式为; （2）∵抛物线：与y轴交于点， ，即 ， ∵点是轴正半轴上一点， 由题意可知，与有一条公共边，设点的坐标为， 分两种情况： 当时，， 轴，即点与点的纵坐标一样， 令，解得， 当时，此时点与点重合，点与点重合，， ∴平分，即点到轴，轴的距离相等 ，解得， 综上，存在点，使得以点为顶点的三角形与全等，点的坐标为或． 【经典例题二 二次函数中相似三角形的存在性问题】 【例2】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 2．（21-22九年级上·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． (1)求直线AB的表达式； (2)求tan∠ABD的值； (3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线经过点A（2，0），可得抛物线解析式为，再求出点B的坐标，即可求解； （2）先求出点D的坐标为 ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD为直角三角形，即可求解； （3）先求出直线BD的解析式，可得到点P的坐标为 ，然后分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0）， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为， 当 时， ， ∴点B的坐标为 ， 设直线AB的解析式为 ， 把A（2，0），，代入得： ，解得： ， ∴直线AB的解析式为； （2）如图，连接BD，AD， ∵， ∴点D的坐标为 ， ∵A（2，0），， ∴ ， ∴ ， ∴△ABD为直角三角形， ∴； （3）设直线BD的解析式为 ， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线BD的解析式为 ， 当 时， ， ∴点P的坐标为 ， 当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB， 如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1， ∵△ABP∽△ABC， ∴∠ABD=∠BCQ， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴CQ=9， ∴OC=OQ+CQ=10， ∴点C的坐标为 ； 当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 【经典例题三 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例3】（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则________；_________； (3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标； (4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)存在，，，， 【分析】（1）把点两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可； （2）利用待定系数法可得和的值； （3）由(2)知直线的解析式为，再确定抛物线的对称轴方程，设直线与直线相交于点，根据轴对称的最短路径可知此时的值最小，从而得到此时点的坐标； （4）存在，分情况讨论：以为腰和底边，分别画图，进而即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过， 解得 抛物线的解析式为 （2）解： 把代入中得： 解得： 故答案为：1,6 （3）解：如图1，由(2)知：直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 直线与直线相交于点，则，此时最小， 此时点的坐标为 （4）解： , 分三种情况： ①，如图2，此时点的坐标为或 ②当，此时与重合时，也是等腰三角形，此时; ③当，此时垂直平分，如图3，此时点的坐标为 综上所述，点的坐标为，，， 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式、三点共线求最短路线的长度以及等腰三角形的性质，要求学生熟练掌握． 1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C． (1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论． (2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下 (2)存在，2 (3)无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点 【分析】（1）当m=1时，y=-（x-1）2+1，根据的性质写出三个结论即可； （2）求得C（0，1-m2），根据点B在原点的右边，点C在原点的下方，可得m＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m=m2-1，解方程求解即可； （3）根据的性质，可知无论m为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点． 【详解】（1）解：当m=1时，y=-（x-1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 令，-（x-1）2+1=0， 解得， 抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2，0）， 抛物线开口向下； （2）存在，理由如下： 令x=0，则y=1-m2， ∴C（0，1-m2）， 令y=0，则x=1+m或x=m-1， ∴B（1+m，0）， ∵点B在原点的右边，点C在原点的下方， ∴1+m＞0，1-m2＜0， ∴m＞1， ∵△BOC为等腰三角形， ∴1+m=m2-1， 解得m=2或m=-1（舍）， ∴m=2； （3）无论m为何值，函数始终有最大值1； 无论m为何值，函数始终与x轴有两个不同的交点． 【点睛】本题考查了的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握的性质是解题的关键． 2．（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对称轴为直线，在抛物线上，建立方程组求解，即可解题； （2）设，根据题意得，根据结合勾股定理建立等式求解并检验，即可解题； （3）设点P，则，根据矩形周长公式得到四边形周长表达式，再结合二次函数的最值，即可解题． 【详解】（1）解：对称轴为直线，在抛物线上， ， 解得； （2）解：∵抛物线 ∴顶点 设，若存在以为底边的等腰， 则， ∴， ∴ 解得：， 此时设直线的解析式为， 代入与，得， 解得：， ∴直线的解析式为 ∴此时点恰好在直线上，故不存在； （3）解：设点P，则， 由题意可知四边形为矩形， 四边形的周长， ， ， ∵， 当时，四边形周长最大 此时． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的性质，以及在二次函数图象的条件下探究几何图形的能力，解题的关键在于要灵活运用二次函数知识解决与其相关的综合问题． 3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点D的坐标为； (2)存在，点P的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，证明，设，求得，根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，二次函数的最大值为4， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，， ∴顶点D的坐标为； （2）解：存在 过点P作轴的平行线，分别过点B和作的垂线，垂足分别为，如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，， 令， ∴， 解得或， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵点Q恰好在直线上， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 【经典例题四 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例4】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当时，求的面积； (3)当时，求点的坐标； (4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)的值是或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积； （3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可； （4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵点是抛物线上的动点，， ∴， ∴， 设的解析式为：，与轴交于点， 把和代入得：， ∴， ∴的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∴的面积； （3）解：如图1，当点位于直线下方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求得的解析式为：， ∴， 解得：（舍），， ∴； 当点位于直线上方时，作轴于，于， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即． 综上，或． （4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ∵， ∴抛物线对称轴是直线， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 2．（2023·陕西榆林·一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．    (1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)存在，的坐标为或 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法即可求解，令即可求得点的坐标； （2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，分两种情况：①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，证明，得，，设，则，代入可得的值，从而求得的坐标；②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，同理可得的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为， 令得：， 解得，， ； （2）解：存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： 记抛物线的对称轴与轴的交点为，则， ①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：    ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 将代入得：， 解得（舍去）或； ； ②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：    ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ． 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 3．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，：或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）设直线的解析式为，将点A和点B的坐标代入可求得直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，然后列出关于t的函数关系式，最后利用配方法求得的最大值即可； （3）分两种情况讨论：若点为直角顶点，若点F为直角顶点，即可求解． 【详解】（1）解：∵A，C的坐标分别为，， ∴． ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 将点A和点B的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， ∴当时，线段取得最大值9，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使是以为直角边的直角三角形． 如图，过点作直线交抛物线于点． ①若点为直角顶点， 设点的坐标为，由（2）可知，则有，解得， ∴此时点P的坐标为或； ②若点为直角顶点， 设点的坐标为，由（2）可知，则有， 解得：（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，符合条件的点的坐标有：或或，使得是以为直角边的直角三角形． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出的长关于t的函数关系式是解题的关键． 【经典例题五 二次函数中平行四边形的存在性问题】 【例5】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点E的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则，， 将，代入抛物线解析式可得： ， 解得， 即； （2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，∴当时，有最小值，最小值为3； 此时点E的坐标为； （3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即， 当为边时，点到点的水平距离是4， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是5或， 代入抛物线解析式可得，，， 即点的坐标为或， 当为对角线时，点到点的水平距离是3， ∴点到点的水平距离也是4， ∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去）， 则，即点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线过B，C两点，其顶点为M，对称轴与直线交于点N． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点P是线段上一动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点Q．是否存在点P，使四边形为平行四边形？并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式、平行四边形的判定，两点间的距离等知识点， （1）根据直线的解析式可求得，，代入抛物线即可求得答案； （2）设，则，根据，，可得，即，时为四边形为平行四边形； 运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】（1）∵直线分别交x轴，y轴于点B，C， ∴，， ∵抛物线过B，C两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点P，使四边形为平行四边形．理由如下： 设， ∵轴， ∴轴，即轴， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线的顶点为，对称轴为直线， ∴， ∴，轴， ∴， 要使四边形为平行四边形，必须， 由， 解得：或， 当时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去； 当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 2．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式以及点C的坐标； (2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值； (3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标． （2）由待定系数法可求出直线的解析式，的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值． （3）存在．由题意可得，设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、E的纵坐标，由求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得到， 解得：， ． 将C点的横坐标代入，得， ； （2）设直线的函数解析式是 ， ， 解得：， 直线的函数解析式是． 设P点的横坐标为，则P、E的坐标分别为：，， 点在E点的上方，， 当时，的最大值，此时； （3）存在．理由：如图， ∵抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，直线的函数解析式是，抛物线的解析式是． ， ， 点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，轴， ， 由（2）知， ，解得或0（舍去）， 点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． 3．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【经典例题六 二次函数中矩形的存在性问题】 【例6】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)； (4)存在，． 【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可； （2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案； （4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴轴． ∵， ∴． 将代入中， 得， 解得，， ∴，． ∴； （3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则， ∴． 由题意知． 如图，过点C作，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ∴； （4）解：存在，． 理由如下：由（3）可知，，． 设直线的解析式为，将代入得， ∴． 设，， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴，，． ∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 则四边形为矩形，满足题意， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或； (3)存在，或或或 【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，再把点、代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点D坐标为，则点，进而得到，，，再分、、三种情况分别求解即可； （3）设，再求得，然后分以为对角线和边两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∵， ∴，，， ①当时，， ∴，解得（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③当时，， ∴，解得：， ∴点N的坐标为． 综上，存在，点N的坐标为或或． （3）解：设， ∵， ∴， ①以为对角线时，， ∴，解得：，或， ∴或， ∵， ∴，或 ∴，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴点F的坐标为或， 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）抛物线的顶点为（点在第四象限），与轴交于点，是对称轴上一点，为直角三角形； (1)求出的值及顶点的坐标； (2)求点的坐标； (3)若是平面直角坐标系内一点，则是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数解析式，正切函数的定义，矩形的判定和性质． （1）利用待定系数法可求得的值，进而求得顶点的坐标； （2）分和两种情况讨论，当时，求得，得到，据此求解即可； （3）在（2）的基础上，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴，顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴其对称轴为直线， 当时，如图， ∴点的坐标为； 当时，如图， ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图，当点的坐标为时，点的坐标为； 当点的坐标为时， 根据平移的性质知：将点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【经典例题七 二次函数中菱形的存在性问题】 【例7】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 ∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点， ∴设 ∴，， ∴当时 ∴ ∴ ∴， ∴当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； ∴时 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴当时， ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点． (1)求出抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质； （1）将代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作，则，得出直线的解析式为，联立抛物线即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为： （2）解：由，当时， ∴， ∴， ∵，则 ∴是等腰三角形 如图所示，过点作于点，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为 ∵四边形四边形是菱形， ∴，则点在直线上， 联立 解得：或 ∴点的坐标为或 2．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为； (4)存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为 【分析】（1）将、代入即可求解； （2）解一元二次方程即可； （3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）设点，交轴于点，若四边形为菱形，则，可推出，据此即可求解； 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴ （2）解：令，解得， ∴点A的坐标 （3）解：设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为：， 过点作轴，如图所示：      设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （4）解：设点，交轴于点，如图所示：    若四边形为菱形，则， ∴ 即：， 解得：（舍） ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． 【经典例题八 二次函数中正方形的存在性问题】 【例8】（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 1．（22-23九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和抛物线． (1)当抛物线对称轴为直线时，求其解析式． (2)设（1）中的抛物线与直线交于A、B两点，问该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)已知点．若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)或 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，据此即可求解； （2）求出A、B两点的坐标，若A、B、P与平面上一点Q构成正方形，则A、B、P三点可构成等腰直角三角形；分类讨论若，若，若，即可求解； （3）将点分别代入，求出临界状态下的的值；结合函数图像即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线： ∴ 故抛物线的解析式为： （2）解：联立得：， 即： 解得： ∴A、B两点的坐标分别为 若A、B、P与平面上一点Q构成正方形，则A、B、P三点可构成等腰直角三角形，如图所示： 设点， 若， ∵ ∴ 若，此时不满足题意； 若， 则 ∴ 综上所述，或 （3）解：将点代入得： 此方程无解； 将点代入得： 解得： 时：抛物线与线段有公共点；    时：抛物线与线段无公共点；    时：抛物线与线段有公共点；    综上所述：或时，抛物线与线段有公共点 【点睛】本体考查了二次函数的综合大题，涉及了特殊四边形的存在问题、二次函数与线段的公共点问题．掌握数形结合的数学思想是解题关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点D的坐标为 (2)存在，满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再转化为顶点式即可求解； （2）由点M、N关于拋物线对称轴对称，可得点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设，则，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线中， 得， 解得， ∴拋物线的解析式为， ， ∴点D的坐标为； （2）解：在坐标平面内存在点Q，使得比边形为正方形，理由如下． 如解图，设对解线交于点， ∵点M、N关于拋物线对称轴对称，且四边形为正方形， ∴点P为拋物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，且与点P关于对称， 由（1）得抛物线的对称轴为直线， 设，则， ∵点M在抛物线的图象上， ， 解得或， 或， 满足条件的点Q有两个，其坐标分别是或．            【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，确定出P、Q的位置是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，二次函数对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出c的值，然后将二次函数的解析式化成顶点式的即可确定二次函数对称轴； （2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可解答． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ∴，解得：； ∴二次函数的解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线． （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴； ①当是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， ∴线段和线段互相垂直平分， ∴点E在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点E的坐标为； ②当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为，    ∵， ， ∴， ∴， ∵B的坐标为, ∴， ∴点的坐标为； 故点E的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握正方形存在性问题需要分类求解是解答本题的关键． 【经典例题九 二次函数中角度问题的存在性问题】 【例9】（2023·安徽合肥·一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，得：，解得，即可求出抛物线解析式为； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式为，证明，得出，，即可解得； （3）设，且，由(2)知，分两种情况讨论即可①若，，解得或0(舍去)； ②若， ，解得或0(舍去)，即可解得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设，且， 在中， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线BC的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值是； （3）存在点D，使得中有一个角与相等． ∵，，， ∴， ， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 设， 且， 则， ∴， 由(2)知， ∴， ①若， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或0(舍去)， ∴点D的坐标为； ②若， 则， ∵， ∴， ∴， 解得或0(舍去)， ∴点D的坐标为； 综上，存在，点D的坐标为或 【点睛】此题考查了二次函数的知识，解题的关键是熟悉求二次函数的解析式和极值问题． 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点，且，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，根据解析式得出，进而代入得出，过点作，交的延长线于点，则，过点，作轴的平行线分别交直线于，两点，则可证得，得出，由，可求得直线，联立抛物线解析式得出的坐标，即可求解． 【详解】解：由， 当时，， 当时，，解得： ∴， 当时，， ， ， ， 过点作，交的延长线于点，则，过点，作轴的平行线分别交直线于，两点， ∵， ∴， ， 设直线的解析式为，代入， 得 解得： ∴直线， 当时， 解得或（舍去）， ． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．    (1)求和的值； (2)抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，． ①试判断的形状； ②证明：是直角三角形； (3)在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②证明见解析； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）首先求得点坐标，代入直线求得的值，进而求得点坐标，将点的坐标代入即可求得的值； （2）①先求出、的坐标结合抛物线的对称性，说明为等腰三角形； ②结合得到，进一步说明，则即可判定的形状； （3）作于，轴于，作的垂直平分线交于，于，然后说明为等腰直角三角形，进而确定的坐标；再求出的解析式，进而确定的解析式，然后联立直线和的解析式即可求得的坐标，在直线上作点关于点的对称点，利用中点坐标公式即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点， 当时，可得， ∴点的坐标为， 把点代入，得， ∴， 当时，可得， ∴点的坐标为， ， 解得：； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由（1）可得抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，， 点，点． 抛物线的对称轴为， 为等腰三角形． 点的坐标为，点的坐标为， ，即， ，， 为等腰直角三角形； ②证明：由①可知为等腰直角三角形，， ， ∴是直角三角形； （3）解：存在， 如图，作于点，轴于点，作的垂直平分线交于点，交于点，   ， ， ． 为等腰直角三角形， ， 点． 设的函数解析式为：， 点，， ∴ 解得：， 的函数解析式为：， 设的函数解析式为， 点为的中点， 点的坐标为， ， 解得：， 的函数解析式为：， 联立直线，，得， 解得：， 点的坐标为， 在直线上作点关于点的对称点， 设点，则有， 解得：， ， 点的坐标为， 综上所述，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数图象，三角形外角等知识，掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可； 根据抛物线的解析式求得点，点，则，过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，则四边形是矩形， 有，，结合题意得，即可证明，则，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则， ， ，进一步求得，，，求得和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，， ∴点，点， ∴， 如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：，   ∴直线的解析式为：， 设，则，则， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得，(不合题意，舍去) ， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质和一次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和矩形的性质． 【经典例题十 二次函数中线段问题的存在性问题】 【例10】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点．     (1)求的长． (2)在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是第三象限内直线下方的抛物线上的点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，若点恰为线段的三等分点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题、坐标与图形、解一元二次方程等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）联立方程组求得点B、C坐标，然后利用两点坐标距离公式求解即可； （2）设，利用两点坐标距离公式列方程求得y值，进而可求解； （3）由题意，设，则，，，分当时和当时两种情况，利用坐标与图形结合已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组，解得，， ∴，， ∴； （2）解：存在． 由题意，设， 由得， 解得， ∴满足条件的点的坐标为或； （3）解：由题意，设，则，，， ∴，， ∵点恰为线段的三等分点， ∴当时，由得， 解得，（舍去）， 则， ∴； 当时，由得， 解得，（舍去）， 则， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，直线经过两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求点C的坐标及直线l的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点P，过P点作轴，交于D点，请求出线段的最大值． (4)在直线上方的抛物线上存在一动点P，直接写出P到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解； （2）根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式； （3）设，，求出，再利用二次函数的最值求解； （4）由（2）可知为等腰直角三角形，结合题意可知，过点作，则为等腰直角三角形，可知，由勾股定理可得 ，当点到直线距离的最大时，即取得最大值，亦即取得最大值，结合（3）即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 解得：， ∴； （2）在中，令，则， ∴， 将，代入中，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）设，其中， 则， ∴， ∴当时，线段的最大值为． （4）由（2）可知，，则为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，即轴， ∴， 过点作，则为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可知，， ∴， 当点到直线距离的最大时，即取得最大值，亦即取得最大值， 由（3）可知，的最大值为， ∴点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形得判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确求出函数解析式，表示出的长． 3．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B． (1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ； (2)求该抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由； (4)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3)存在，最大值为8 (4)或 【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标； （2）将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式， （3）由二次函数解析式令，求得点坐标；过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标； （4）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，得，解得，， ∴， 故答案为：；； （2）解：把、两点坐标代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， （3）解：令，得， 解得，，或， ∴； 过点作轴于X，与交于点，如图，    设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为8； （4）解：∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，    ∴，， ∴，， 当在抛物线上时，有， 解得，， 当点在抛物线上时，有， 解得，或2， ∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置． 【经典例题十一 二次函数中面积问题的存在性问题】 【例11】（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线交x轴于A，B两点，顶点为C． (1)求的面积． (2)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数图象与性质是解答本题的关键： （1）根据抛物线的性质得到所以是底边为4，高为4的等腰三角形，利用三角形的面积公式可以求出三角形的面积； （2）根据的面积是的面积的一半，得到点P的纵坐标为，然后代入抛物线可以求出点P的横坐标，确定点P的坐标． 【详解】（1）解：设，则 设则 ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴点P的纵坐标为， 当时，代入抛物线有：，得：； 当时，代入抛物线有：，得：． 所以点P的坐标为：． 1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，（1）将点，代入，可直接求出二次函数的解析式． （2）先求出点坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）将点，代入， 可得，解得， ． （2）由（1）可知， 当时，解得， ，， 的面积等于， ，即， ，， 当时，，即， 其中，方程无解，不符合题意， 当时，，即， 解得， 点的坐标为． 存在点，使得的面积等于，点的坐标为． 2．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足的x的取值范围． (3)在线段下方的抛物线上存在点M，求面积的最大值，并求出点M的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)面积的最大值为，此时点M的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． （1）先利用待定系数法先求出m，即可求得二次函数的解析式；再求出点C的坐标为可得到点B的坐标，进而求出一次函数的解析式； （2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围； （3）过点M作轴，交直线于点N，设点M的坐标为，则点N的坐标为，可得，然后根据二次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，当或时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴的x取值范围为或； （3）解：如图，过点M作轴，交直线于点N， 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点M的坐标为． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 【经典例题十二 二次函数中最值的存在性问题】 【例12】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则，把点代入解析式求得c，即可求得函数解析式； （2）由题意得，由勾股定理即可求得； （3）过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D；由（2）知，则，此时点P的横坐标为1，从而求得点P的纵坐标，得点P的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则； 把点代入中，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴； 由勾股定理得； （3）解：存在点P，使得的值最小； 如图，过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D； 则； 由（2）知， ∴， 当点P在上时，取得最小值，此时点P的横坐标为1， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，得到是求解的关键． 1．（24-25九年级上·广西河池·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，对称轴公式求出对称轴即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，进行求解即可； （3）根据，得到点的纵坐标为，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴， ∴对称轴为直线：； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， 连接， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，点与点关于对称轴对称， ∴， 当时，，此方程无解， ∴． 2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，，，，； (3)存在点M使最小， 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； （2）解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； （3）解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 【经典例题十三 二次函数中新定义的存在性问题】 【例13】（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． （1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）联立，依题意得出，得出，当时，的最小值，根据题意，即可求解； 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立， 解得：， 二次函数图象上只有一个“纵三倍点” ，故③正确； 综上，正确的是①③； 故答案为：①③ （2）解：联立， 即， 依题意得：， ， ， 当时，的最小值为， 当时，的最小值恰好等于， 当时，即，当时，有最小值， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时存在常数，使得当时，的最小值恰好等于， 当，即时，的最小值等于， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 综上所述，的值为或； 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． (1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； (2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)有上确界，上确界为0 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． （1）根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解； （2）根据上确界的定义，结合一次函数的性质即可求解； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标， 有上确界，上确界为0； （2）解：∵， ∴随值的增大而增大， ∵以10为上确界的有上界函数， ∴， ∴； （3）解：的对称轴为直线，开口向下， 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ∵为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ∴， ∴， ∴无解． 综上所述：的值为或． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，点C的坐标为或；（3）存在，或． 【分析】本题考查了新定义，二次函数和一次函数的交点问题、列方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法列式计算面积，解方程即可； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交于M， ∴， 设点C的坐标为， ∴， ∴． 解得， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 3．（2024·辽宁阜新·三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】(1)①② (2)的值为或或或； (3) 【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可； （2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可； （3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$