专题05 二次函数的图象与系数的关系选填压轴题专项训练（45道）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②；③若图象上有两点，，当时，；④（m为实数），正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25九年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25九年级上·广西贺州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 15．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） ，，，．    A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ①；②；③；④当时，随着的增大而增大；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期中）二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 22．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．关于x的方程的两根是 C．当时，y随x的增大而减小 D． 23．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 25．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）函数与的图象如图所示，有以下结论：；；当时，；当时，．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 26．（24-25九年级上·四川德阳·期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 28．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论数是 （填序号） 29．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论： ①，②，③，④；正确的是 （写编号）． 30．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ． 31．（24-25九年级上·天津津南·期中）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有 ．（写序号） 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 33．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有 ． 34．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 35．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 36．（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴一种交点在和之间，其某些图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上点，则，对的个数有 个． 37．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，其中点坐标为，顶点的横坐标为1，轴，垂足为，下列结论：①当时，随增大而减小；②；③；④当时，．其中结论正确的有 (填序号)．    38．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C、D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的是 （填序号）． 39．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数的图象如图示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的是 ；（填写序号）    40．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是 ． 41．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线过，，三点．若，则下列判断①，②，③，④，其中正确的是 （填序号即可） 42．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，与轴正半轴的交点坐标为，给出四个结论：①；②；③对于任意实数，有；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 43．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有 ． 44．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是 ．（填序号即可） 45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．    46．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 47．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有 48．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 49．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 50．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据二次函数的图象与性质， 即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数点的特征，以及根与系数的关系，即可判断③④． 【详解】解：二次函数的图像开口向下， ， 二次函数的图像过轴正半轴， ， ， ， ， 故①正确； 当时，， 即， ， 故②正确； 二次函数的图像过点和， ，， 两边同除以有，， ， 整理得， 故③正确； 由题知时，，， ， ， ， 由③同理可得， ， 故④错误． 综上所述，正确的序号是①②③， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口向上，则，故正确； ②由图象可知：抛物线与轴无交点，即 ，故错误； ③由图象可知：抛物线过点， 即当时，， 当时，， ，即， ，故正确； ④∵是抛物线向上移动2个单位得到， ∴与x轴没有交点，即关于x的方程没有实数根，故错误； ⑤点在直线上， 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， 的解集为，故正确； 故正确的是①③⑤，正确个数为3个， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象上有一点，对称轴是直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象开口，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数图象中，数形结合分析各项系数的符号是解题的关键． 根据二次函数图象过点，对称轴直线为可得，，可判定结论②；根据二次函数图象的开口，与的交点可判定结论①；根据二次函数图象的顶点坐标可得判定结论③；根据二次函数图象的增减性可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象 上有一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，则， ∴， ∴，故②正确； 根据图示可得，图形开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵根据图象可知，当二次函数对称轴直线为，二次函数有最大值，且在轴上方， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵根据二次函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C ． 5．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子的符号，熟知二次函数图象与对应的项的符号关系以及对称轴公式是解题的关键．由图象可判断，，，得出，故①错误；根据对称轴位置可得出，即得出，故②正确；由图可知当时，，即，故③正确；由图可知当时，，结合，即得出，故④正确． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上，且与y轴的交点位于x轴下方，对称轴在y轴右侧， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线对称轴在直线左侧， ∴． ∵， ∴，故②正确； 由图可知当时，， ∴，故③正确； 由图可知当时，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上可知，有个3结论正确． 故选C． 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④，特殊点结合对称轴判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； 由图象，当时，，故③错误； 当时，函数有最大值，当时，， ∴， ∴，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同， ∴， ∵， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，分别利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点以及对称轴，函数最值，进而得出答案． 【详解】解：①∵二次函数图象的对称轴为，且抛物线的开口向下， ∴当时，y的最大值为，故①正确，不符合题意； ②∵与轴交于点，，对称轴为， ∴，当时，，故②正确，不符合题意； ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， 即，故③错误，符合题意； ④∵关于对称点为， ∴当时，，故④正确，不符合题意； ∴错误的是③，只有1个； 故选：A． 8．（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法：①；②；③若图象上有两点，，当时，；④（m为实数），正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是能根据图象得出各系数之间的相等关系；本题应先判断出a、b和c的符号，再根据对称轴和图象上的关键点得出和当时y的值最小等信息，即可求解． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵， ∴点，可能都位于对称轴的左侧， ∴当点，都位于对称轴的左侧，且点在点的右侧时，，故③错误； 由图象可知，当时y的值最小， ∴（m为实数），即（m为实数）成立，故④正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 10．（24-25九年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质等知识． ①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③由时对应的函数值，可得出，当时，，即，得到，选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得， 故②正确； ③当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴对于任意的实数m,， 即，所以④正确． 综上可知，②③④正确， 故选：C． 11．（24-25九年级上·广西贺州·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． （1）根据二次函数图象的开口方向，与轴的负半轴的交点和对称轴来求解； （2）根据图象过点得，再结合对称轴得来求解； （3）利用当时，来求解； （4）利用A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4进行判定求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，． 对称轴为直线， ， ，故（1）项符合题意； 图象过点， ． 对称轴为直线， ， 即， ，故（2）符合题意； 图象过点，对称轴为直线， 当时，， ， 即，故（3）不符合题意； 点，点、点在该函数图象上， A、B、C到对称轴的距离分别为0,1，4 ，故（4）符合题意. 综上所述，符合题意的有：（1）（2）（4）共3个. 故选：C． 12．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识点，根据抛物线的开口方向、对称轴、增减性综合进行判断即可，熟练掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决此题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴，①符合题意； ∵抛物线过， ∴当时，，②不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，③符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，但时，y随x的增大而减小，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③， 故选：C． 13．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 =，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 14．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 15．（24-25九年级上·重庆合川·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（　　） ，，，．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∴，故正确； 由图象可知，该抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故正确； 当时，， ∴，故错误； ∵抛物线的开口方向向上， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 16．（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ①；②；③；④当时，随着的增大而增大；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴得出b的符号，即可判断①；根据，得出，即可判断②；根据当时，，即可判断③；根据对称在直线的左侧，结合函数图象即可判断④；根据图象得出时，，得出，根据当时，， 得出， 将代入求出结果即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间， ∵， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③错误； ∵对称在直线的左侧， ∴抛物线在直线与对称轴之间的部分，随着的增大而减小， ∴当时，不一定随着的增大而增大，故④错误； 当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，①②正确，共2个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 17．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点，下列说法：①；②；③与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．根据对称轴为，得出，由此判断①，将点代入，结合得出由此判断②，再由开口方向，和增减性来比较的大小，由此判断③，根据图象与轴的交点和对称性判断④，将化成顶点式，得出当时，函数有最大值，再由，，和得出当时，函数有最大值，由此判断⑤即可． 【详解】对称轴为直线，抛物线开口向下， ，， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 与关于对称轴对称， ， ，故③正确； 与关于对称轴对称， 当时，， ，故④错误； ， ， 当时，函数有最大值， 直线过点， ， 由②可知，， ， ， 当时，函数有最大值，故⑤正确． 正确的有①②③⑤共4个． 故选：C． 18．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， 整理得， 故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，， 故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 19．（24-25九年级上·北京大兴·期中）如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象确定，，的符号，由，且确定对称轴，再逐个推理判断即可． 【详解】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故选：B． 20．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期中）二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①④，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由时取最大值可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，④正确， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，， ，②错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，③正确． 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：C． 21．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 22．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（   ） A． B．关于x的方程的两根是 C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知， ∴，A选项正确，不符合题意； 根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和， ∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意． 故选：C． 23．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）对称轴为直线的抛物线 （、、b、c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大． 其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数（、、b、c为常数，且）系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①错误； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，当时，， ∴当时，，故③错误； ∵当时，，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时， 当时，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 观察图象得：当时，y随x的增大而减小，故⑥错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤；共3个； 故选：A 24．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 25．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）函数与的图象如图所示，有以下结论：；；当时，；当时，．其中正确的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与系数的关系，根据所给函数图象，利用数形结合的思想即可解决问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵抛物线与轴没有公共点， ∴， 即，故错误； ∵点在抛物线上， ∴，即，故正确； 根据函数图象可知，当或时，二次函数的图象在正比例函数图象的上方， 即，故错误； 当时， 即有时，函数有最大值，时，函数有最小值， 显然此时的函数值比小，故错误， 综上可知：正确的为，有个， 故选：． 二、填空题 26．（24-25九年级上·四川德阳·期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系；将、两点代入可得、的关系；函数开口向下，时取得最小值，则，可判断③；根据图象，顶点坐标，判断④；由图象知，从而可以判断⑤．本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 【详解】解：二次函数与轴交于点、． 二次函数的对称轴为直线，即． ． ．故①正确， 二次函数与轴交于点、． ，． 又． ，． ，． ．故②错误， 抛物线开口向上，对称轴是直线． 时，二次函数有最小值． 时，． 即．故③正确， ，，是等腰直角三角形． ． 解得，． 设点坐标为． 则． 解得． 点在轴下方． 点为． 二次函数的顶点为，过点． 设二次函数解析式为． ． 解得．故④正确， 由图象可得，． 故是等腰三角形时，的值有2个．故⑤错误， 故正确，错误． 故答案为：． 27．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 28．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论数是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质是解题的关键； 【详解】解：①由图象知和轴有两个交点， ， （正确）． ②由图象知；图象与轴交点在轴的上方，且二次函数图象对称轴为， ，，， 即 ③图象过点，对称轴为， 故时，则， 故当时，， ， 故； 故③④正确； 故答案为：①③④ 29．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论： ①，②，③，④；正确的是 （写编号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴为直线，即可判断②；由图可知，当时，，即可判断③；由图可知，当时，，结合，则，即可判断④． 【详解】解：∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线， ∴，故②不正确； 由图可知，当时，，故③正确，符合题意； 由图可知，当时，， ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 综上：正确的有③④． 故答案为：③④． 30．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，二次函数的图象经过点和，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与轴交于负半轴， ， ， ，故①错误； 观察图象得：，， ， ，故②正确； 观察图象得：当时时，， ，故③正确； 图象经过点和，， ，， ，即， ， ，故④正确； 正确的有②③④． 故答案为：②③④． 31．（24-25九年级上·天津津南·期中）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③，其中；④．其中正确结论的有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了抛物线的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察，，时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：，， ∵ ∴， ∴，故①正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ 则 即 ∴所以②正确； ③当时，y的值最大．此时， 而当时，，其中， 所以 故， 即，故③错误． ④由对称知，当时的函数值与时的函数值相等，即，故④正确； 故答案为：①②④． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 33．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即， 又∵， ∴， 故①、③错误； 根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴即，故②正确； ∵对称轴为，得， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∵抛物线与x轴的交点可以看出， 当时，， ∴， 即， 故⑤正确． 故答案为：②④⑤． 34．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 35．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，抛物线（，，为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴， 故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即， 故④错误； ∵时，， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 36．（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）如图，抛物线对称轴为直线，与x轴一种交点在和之间，其某些图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上点，则，对的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系，以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由时可判断③，由时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故①正确； ②∵与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故②正确； ③∵由②知，时，且， 即，故③正确； ④由函数图象知当时，函数取得最大值， ∴， 即（t为实数），故④错误； ⑤∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∵点，，是该抛物线上点，且， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有①②③，共3个， 故答案为：3． 37．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，其中点坐标为，顶点的横坐标为1，轴，垂足为，下列结论：①当时，随增大而减小；②；③；④当时，．其中结论正确的有 (填序号)．    【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，由点横坐标可得抛物线对称轴为直线，由点可得，根据二次函数图象的性质和函数与方程的关系逐个判断可以得解． 【详解】解：点横坐标为， 抛物线对称轴为直线， 图象开口向下， 时，随增大而减小， 故①正确，符合题意． 对称轴为直线， ． ， ， 故②错误，不符合题意． 点坐标为，对称轴为直线， 点坐标为， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意． ， ． ， ． ， ， 故④正确，符合题意． 故答案为：①③④． 38．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C、D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对③进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对④进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴， 所以③错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以④正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得， 所以⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 39．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数的图象如图示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的是 ；（填写序号）    【答案】②③④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解： ①由图象可知，， ∴，故①错误， 由图象可知： ，故②正确， ∴， 故⑤错误； ③当时，，故，故③正确； 由图象可知：，， ∴， ∴，故④正确； 当时，此时，，不是最大值， 而当时，， 所以不一定成立， 故不一定成立，即不一定成立，故⑥错误． 故②③④正确． 故答案为：②③④． 40．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法： ①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得到，，，可判断①结论；由函数图象可知，当时，，可判断②结论；根据当时，有最大值，可判断③结论；根据和点关于对称轴直线对称，可判断④结论． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 由函数图象可知，当时，， ， ， ，②结论正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值； 当时，， ， ， ， ， ，③结论错误； 和点满足， 和点关于对称轴直线对称， ， ，， ， ，， ，④结论正确， 故答案为：①②④ 41．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线过，，三点．若，则下列判断①，②，③，④，其中正确的是 （填序号即可） 【答案】③ 【分析】此题考查了二次函数的图像和系数关系，先求出，则，再逐项进行判断即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ， 抛物线经过点， ， 解得：，即， ， ， ，， 故①②错误，③正确， 把代入得到：， ， ， ，故④错误， 故答案为：③． 42．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）二次函数（，，为常数，且）的图象如图所示，与轴正半轴的交点坐标为，给出四个结论：①；②；③对于任意实数，有；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 对于①，先根据二次函数图象判断的正负，进而得出答案； 对于②，令求出值，判断即可； 对于③，先求出当时，求出最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出，的关系，再将，代入关系式，即可判断. 【详解】解：①∵对称轴位于轴的左侧， ， ∴即， ∵图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为， ∴和时函数值相等，即， ∴，故②正确； ③当时， ， 当时， ∴有，故③错误； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴. ∵时， ， ∴， ， ， 故④错误； 正确的结论有：①②， 故答案为：①②． 43．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）二次函数的部分图象如图，图象过点，与y轴的交点在，之间（包含端点），对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤；⑥（m为任意实数）．其中正确的结论有 ． 【答案】①③⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的对称轴可判断①；根据时的函数值可判断②；根据函数图象经过得到，结合，可判断③；确；根据函数图象的开口方向和对称轴可判断④⑥；根据图象过点得到， 再根据y轴的交点在，之间（包含端点）得到，进而可判断⑤；进而可解答． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴， ∴，故②错误； ③∵图象过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故④错误； ⑤∵图象过点， ∴， ∴， ∴， ∵y轴的交点在，之间（包含端点）， ∴，即， ∴，故⑤正确； ⑥∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴（m为任意实数）， ∴（m为任意实数），故⑥正确； 故答案为：①③⑤⑥． 44．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是 ．（填序号即可） 【答案】②④ 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由题中所给的二次函数图象，判断出符号即可确定①，由抛物线对称轴可确定②，由增减性可确定③，令，代入函数解析式即可确定④，从而确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知异号，则；由抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由该抛物线的对称轴是直线知，则，故②正确； 由抛物线的对称轴为，则当时，随的增大而减小，故③错误； 由图象可知当时得，且，则，故④正确； 故答案为：②④． 45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②（m为任意实数）；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论有 ．    【答案】①③④ 【分析】利用二次函数图象结合点，，得对称轴为直线，则，然后抛物线交轴的正半轴，得，即可判断①；结合开口向上，在时，有最大值，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，即可判断②③；因为，，则，结合二次函数的图象性质，即可作答．本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点进行计算． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于点，， 对称轴为直线， ， ， 抛物线交轴的正半轴， ， ，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴把代入， 得， 此时函数有最大值，且为， 把代入， ∴， 则（m为任意实数）； ∴（m为任意实数）， 故②是错误的； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 把分别代入， 得 则， 即 ，故③正确； ∵， 又∵抛物线与轴交于点，， ∴，， ， 将代入得， ∴ ， ∴对于任意实数m，一定都大于0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故④是正确的， 故答案为：①③④． 46．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ． ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④是关于x的方程的一个根； ⑤若，，均在二次函数的图象上，则； ⑥若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是． 【答案】④⑥ 【分析】此题考查掌握二次函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可得：抛物线开口向上，即， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即， ∴，故①错误； 由函数图象可得：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，故③错误； 由图象可得抛物线与x轴的一个交点为，又对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，则是方程的一个根，故④正确； ∵，，， 且 ∴，故⑤错误； 抛物线交轴于，，则， 则 ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴，即：， ∴，故⑥正确； 综上，正确的是④⑥， 故答案为：④⑥． 47．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有 【答案】①②④ 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边， 可得：，，故①正确； 根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边， 可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，，故②正确； 当时，函数具有最大值为， ，即，故③错误； 根据，可得，由②得，故④正确； ∵， ∴， 令， 则：在二次函数上， ， 关于对称轴直线对称， 根据中点公式可得， ，故⑤错误； 故答案为：①②④． 48．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（为任意实数）； ③； ④若是抛物线上不同的两个点，则． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线的对称轴是直线， ． 又抛物线交轴正半轴， 当时，． ，故①正确． 由题意，当时，取最大值为， 对于抛物线上任意的点对应的函数值都． 对于任意实数，当时，． ，故②正确． 由图象可得，当时，， 又， ，故③正确． 由题意抛物线为， ，故④错误． 综上，正确的有①②③共2个． 故答案为：①②③． 49．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②由，，可判断的正负，即可判断；③将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④将，代入，求解后即可判断． 【详解】解：①抛物线（，，是常数，）经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故③正确； ④，， ， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①③④． 50．（2024·四川广安·模拟预测）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关结论是解题关键．①由图可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得抛物线与y轴交点必然位于负半轴，结合开口方向和对称轴可得，即可判断；②根据当时，，即可判断；③当时，;当时，;根据，即可判断；④点和点关于对称轴直线对称，可得，即可判断； 【详解】解：由图可知：抛物线与轴的一个交点在和之间 ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 ∴抛物线与y轴交点必然位于负半轴 ∴ ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ ∴，故①正确； 由分析可知：当时， ∵ ∴ ∴ 即：，故②正确； 当时，; 当时，; ∴ 即： ∵ ∴，故③错误； ∵点和点，满足， ∴点和点关于对称轴直线对称 ∴ ∵ ∴ 即：，故④正确； 故答案为：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $$