专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 铅垂高、水平宽求面积最值问题 题型九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 题型十 二次函数中角度计算问题（45°等） 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 【答案】(1) (2)100平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，求二次函数值，解题的关键是求出函数解析． （1）根据长方形面积公式求出二次函数解析式； （2）把代入求出函数值即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为x米，则宽为米，则： ． （2）解：把代入得： （平方米）． 答：向日葵基地的面积为100平方米． 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 2．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)若，则四边形的面积是________． (2)当，的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵， ∴ ； 故答案为：12 （2）解：设，四边形面积为S，则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时，， ∴当时，四边形的面积最大． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)12 (3)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用． （1）根据，，列出代数式即可； （2）根据“围成的菜地面积为192平方米”列方程，解方程即可得到结论； （3）设围成的菜地面积为y平方米，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵矩形菜地， ∴，， 设菜地的宽为x米，则米； 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴， 答：当x为12米时，围成的菜地面积为192平方米； （3）解：设围成的菜地面积为y平方米， 根据题意得，， ∵墙的最大可用长度为20米， ∴， 解得， ∴当时，有最大值； 答：当x为10米时，围成的菜地面积最大． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． （3）由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时， ；当时， 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． （2）解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． （3）解：当时，如下图，设与交点为． ． ， ， ． 由题意可知是等腰直角三角形， ， ， ， ． 当时，如下图，设与交点为． 等腰直角三角形，， ． 在等腰直角三角形和中 ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 6．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的性质，解一元二次方程等知识点， （1）根据路程＝速度×时间，列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列函数关系式即可； （3）根据多边形面积，可以求出的面积，代入（2）的函数关系中求解t即可． 正确列出线段的代数式是本题解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 故答案为：；； （2）解：， ∵P到B所用时间为：，Q到C所用时间为：， ∴， ∴S与t的函数关系式为：； （3）解：∵多边形的面积为， ∴的面积为：， 令，得 解得：，（舍去）， ∴． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1)； (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知顶点P的坐标为，则设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）根据隧道隧道是双向车道，把代入解析式中求出的值与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， 这辆货车不能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 7．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 【答案】(1)，，． (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意可得点，，设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解； （2）根据题意可得水面下降米，到处时，点的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解； （3）根据题意可得当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， 当拱顶高水面米时，水面宽米． 点，， 把点代入得：， 解得：， 该抛物线的函数解析式为； 故答案为：，，． （2）解：水面下降米，到处， 点的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度增加米； （3）解：当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度减少米． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． (1)求代数式的最大值； (2)某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 【答案】(1)33 (2)商场每天最多盈利4900元 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握配方法得到抛物线的最值是解题的关键． （1）利用配方法得到二次三项式的最值即可； （2）先根据利润单利润销售量列函数关系式，然后配方找最值即可解题． 【详解】（1）解：， 即代数式的最大值为33； （2）解：设降低x元时，盈利w最大， 由题意得： 故商场每天最多盈利4900元． 11．（24-25九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答． (1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)共有10个队参加比赛 (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设每件涨价x元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为w；根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】（1）解：设共有x个队参加比赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：共有10个队参加比赛； （2）解：解：设涨价x元，利润为y， 则 ， 因此当时，y有最大值6250； 元， 即每件定价为65元时利润最大，最大值6250； 设每件降价a元，总利润为w， 则 ， 因此当时，w有最大值6125， 即每件定价为57.5元时利润最大，最大值6125； 综上所知每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250． 12．（24-25九年级上·四川泸州·期中）某电商在购物平台上销售一款小商品，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小商品每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：． (1)写出每天的销售利润为w（元）与销售价格x（元）的函数关系式； (2)若该电商每天想从销售该商品中获利600元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？ (3)为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．那么每件商品的销售价格定为多少元时，才能使每天获得利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为60元 (3)当定价75元时，有最大利润，最大利润为750元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）直接利用销量×每件的利润＝总利润进而得出函数关系式； （2）构建方程求解即可； （3）将（1）中的函数解析式配方后确定最值，进而即可得解； 正确得出函数关系式是解题关键． 【详解】（1）由题意可得： ； （2）由题意， 解得或， ∵想尽量给顾客实惠， ∴x＝60． 故售价应定为60元； （3） ， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴， ∴当时，有最大利润，最大利润为750元． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得满分 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，比较即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， 设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为：； （2）解：令，即， 解得（不合题意，舍去）， ∵， ∴该男生在此项考试中得满分． 14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （3）∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 15．（24-25九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌_______超出球桌边缘（填“是”，“否”） 【答案】(1)小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40； (2)否 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线经过点，故抛物线的对称轴为直线，从而当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40，则可设抛物线为，结合抛物线经过，从而，求出，进而可以得解； （2）依据题意，令，从而或（舍去），又令，进而或（舍去），结合，可得小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌不超出球桌边缘，则可以判断得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值为40． ∴可设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴函数关系式为：； （2）解：由题意，令， ∴或（舍去）． 又令， ∴或（舍去）． ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌没有超出球桌边缘． 故答案为：否． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 16．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 【答案】(1)水线最高点与点之间的水平距离为 (2)当喷水口在点处时，水线的最大高度为 (3)的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．得出点的坐标为，点坐标为，点的坐标为，进而可得出答案； （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为．将坐标代入即可得出答案； （3）根据抛物线形水线的解析式为，当时，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以为单位长度，点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． ， 点的坐标为，点坐标为， 若喷水口在点处，水线抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 水线最高点与点之间的水平距离为． （2）设喷水口在点处时，喷出的抛物线形水线的解析式为． 经过点，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， 解得 ． 当时，， 当喷水口在点处时，水线的最大高度为． （3）喷水口从点处向上平移到点处， 抛物线形水线的解析式为． 当时， 解得， 点的坐标为 的长为． 18．（24-25九年级上·北京通州·期中）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】(1)图见解析 (2)3.2米 (3) (4)米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象获取信息作答即可； （3）待定系数法求出函数解析式即可； （4）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米， 故答案为：； （3）设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ∴； （4）当时，； 故答案为：． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 19．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 21．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【经典例题八 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 【例8】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，作直线． (1)求点，，的坐标； (2)是直线上方抛物线上一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）令，求出的值可得出点，的坐标；令，求出的值可得出点的坐标； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，设点，利用三角形的面积公式表示的面积，再根据二次函数的性质可得出结论； （3）设点，根据，可得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点， ∴，， 令，则， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴， ， ∵， 当时，的面积最大，此时，点的坐标为； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形的面积等，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 22．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知抛物线交轴于和，交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为， 【分析】（1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的解析式； （2）过P作轴于D，过点P作交与点Q，由中得，即得直线解析式为，可得是等腰直角三角形，，即知最大时，就最大，面积的就最大，设，则，，即得进而得出结果． 【详解】（1）解：将和代入， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，过点P作交与点Q，如图： 在中，令得， ，即， 而，即， ， 是等腰直角三角形，直线解析式为， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， 最大时，就最大，面积的就最大， 设，则， ， ， 时，最大为1， 此时，最大值为， 则． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，得到最大时，就最大，面积的就最大为解题关键． 23．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，面积问题； （1）利用待定系数法即可求得； （2）令，，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）首先可求得所在的直线表达式为，再过点作轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，再由可得BCN面积的最大值． 【详解】（1）解：把， 代入，得 ，解得 ∴二次函数表达式为：． （2）解：∵，当，，则 ∴， ∴ ∴ （3）设所在的直线表达式为， 把点，的坐标代入得 ，解得 所在的直线表达式为． 过点作轴，交于点， 设点坐标为，则点坐标为． ∴ ∴ ∵， ∴当时，． 把代入，得． 24．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴分别交于点，． (1)求拋物线的解析式； (2)若点是线段上方抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数的解析式，二次函数与面积最值； （1）将点，代入，即可求解； （2）连接，作轴于点，作轴于点，设，根据计算最大值即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， ， ； （2）解：如图，连接，作轴于点，作轴于点， ∵当时，， ∴， ∴． ∵， ∴． 设其中， 则，， ∴ ． ∵ ∴当时，四边形的面积有最大值． ∵当时，， ∴当四边形的面积有最大值时，点的坐标为． 【经典例题九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例9】某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 (1)商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； (2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； (3)现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 【答案】(1)15，； (2)当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； (3)5 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用． （1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润=（单件利润）×销售量列出函数解析式，再根据时，利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 故答案为：15，； （2）解：设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当或38时，w最大，最大值为， ∴当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w取得最大值为3960元， ∴， 解得：． 故答案为：5． 26．（2023·湖南怀化·模拟预测）2022年国庆期间，思蒙“小桂林”4A级景区试营业并连续五天举行大型文艺汇演：唱民歌，奏民乐，说民俗，舞龙，放河灯等传统节目，已知该河灯每个进价为20元．调查发现，当销售价为25元时，平均每天可售出250个；而当销售价每增加1元时，平均每天的销售量将减少10个．应物价部门要求，商品售价不得超过进价的2倍． (1)若希望平均每天获利2250元，则每个该河灯的定价应为多少元？ (2)旅游公司决定每销售1个河灯，就捐赠元给希望工程，帮助困难学生．若平均每天扣除捐赠后可获得最大利润为1690元，求的值． 【答案】(1)每个河灯的定价应为35元 (2)a的值为4 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程即可求解； （2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列函数解析式，根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个玩具的定价为元， 根据题意得，， 解得：， 商品售价不得超过进价的2倍． ，符合题意． 答：每个玩具的定价35元时，网店每天获利2250元； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为， 根据题意得，， ，且抛物线的对称轴为直线， 当，的最大值是1690． ， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，，符合题意， ， 答：的值为4． 27．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）用待定系数法可得； （2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案； （3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答． 本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： ， 解得， ； （2）解：根据题意得：， ， ∴当时S随x的增大而减小， ∵销售价格不低于22元，不高于32元 时，取最大值，最大值为， 答：第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为元 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ ∴ 【经典例题十 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，，，，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标； （3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， 设， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即，解得， ∴点M坐标为或； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为，， 综上，点M的坐标为，，，，； （3）解：存在点P使，理由如下： 当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 解得； ∴点P的横坐标为； 当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 将代入，得 ． 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点P的横坐标为 综上，点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H，证明，可得，，即知直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求解即可到P点坐标. 【详解】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H， ∴， 为等腰直角三角形， ∴. 当时，， ∴. ∵点E的坐标为， ∴. ∵， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得 ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，二次函数的性质，等腰直角三角形性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据对称轴为直线可知，即；再将代入解析式即可解答； （2）如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D，先证明可得；设直线的解析式为，点N的坐标为，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与x轴交于， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，过点A作交直线于M，过点M作轴于Q， 设抛物线对称轴与x轴交点为D， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，点N的坐标为， ∵当时，， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为， ∴，即，解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 同理可得：当时，解得：． 综上所述，直线的解析式为或． 3．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为 (3)存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由平移的性质得出直线的解析式为，设，作轴，交于点，作于，设直线交轴于，则，，证明是等腰直角三角形，得出，再根据二次函数的性质即可得解； （3）分两种情况：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点；当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质、直线的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 6．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形和二次函数的性质是解题关键．连接，设，则，先根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质分别求出的长，再根据菱形的性质可得，然后利用勾股定理可得的长，利用二次函数的性质求解最小值即可得． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵四边形是菱形，，点是对角线的中点， ∴，，， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最小，最小值为， 故选：B． 7．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键；设养鸡场的宽为，则长为；当时，求得x的值，可判定①；当时，求得x的值，可判定②；设围成养鸡场的面积为，则，利用二次函数的性质即可判断③．最后可作出判断． 【详解】解：设养鸡场的宽为，则长为； ①由题意得：， 解得：， 当时，， 即长超过了墙长，不合题意， 故， 即养鸡场的宽为； 故①错误； ②由题意得：， 整理得：； 而， 即一元二次方程无实数解； 故围成养鸡场的面积能达到； 故②错误； ③设围成养鸡场的面积为； 由题意得：， 由于，则围成养鸡场的最大面积为； 故③正确； 综上，正确的只有一个； 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将转化为，再过点作轴的平行线交的延长线于点，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，． 过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ∴， ， ． 当，则， 解方程得， ，， 点坐标为，点坐标为， ． 将代入得， ， 点的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为． 令点坐标为， 则， ， 则， ， 则当时， 有最大值为：， 则有最大值， 即的最大值为． 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：B． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 【答案】200 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为平方米，宽为米，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为平方米，宽为米，则长为米， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为200． 即围成养殖园的最大面积平方米． 故答案为：200． 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．则飞机着陆后滑行 才能停下来． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，， 当时，，故①正确； 当时，，故点火后火箭没有落于地面，故②错误； 当时，，解得， 小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，故③正确； 由，当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为，故④正确． 故答案为：①③④． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 ； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）根据待定系数法即可求解； （2）分情况讨论，即可求解； 【详解】解：（1）将代入，得，即①， 将代入，得，即②， 联立两个式子，解得：， ， 当时，， ， 故答案为： （2）将，代入，得， 解得：， ， ， 时，有最小值， 当时，函数的最大者与最小值的差和函数的最大值与最小值之差相等， 当时，当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为 故 解得：（舍去）或 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， ， 解得：或（舍去） 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 故，即， 故不满足题意， 当时，的最大值与最小值之差为，的最大值与最小值之差为， 即，不符合题意 综上所述，的值为或， 故答案为：或 10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 【详解】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 11．（新疆维吾尔自治区吐鲁番市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体的变化如下表： （元/千克） （千克） (1)求与的函数关系式； (2)设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元 【分析】（）根据表格数据利用待定系数法即可求解； （）求出与的函数关系式，进而利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由表可知，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可得，利润与销售定价之间的关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：该茶叶每千克定价为元时，获得最大利润，且最大利润为元． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 13．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离． 【答案】(1) (2)小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）由抛物线顶点可设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可； （2）当时，代入抛物线的解析式求出对应的的值，再和比较即可得出结论； 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由题意知点在抛物线的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，， ∵， ∴小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为． 14．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 【答案】(1)3， (2)点到地面的距离为2.25米 (3) 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； （3）设出抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，得到． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则， 解得：； 抛物线的表达式为，则点，即（米）； （2）解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得，解得， 抛物线的表达式为， 当时，（米， 点到地面的距离为2.25米； （3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称， 抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 整理得． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）抛物线经过，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线在第一象限内一点，当的最大值时，求点坐标． (3)在②问基础上，作轴于，点是一动点，为线段上一点，若，求值的变化范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图像和性质． （1）将，代入抛物线解析，求出b和c的值，即可得出解析式； （2）过点作轴，交于，先求出点C的坐标，可求直线解析式为，设，则，进而得出，根据，结合二次函数的性质，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当在点左侧时，当在点右侧时目、重合时 ，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析得： ， ， ； （2）解：过点作轴，交于 令，， ， 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 可求直线解析式为， 设， ， ， ； 当  面积最大为，此时， ； （3）解：当在点左侧时：过点作于， ， 设， ， ， ，， ， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 且， ； 当在点右侧时目、重合时：， 同理可得， ， ， ， 综上所述． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 铅垂高、水平宽求面积最值问题 题型九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 题型十 二次函数中角度计算问题（45°等） 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 2．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)若，则四边形的面积是________． (2)当，的长为多少时，四边形的面积最大？ 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 4．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)直接写出的长（用含的代数式表示）． (2)当落在上时，求的值． (3)当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 6．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为． (1) ， （用含的代数式表示）； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当多边形的面积为时，求的值． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 7．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． (1)求代数式的最大值； (2)某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 11．（24-25九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答． (1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 12．（24-25九年级上·四川泸州·期中）某电商在购物平台上销售一款小商品，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小商品每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：． (1)写出每天的销售利润为w（元）与销售价格x（元）的函数关系式； (2)若该电商每天想从销售该商品中获利600元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？ (3)为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．那么每件商品的销售价格定为多少元时，才能使每天获得利润最大，最大利润是多少元？ 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 15．（24-25九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直距离 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系． (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球第一次落在球桌_______超出球桌边缘（填“是”，“否”） 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 16．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，草坪地面上有一个可垂直升降的草坪喷灌器，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在点处，水线落地点为，；若喷水口上升到点处，水线落地点为． (1)若喷水口在点处，求水线最高点与点之间的水平距离． (2)当喷水口在点处时，求水线的最大高度． (3)若喷水口从点处向上平移到点处，水线落地点为，求的长． 18．（24-25九年级上·北京通州·期中）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米； (3)求出y关于x的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 19．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 21．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【经典例题八 铅垂高、水平宽求面积最值问题】 【例8】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，作直线． (1)求点，，的坐标； (2)是直线上方抛物线上一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上一点，当时，直接写出点的坐标． 22．（24-25九年级上·广西钦州·期中）已知抛物线交轴于和，交轴于． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及点的坐标． 23．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知抛物线与x轴交于， 两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），连接、，求面积的最大值； 24．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴分别交于点，． (1)求拋物线的解析式； (2)若点是线段上方抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标． 【经典例题九 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例9】某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 (1)商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； (2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； (3)现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 26．（2023·湖南怀化·模拟预测）2022年国庆期间，思蒙“小桂林”4A级景区试营业并连续五天举行大型文艺汇演：唱民歌，奏民乐，说民俗，舞龙，放河灯等传统节目，已知该河灯每个进价为20元．调查发现，当销售价为25元时，平均每天可售出250个；而当销售价每增加1元时，平均每天的销售量将减少10个．应物价部门要求，商品售价不得超过进价的2倍． (1)若希望平均每天获利2250元，则每个该河灯的定价应为多少元？ (2)旅游公司决定每销售1个河灯，就捐赠元给希望工程，帮助困难学生．若平均每天扣除捐赠后可获得最大利润为1690元，求的值． 27．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【经典例题十 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线交对称轴于点，连接，当时，求直线的解析式． 3．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．有下列结论： ①要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的宽为； ②围成养鸡场的面积能达到； ③围成养鸡场的最大面积为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 7．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．则飞机着陆后滑行 才能停下来． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 ； （2）设直线的函数表达式为，当时，函数的最大值与最小值之差和函数的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ． 10．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 11．（新疆维吾尔自治区吐鲁番市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体的变化如下表： （元/千克） （千克） (1)求与的函数关系式； (2)设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？ 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 13．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离． 14．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）抛物线经过，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线在第一象限内一点，当的最大值时，求点坐标． (3)在②问基础上，作轴于，点是一动点，为线段上一点，若，求值的变化范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$