专题03 二次函数与方程、不等式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据二次函数与轴交于，两点，把点代入得，结合一元二次方程根与系数的关系计算得，再将变形得，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，， 当时，解为， ∴， ∴ ， ， 故选：D ． 1．已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 3．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 0 8 (1)根据上表填空： ①抛物线经过点（，    ），对称轴为___________； ②方程的解是___________，当时，取值范围是___________； (2)求该抛物线的解析式． 【答案】(1)①8，直线；②，1， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等； （1）①抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出． 【详解】（1）解：由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴对称轴直线； ∵抛物线经过点，点和关于直线轴对称， ∴抛物线经过点， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴方程的解是或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， 由①得：抛物线与x轴的交点坐标是和， ∴当时，； 故答案为：，1，； （2）解：由表格可得：抛物线与x轴的交点坐标是和，与y轴的交点坐标是， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线与x轴的交点为、，抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）共有整点（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．4个以上 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．根据题意解得二次函数图像与坐标轴交点，确定抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 对于抛物线， ∵， ∴该抛物线开口向下， 令，则，即， 令，可有， 解得，， ∴，， 则在抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）， 整点有，共计4个． 故选：C． 1．二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 【答案】C 【分析】先求得抛物线与轴交于，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧的增减性即可求解． 【详解】解：由，当时，，即抛物线与轴交于 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故A错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故B错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故C正确 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故D错误 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，，解得，， 可得抛物线与x轴的交点坐标为，， 将抛物线向上平移6个单位长度，或者向左平移3个单位长度，或者向右平移2个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， 的最小值为2，最大值为6． 故答案为：2，6． 3．已知函数． (1)该函数图象的开口方向是 ； (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ； (3)当时，则函数y的最小值是 ； (4)当时，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】(1)向上 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系，，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想． （1）由即可确定开口向上； （2）当，即可求解； （3）可得对称轴为直线：，而，开口向上，故当时，； （4）当时，则，解得：，故与抛物线的两个交点的横坐标分别为，那么转化为在直线上方的抛物线所对应横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上； （2）解：当时，， ∴与y轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：对于， 可得对称轴为直线：， ∵，开口向上 ∴当时，， 故答案为：； （4）解：当时，则， 解得：， ∴与抛物线的两个交点的横坐标分别为 如图： ∴当，自变量x的取值范围为或． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，表格可知，当，，当，，代入解析式可得，，由此即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， ∴，， ∴，， ∴是方程的两根， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 1．三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设： ，，，三个方程的根即为三个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解． 【详解】解：设，，， 将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图： 则三个方程的正根 即为：直线 分别与 在第一象限交点的横坐标， 则由图可知： ． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键． 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 3．已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，． 【分析】本题考查求二次函数的解析式，求自变量的值： （1）直接利用两点式，写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（、为常数）的图象经过点，， ∴， ∴顶点坐标为； （2）当时，， 解得：，． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 1．一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，理解题意，得到所求方程是一个二次函数和一个反比例函数的图象交点的横坐标是解答的关键．首先根据题意推断方程的实根是抛物线与双曲线的图象交点的横坐标，画出两函数的草图可推断方程的实根所在范围． 【详解】解：根据题意，方程的实根是抛物线与双曲线交点的横坐标， ∵抛物线位于第一、二象限，双曲线位于第一、三象限， ∴它们的交点在第一象限， 可画出两个函数在第一象限的草图，如图，    ∵当时，，，则此时抛物线在双曲线的下方， 当时，，，则此时抛物线在双曲线的上方， 又∵在第一象限内，函数随x的增大而增大，函数随x的增大而减小， ∴结合图象，两函数图象的交点只有一个，且交点的横坐标应在1和2之间， 故方程的实根所在的范围是， 故选：B． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： x .. 0 1 2 3 3.5 4 … y … 0 m （1）求m的值为 ； （2）如图，在平面直角坐标中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象 ； （3）方程实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 ，根据图象写出方程的一个正数根约为 （精确到0.1）． 【答案】 见解析 3 时，y随x的增大而增大 见解析 3.9 【分析】（1）由表格可得：，代入，即可求出y的值； （2）由表格中的x、y的值，描点、连线，进而画出图象； （3）根据函数和直线的交点的个数即可得出结论； （4）根据函数图象即可得出结论； （5）由与图象交点得出结论． 【详解】解：（1）当时， ∴， 故答案为：； （2）如下图所示， （3）由（2）的图像可得当时，x的值有三个， ∴方程的实数根为3个， 故答案为：3个； （4）当时，y随x的增大而增大， 故答案为：时，y随x的增大而增大； （5）图像如下图所示， 由图像可得一个正数根约为：3.9， 故答案为：3.9. 【点睛】本题考查了图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方法，解答本题的关键是补全函数图象． 3．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【答案】(1)A，D (2)填表见解析，， (3)方程有两个不相等的实数根，且， 【分析】本题考查了数学思想和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意结合数学思想可得答案； （2）分别把x的值代入即可填表，根据表格可得答案； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）根据例5求解过程，可知求解过程中，主要运用的数学思想是数形结合，转化思想 故答案为：A，D； （2）填表如下： x的值 0 1 的值 13 3 1 根据上表可得，； （3）， 当时，， 又， 方程有两个不相等的实数根，且，． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】如图，抛物线的对称轴是直线，图象与轴的一个交点为，关于的方程的解为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程的关系，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为， 抛物线与轴的一个交点为， 方程的解为，， 故选：D． 1．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或， ∴当或时，， ∵二次函数的图象经过点，， ∴或； 故选C． 2．若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 3．已知抛物线的解析式为． (1)若抛物线的对称轴为，求a的值． (2)若抛物线经过点，求此时抛物线与x轴的两个交点之间的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象与x轴的交点． （1）根据抛物线的对称轴可得，求解即可； （2）把点代入，求出a的值，从而得到抛物线的解析式，令，求出该抛物线与x轴的交点，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ，解得， 经检验，是该分式方程的解． （2）解：∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． 当，即时， ，解得，， 抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 两个交点之间的距离为． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示．有下列结论： ①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，顶点坐标与系数之间的关系，解题的关键在于熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点以及抛物线的对称性和时可判断②；利用抛物线的顶点坐标为可以判断③；由抛物线与直线有两个不同的交点，可以判断④． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，所以①错误； 与x轴的一个交点在和之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， 时，，且，即， ，所以②错误； 抛物线的顶点坐标为， ， ． ， ． ， ， ，所以③正确； 抛物线与x轴有两个交点，且顶点为， 抛物线与直线有两个交点， 关于x的方程有两个不相等实数根，所以④正确． 故选：B． 1．抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解； 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点， ∵方程在的范围内有实数根， 当时，， 当时，， 函数在时有最小值2， 当关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个实数根时， ∴， 故选：D． 2．已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可以得到该函数的对称轴为轴，从而可以得到的值，然后即可求得该函数与轴的交点，即可得到一元二次方程的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题． 【详解】解：二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等， ∴该函数的对称轴为直线， 解得， ∴二次函数， ∴当时，，解得，， ∴一元二次方程的两根是，， ∴一元二次方程的两根之积是， 故答案为：． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，充分利用函数图象，数形结合是解题的关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围； （3）方程有实数根，即函数与有交点，据此即可直接求出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知， 方程的两个根为，． （2）根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 此时，． （3）由图：方程有实数根 即函数与有交点， 此时，． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是(0，3) 【答案】B 【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D正确． 【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)， ∴在x轴上截得的线段长是3-1=2， ∴A、C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为x=2， ∴顶点横坐标应为2， ∴B一定不正确，符合题意； 把x=0代入可求得y=c， ∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)， ∴D有可能正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键． 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 2．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 3．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，求出二次函数的顶点坐标，图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标的对应点的坐标为， 由图象可知当时，直线与新图象有2个交点，当时，直线与新图象有2个交点； 故答案为：或． 3．如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线 的对称轴是直线，且经过 ，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是的一根 【答案】D 【分析】本题综合运用了抛物线的对称轴公式、与坐标轴交点的性质以及一元二次方程根的判别式等多个知识点，关键在于利用数形结合的思想，结合对称轴公式与已知点坐标判断参数之间的关系． A选项可利用抛物线与交点、开口方向、对称轴公式判断、、的正负性，即可判断． B利用对称轴公式即可判断． C通过抛物线与轴的交点个数及一元二次方程根的判别式即可判断． D利用抛物选关于直线对称，得到的对称点，代入函数表达式即可判断． 【详解】A、根据抛物线对称轴公式可得：，即：． 抛物线开口向上． ． ． 抛物线交的负半轴，即当时，． ． ． 故选项不符合题意． B、由A选项解析可知：，故选项不符合题意． C、抛物线与轴有两个交点． 令，则方程有两个不相等的实数根． ． ． 故选项不符合题意． D、关于直线的对称点为． 当时，． 即． 是的一根． 故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③错误， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）定义：（1）在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．（2）抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的解．若抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点、利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围． 【详解】解：对于抛物线抛物线， ∴函数的对称轴：直线， ∴M和N两点关于对称， 根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是，，，，， 如图所示： ∵当时，， ∴ 当时，， 即：， 解得，， 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，先求得顶点坐标，然后结合图象即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴顶点坐标为， 当有两个实数根时， ∴或， 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可． 【详解】解：把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； 把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； ∴，解得 把代入，得， 由函数图象知：抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故选：A． 6．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线与直线的另一个交点横坐标为4，然后写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与直线的一个交点横坐标为0， ∴抛物线与直线的另一个交点横坐标为4， ∵当时，二次函数的图象在直线的图象上方， ∴当时，． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数的最小值为0，不等式的解集为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知，二次函数开口向上，则在顶点处函数有最小值，根据二次函数的最小值为0，可知顶点纵坐标为0，根据顶点坐标公式得到，则，再根据不等式的解集为，得到直线与二次函数的两个交点的横坐标分别为n、，则对称轴为直线，据此可得，再根据时，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数函数解析式为，， ∴二次函数开口向上， ∴在顶点处函数有最小值， ∵二次函数的最小值为0， ∴顶点的纵坐标为0， ∴， ∴； ∵不等式的解集为， ∴直线与二次函数的两个交点的横坐标分别为n、， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由得， 直线与抛物线交于，，， 不等式的解集是， 不等式的解集是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的是抛物线与轴的交点，确定直线的位置是本题解题的关键．如图，当直线在的位置时，符合题设条件，即可求解． 【详解】解：如图，当直线在的位置时，符合题设条件， 由二次函数知，其对称轴为， 当时，， 则翻折后根据图形的对称性，直线的表达式为：， 即， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x的交点等问题，解题的关键是： （1）由已知条件可得出抛物线的顶点纵坐标为0，然后根据顶点坐标公式求解即可； （2）先判断出点P在直线上，联立方程组，化简得，结合已知可得，解之即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴令①，②， ②①得，， ∴， ∴点P在直线上， 联立方程组， 化简，得， ∵点在抛物线上，无论为何值，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求函数的对称轴； (2)若二次函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数，求a的值． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数图象与轴的交点问题： （1）根据图象过，，利用对称性求出对称轴即可； （2）根据抛物线的开口方向，对称轴，结合图象经过点，以及二次函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数，得到抛物线与轴的两个交点坐标只能是，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵图象过，， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线，， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧， ∵图象经过点，与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数， ∴抛物线与轴的两个交点坐标只能是， ∴抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴． 12．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数（a为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点； (2)若函数经过，求a的值，并求当时y的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，求二次函数解析式与函数值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，根据一元二次方程根的判别式，即可证明结论； （2）将点代入二次函数，求出的值，得到，再根据顶点式求出特殊点的函数值，即可得到答案． 【详解】（1）证明：令， ， ， ，， ， ， 该函数的图象与x轴有两个公共点 （2）解：函数经过， ， 解得：； ， 二次函数开口向下，对称轴直线， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，y的取值范围为． 13．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (2)当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或5 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，二次函数的最值，掌握二次函数图像的性质以及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． （1）将二次函数（为常数）化为顶点式得到顶点坐标，即可得证； （2）抛物线的对称轴为直线，讨论：当时，根据二次函数的性质得时，，不合题意舍去；当时，；当时，根据二次函数的性质得到，，所以，然后解关于的方程得到满足条件的的值． 【详解】（1）证明：， 该函数图像的顶点为， 将点代入函数，满足， 则该函数图像的顶点都在函数的图像上； （2）解：由（1）知， 抛物线的对称轴为直线， 当时，在上，随增大而增大，故当时，有最小值． 即时，， ，即， ， 方程无解； 当时，当时，有最小值， 即时，， ， 解得：； 当时，在上，随增大而减小，故当时，有最小值， 当时，， 所以， 解得（舍去），； 综上所述，的值为或 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数和一次函数的图象如图所示． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)当______时，随x增大而增大； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围是______． (4)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要是考查了二次函数的性质以及一次函数求解解析式，利用“数形结合”的思想求解不等式的解集，是求解该类题目的关键，需要重点掌握好． （1）观察图象即可得解； （2）观察图象，利用数形相结合即可得解； （3）结合图象可得，时，当时，有最大值，当时，最小值，从而即可得解； （4），即是二次函数的图象在一次函数的图象上方求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：由图可知，当时，随增大而增大， 故答案为：； （3）解：结合图象可得，时，当时，有最大值，当时，最小值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）解：时，即是二次函数的图象在一次函数的图象上方， ∵的横坐标为，的横坐标为， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】二次函数的图象与轴交于，两点，则的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 1．已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为 ． 3．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 0 0 8 (1)根据上表填空： ①抛物线经过点（，    ），对称轴为___________； ②方程的解是___________，当时，取值范围是___________； (2)求该抛物线的解析式． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线与x轴的交点为、，抛物线在点、之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）共有整点（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．4个以上 1．二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 2．在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为 ，最大值为 ． 3．已知函数． (1)该函数图象的开口方向是 ； (2)抛物线与y轴的交点坐标是 ； (3)当时，则函数y的最小值是 ； (4)当时，则自变量x的取值范围是 ． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】已知二次函数的图象上的部分点的坐标如下表，其中，则b的值为（    ） x … a … y … 2024 2024 … A．5 B．10 C．15 D．25 1．三个方程的正根分别记为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 3．已知二次函数（、为常数）的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标； (2)当时，求的值． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 1．一元二次方程可以转化为，所以其根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断关于x的方程的实数根所在的范围是（    ） A． B． C． D． 2．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： x .. 0 1 2 3 3.5 4 … y … 0 m （1）求m的值为 ； （2）如图，在平面直角坐标中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象 ； （3）方程实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线 ，根据图象写出方程的一个正数根约为 （精确到0.1）． 3．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务． 设计题：由例5可知，求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．如图，若取的值为，使得函数值满足，那么抛物线与轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间，由此我们可以估计方程的解． 例5利用二次函数的图象方程的解（或近似解）． 解设，则方程的解就是该函数图象与轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数的图象，得到与轴的交点为，则点，的横坐标就是方程的解．观察如图，得到点的横坐标，点的横坐标．所以方程的近似解为． 【任务】 (1)在例5求解过程中，主要运用的数学思想是______．（从以下选项中选2个即可） A．数形结合    B．分类讨论    C．统计思想    D．转化思想 (2)先完成下表，并判断： 方程的解分别在哪两个相邻的整数之间 的值 0 1 的值 (3)若抛物线的开口向下，试判断方程根的情况． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】如图，抛物线的对称轴是直线，图象与轴的一个交点为，关于的方程的解为（    ）． A．， B．， C．， D．， 1．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 2．若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 3．已知抛物线的解析式为． (1)若抛物线的对称轴为，求a的值． (2)若抛物线经过点，求此时抛物线与x轴的两个交点之间的距离． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示．有下列结论： ①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．抛物线的对称轴为直线．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程的解为________； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程有实数根，写出m的取值范围． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是(0，3) 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 2．定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      3．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是 ． 3．如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线 的对称轴是直线，且经过 ，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是的一根 2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）定义：（1）在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．（2）抛物线与x轴的交点的横坐标即方程的解．若抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）李同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（   ）    A． B．或 C． D．或 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·北京·期中）如图，是二次函数的部分图象，由图象可知关于的不等式的解集为 ． 7．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数的最小值为0，不等式的解集为，则实数的值为 ． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是 ． 9．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 10．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知平面内一动点，点在抛物线上， （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则 ； （2）若无论为何值，总有，则的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图象经过点，，． (1)求函数的对称轴； (2)若二次函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标为整数，求a的值． 12．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知二次函数（a为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点； (2)若函数经过，求a的值，并求当时y的取值范围． 13．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 14．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上． (2)当时，的最小值为，求的值． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数和一次函数的图象如图所示． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)当______时，随x增大而增大； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围是______． (4)当时，的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$