专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（24-25九年级上·北京房山·期中）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数 二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，的绝对值越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值，抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故选：B． 2．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：由题意可得： ， 解得：． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（24-25九年级上·广东中山·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若时，函数的最大值为17，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质． 函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，当时，又因为时函数的最大值为，求解即可． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵时，函数的最大值为， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)下表中值为_____． …      0 1 2 3 … … 2 m           2 … (2)根据上表，画出这个二次函数的图象． (3)根据表格、图象，当时，可得函数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质，掌握数形结合的应用． （1）把所给表格x的值代入到解析式中，计算求出的值即可； （2）根据表格描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：． （2）解：根据上表，二次函数的图象为： （3）解：根据表格、图象，当时，， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（浙江省台州市和合联盟2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．依据题意，根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴，再对开口方向分类讨论即可解决问题． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，当时， ，且，，，四个数中有且只有一个大于零， ． ． 当时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越大， 而点和到直线的距离相等，且距离最近， 此情况下不存在，，，四个数中有且只有一个大于零． 故选：D． 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）若二次函数有最小值为，最大值为5，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．结合二次函数的最大值，令，求出对应的的值，根据题意即可得出结论． 【详解】解：， 对称轴为直线，函数的最小值为， 时，函数有最小值为，最大值为5， 令，则， 解得，， 的取值范围为． 故答案为：．    3．（24-25九年级上·北京通州·期中）已知抛物线，当时，x的取值范围是． (1)该抛物线的开口方向________； (2)若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 【答案】(1)向上 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据时，x的取值范围是，可知抛物线的开口向上； （2）根据题意，可知，当时，或，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，x的取值范围是， ∴抛物线的开口向上； 故答案为：向上； （2）∵时，x的取值范围是， ∴当时，或， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线经过点，两点，且， ∴， ∴． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（24-25九年级上·天津津南·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．把、、2分别代入，计算出对应的函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴； ； ， ∴． 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，若，则的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由题意得抛物线的对称轴为，开口向下，时有最大值．再根据已知条件可得出，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时有最大值． ∵， ∴A，B在的两侧，且A离对称轴较远， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象经过、，当时，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，一元一次不等式组的求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式组的方法是解题的关键． 根据及（a为常数，且）得到关于的不等式，进一步得到关于的不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线． (1)求其对称轴和顶点坐标； (2)若，在此抛物线上，比较的大小． 【答案】(1)直线， (2) 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式和抛物线的性质． （1）利用配方法将抛物线解析式化成顶点式即可得解； （2）由抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：， 即， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴方程为，，， ∴， ∴A，B在对称轴的右侧， ∵， ∴抛物线的开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意． ②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意． ③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意． ④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意． 综上：正确的有②④，共2个． 故选：C． 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）抛物线的图象如上图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式得到，再由对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在直线和直线之间，则当时，，据此可判断①；根据当时， ，可得，据此可判断②；根据的最大值为，即可判断③；根据对称性可得，根据，得到，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标在直线和直线之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，故①错误； ∵当时， ， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值为， 当时，为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得，故④正确； ∴正确的有④， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)；(2) ；(3)； (4)；(5) ．你认为其中正确信息的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图象可得，开口向下， ∴， 故正确； ∵函数图象与轴有两个交点， ∴，故错误； ∵函数的顶点坐标在轴右侧，， ，故正确； 当时，，故正确； 当时，，故错误， 故答案为： ． 3．（21-22九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； (2)双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； (3)有以下的说法：①；②；③；④若(0，)，(1，)是抛物线上的两点，则．上述说法中，正确的有 ．(填序号) 【答案】(1)（－1，0） (2)二、四；四 (3)①②④ 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴的位置判断出a、b、c的符号，再根据反比例函数和一次函数的性质判断函数图象分布的象限即可； （3）根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴的位置判断①；根据对称轴为直线可判断②；根据x=2时的函数值可判断③；根据抛物线的对称性可判断④，进而可作出选择． 【详解】（1）解：∵该抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（－1，0）， 故答案为：（－1，0）； （2）解：∵该抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，对称轴为直线在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴双曲线分居在第 二、四象限，直线经过第 一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：二、四；四； （3）解：①∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴a=－b，即a+b=0，故②正确； ③∵图象经过点（2，0）， ∴当x=2时，y=4a+2b+c=0，故③错误； ④∵对称轴为直线， ∴(0，)关于直线对称的点的坐标为(1，)， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握各函数的图象与对应系数的关系是解答的关键． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2025九年级下·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 分析中k、b的正负即可判断直线位置；由判断出对称轴、开口方向以及c的值，即可求解． 【详解】解：由知，，，即一次函数图象经过第二、三、四象限； ，对称轴为：直线，即在y轴右侧；，开口向下；，过y轴负半轴； 由选项可知，A选项符合题意； 故选：A． 1．（24-25九年级上·重庆·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，二次函数。 ∴图象与轴的交点为同一点，故选项D不合题意， 当二次函数的对称轴在轴右侧时，，即、异号，，此时一次函数的图象应该经过二、四象限，故AC不正确；、 当二次函数的对称轴在轴左侧时，，即、同号，，此时一次函数的图象应该经过一、三象限，故选项B可能，符合题意， 故选：B． 2．（19-20九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决． 【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数， ∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上， 假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上， ∴m=，得x3=， ∴=x1+x2+x3=0+x3=； 故答案为：. 【点睛】本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答． 3．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，其中，． (1)求二次函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若对于任意，总存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数性质，一次函数的性质，函数与不等式的关系问题，关键是分情况列出不等式．难度较大． （1）把二次函数的解析式化成顶点式进行解答便可； （2）先根据一次函数的性质求出的最大值，再分情况讨论：抛物线开口向上和抛物线开口向下时，根据在范围内，的最大值大于的最大值，列出a的不等式进行解答便可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线顶点坐标为； （2）∵在一次函数的图象上， ∴随增大而增大， ∵， ∴最大值为， ①当时，抛物线开口向下，， ∵， ∴当时，为最大值， 由题意得， 解得， ∴； ②当时，抛物线开口向上，， i）当，即时，则时，为最大值， ∴， 解得， ∴； ii）当，即时，则时，为最大值， ∴， 解得， ∴； 综上，a的取值范围为：． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的对称性和增减性，可得答案． 【详解】∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． ∴． 故选：D． 1．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴计算公式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y 值会随着 x 的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，随的增大而减小．并且，当时，有最小值1．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解析式化成顶点式，得到顶点为，对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最小值1可知顶点为，即可得到，解方程组即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 顶点为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最小值1， 顶点为， ， 解得，或， ， 的值为， 故答案为． 3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是关键； （1）当时，；当时，，进而即可得到结论； （2）分别用作差法和二次函数图像的对称性比较大小即可； （3）分当时和时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； （2）方法一、∵是该函数图像上的两个点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即； 方法二、∵抛物线的对称轴为：直线， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述： （3）解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线， ∴时，y随x的增大而增大，符合题意； 当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大， ∴或 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 根据题意可知抛物线对称轴为直线，则有点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：，然后根据二次函数性质：当抛物线开口向下时，离对称轴越远，对应点的函数值越小，进行分析判断即可． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， A、若， ，∴，故选项A结论不正确，不符合题意； 、若，，∴，故选项B结论正确，符合题意； 、若， ，∴，故选项C结论不正确，不符合题意； 、若， ，∴，故选项D结论不正确，不符合题意； 故选：B． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴或， 观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及涉及对称性． 先根据抛物线的对称性得到，则，然后把代入可得到的值． 【详解】解：，是抛物线上不同的两点， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ， ， 点，即在抛物线上， ． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 1．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）已知 是抛物线 上不同的两点，则 的值是 （   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性求自变量值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 先利用抛物线的性质求出对称轴，再根据点，关于抛物线对称轴对称求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，是抛物线 上不同的两点，两点纵坐标相等， ∴点，关于直线对称， ∴ ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得对称轴是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，根据二次函数的图象的对称性以及已知条件可得时，，当和时y值相等，都是0，进而求得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线在时，它的图象位于x轴的下方，当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的上方， ∵和到对称轴直线的距离相等， ∴当和时y值相等，都是0，则， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： (1)__________； (2)利用表格中的点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：∵当和时，； ∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即， 故答案为：． （2）解：如图： （3）解：由函数图象得：对称轴为直线， ∴当时，取得最小值 当时，取得最大值， ∵和时，根据表格可得，函数值都是，即取得最大值为 ∴当时，． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，故设经过平移后的抛物线为，利用对称轴公式即可求得b的值，从而求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点， ∴设经过平移后的抛物线为， 其对称轴为直线， ， ， 平移后的抛物线为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于原点对称的点的坐标特征．由关于原点对称的点的特点是：横、纵坐标都变为相反数，可直接得出答案． 【详解】解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数， ∴得到的抛物线的解析式是， 整理得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式． (2)将抛物线绕原点O旋转，请直接写出旋转后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据绕原点O旋转后顶点变为，即可求出顶点式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：顶点为， ∴将绕原点O旋转后顶点为，， ∴旋转后的抛物线的解析式：． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（    ） A．或1 B．5或 C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 由题意知，平移后的抛物线解析式为， 将代入得，整理得，， 解得或（舍去）， 故选：C． 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点D、E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由非负数的性质，即可证得，可得无论x取何值，总是负数； ②由抛物线“上加下减，左加右减”的平移规律可得可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴无论x取何值，总是负数；故①正确； ②向右平移3个单位，再向下平移3个单位后的解析式为， ∴可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到，故②正确； ③∵， ∴随着x的增大，的值减小；故③错误； ④设与交于点， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， 当时，， ， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形．故④正确． 综上所述：正确的是①②④．共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，掌握二次函数的图像与性质．学会利用数形结合是解题的关键． （1）用配方法可以得到解答； （2）根据二次函数的顶点式解析式作图； （3）根据二次函数的性质画出图象即可； 【详解】（1）解： 即 （2）解： ∴顶点坐标为． 当时，解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 二次函数的图象如图所示： ； （3）解：函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后变为： ，即； 如图所示． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值， 故选：B． 1．（24-25九年级上·重庆·期中）对于实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质，可以求得该函数的最大值，本题得以解决． 【详解】解：当时，即， 可得， 则， ∴当时，取得最大值，此时； 当时，即， 可得或， 则， ∴当时，取得最大值，此时； 由上可得，该函数的最大值为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．判断图象开口向下，顶点坐标为，结合，，可得当时，函数取最小值，再进一步可得答案. 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∵，， ∵当时，函数有最小值， ∴当时，函数取最小值，最小值为：； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． （2）解：由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把代入，可判断①，根据于轴交点和对称轴，可确定与轴另一交点，从而确定方程的解，可判断②，把、分别代入，可判断③④，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解， 本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图像性质． 【详解】解：把代入，， 解得：，二次函数解析式为：，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故②正确， 当时，，，故③正确， 当时，，故④正确， 作点关于直线的对称点，如图， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ∵， ∴周长的最小值为，故⑤正确， 综上所述，①②③④⑤正确， 故选：． 1．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 2．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或或 【分析】（1）先待定系数法求得抛物线解析式，进而求得点的坐标，然后根据的坐标，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把代入直线得的值，即可求出点坐标； （3）设，又因为，，所以可得，，，再分三种情况分别讨论求出符合题意值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： 当时， 解得：或 ∴ 将点，代入直线的解析式为， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵， ∴对称轴是直线， 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小． 把代入直线得，， ∴， 即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为； （3）设，又∵，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则 即： 解得：； ②若点为直角顶点，则 即： 解得：， ③若点为直角顶点，则 即： 解得：，； 综上所述的坐标为或或或 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点， 由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根， 函数的图象与轴的正半轴有两个交点， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解； （2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立， 可得， 整理可得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为4． 故答案为：（1）；（2）4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）当时，解得，，根据得到，得到，令，利用二次函数的性质求出当时，，则当时，且满足。 【详解】（1）解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； （2）解；在中，当时， 解得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当时，， ∴当时，且满足； 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 3．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， ， ∴点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 5．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值小于时的函数值， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，， ∴时，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·天津北辰·期中）若二次函数(m为常数)，当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m 的值为 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分，和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，即时，在中，随的增大而减小， ∴当∴当时，函数的值最大， 即， 解得，符合题意； 当时，即， 当时，的最大值为， ∴， 解得：或， 经检验或不符合题意，舍去， 当时，即， 在中，随的增大而增大， ∴当时，函数的值最大， 即， 解得，符合题意； 综上，的值为或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则；其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合．根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故①错误； 当时，； ∴， ∴②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴当时，函数值不大于， ∴， ∴（m为任意实数）， ∴③错误； 点到对称轴的距离为：， 到对称轴的距离为：， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴④正确． 综上，正确的有②④． 故答案为：②④． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数，点． （1）函数y的最小值为 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数化为顶点式，二次函数平移的性质，二次函数与直线的交点问题， （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到函数y的最小值； （2）根据二次函数平移的性质得到平移后二次函数为，求出直线的解析式，当抛物线过A时有两个交点，当抛物线与相切时仅有一个，由此求出k的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，∵二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 故答案为：． （2）由（1）可得，二次函数为， 又∵二次函数沿y轴方向平移个单位长度， ∴平移后二次函数为． 又∵， ∴直线为． 又∵平移后与线段有两个交点， ∴结合图象可得，当过A时有两个交点，当与相切时仅有一个． 联立方程组， ∴． ∴． ∴． 又过时，则， ∴． 又∵二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点， ∴． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点． （1）若，则的长为 ； （2）在整个运动过程中，长的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的性质得，，再根据勾股定理即可求得答案； （2）先证明，得到，然后根据直角三角形的性质证明，设，根据勾股定理求得，最后根据二次函数的性质，即得答案． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ； 故答案为：． （2）由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， 点P为的中点， ， 设，则， ， 当时，取最小值， 长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全等三角形的判定和性质得到，是解题的关键． 11．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的图象． 步骤一：列表 步骤二：根据表中数值描点，画图． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了抛物线一般式化成顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质．解题的关键是画出二次函数的图象． （1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式； （2）先列表，再根据表格中的点坐标画二次函数图象； （3）结合函数图象，写出抛物线在时的取值范围即可． 【详解】（1）解：． （2）解：步骤一：列表 0 1 2 0 0 5 步骤二：根据表中数值描点，画图如下： （3）解：结合函数图象可得，当时，的取值范围为． 12．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，己知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等： （1）根据题意可得点M和点N关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性求出对称轴即可； （2）先求出对称轴为直线，进而得到当时，随的增大而增大：当时，随的增大而减小，设抛物线上的点关于直线的对称点为再分当时，当时，当时，三种情况结合利用增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，满足， ∴点M和点N关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为： （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而增大：当时，随的增大而减小． ①当时，设抛物线上的点关于直线的对称点为 ，对于，都有， ， ②当时，若对于，都有， ， ； ③当时，， 当．不符合题意，舍去， 综上所述：或． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）求出抛物线顶点横坐标为2，根据的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍，即可求出答案； （2）①把点的坐标分别代入得到，，即可得到； ②把代入得到，求出，根据二次函数的性质即可得到t的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点横坐标为2， ∵的顶点横坐标为，且为抛物线顶点横坐标的2倍， ∴， 解得； （2）①∵点在抛物线上，点在抛物线上．， ∴，， ∴； ②∵， ∴ ∵， ∴， 解得， ∵当时，随着m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)，是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式． (2)是抛物线上一点，且． ①若，当时，求n的最小值． ②当时，n的最小值是5，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据抛物线的对称性求出m的值即可； （2）①先求出抛物线解析式，根据二次函数的性质即可解答；②先求出n关于的二次函数解析式，在求出对称轴，根据二次函数的性质，结合题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，是抛物线上不重合的两点，当时，，， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①当时，则抛物线的解析式为：， ∵是抛物线上一点，且， ∴，即， ∴， ∵， ∴时，n随x的增大而减小， ∴时，n有最小值，最小值为； ②根据题意：， 即， ∴的对称轴为， ∵， ∴抛物线的图象开口向上，且时，n随的增大而减小，时，n随的增大而增大，时，n有最小值， ∵时，n的最小值是5， ∴，解得：； 当时，则，与题意矛盾，舍去； 当时，则， 此时，， 当时，函数有最小值， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，则， 此时，， 当时，函数有最小值， ∴， 解得：（舍去）； 综上，m的值为2． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 【答案】(1)①  ② (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． （1）①根据可得“纵横值”； ②计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得 （3）由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①点的“纵横值”为 故答案为：； ②， ， ， 时，的最大值是， 故答案为：； （2）解：∵二次函数 的顶点在直线上， ， ， ， ， ∵最优纵横值为， ， ， （3）解：∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为, 解得或 (舍去), 当 即时，则时，有最大值为， ， 解得或 (舍去)。 故的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（24-25九年级上·北京房山·期中）已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，，若抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 分两种情况进行讨论： 2．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（24-25九年级上·广东中山·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·浙江·期中）若时，函数的最大值为17，则 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)下表中值为_____． …      0 1 2 3 … … 2 m           2 … (2)根据上表，画出这个二次函数的图象． (3)根据表格、图象，当时，可得函数的取值范围是_____． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（浙江省台州市和合联盟2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）抛物线上有，，，四点，若，，，四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）若二次函数有最小值为，最大值为5，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·北京通州·期中）已知抛物线，当时，x的取值范围是． (1)该抛物线的开口方向________； (2)若该抛物线经过点，两点，且，求t的取值范围． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（24-25九年级上·天津津南·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，若，则的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（为常数，且）的图象经过、，当时，则的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线． (1)求其对称轴和顶点坐标； (2)若，在此抛物线上，比较的大小． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（24-25九年级上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）抛物线的图象如上图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)；(2) ；(3)； (4)；(5) ．你认为其中正确信息的序号是 ． 3．（21-22九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为(2，0)． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标为 ； (2)双曲线分居在第 象限，直线不经过第 象限； (3)有以下的说法：①；②；③；④若(0，)，(1，)是抛物线上的两点，则．上述说法中，正确的有 ．(填序号) 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2025九年级下·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·重庆·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为 ．（用含的代数式表示） 3．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，其中，． (1)求二次函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）； (2)若对于任意，总存在，使得，求a的取值范围． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（   ） A． B． C．1 D．3 1．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，随的增大而减小．并且，当时，有最小值1．则的值为 ． 3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）已知 是抛物线 上不同的两点，则 的值是 （   ） A．0 B．4 C． D．2 2．（24-25九年级上·北京·期中）函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： (1)__________； (2)利用表格中的点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出的取值范围． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）抛物线的图象经过平移后的抛物线经过原点，且其对称轴为直线，那么平移后所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 3．（24-25九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式． (2)将抛物线绕原点O旋转，请直接写出旋转后的抛物线的解析式． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（    ） A．或1 B．5或 C．1 D．5 1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点D、E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论： ①无论x取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形． 其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)在同一坐标系中画出将函数图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图象． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 1．（24-25九年级上·重庆·期中）对于实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（   ） A． B． C．3 D．2 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 2．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 3．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．经过点 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25九年级上·北京·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 … 当时，自变量x的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·天津北辰·期中）若二次函数(m为常数)，当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m 的值为 8．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则；其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知二次函数，点． （1）函数y的最小值为 ． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段有两个交点，则k的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点． （1）若，则的长为 ； （2）在整个运动过程中，长的最小值为 ． 11．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的图象． 步骤一：列表 步骤二：根据表中数值描点，画图． (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围______． 12．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，己知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线顶点横坐标的2倍． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①求t（请用含的代数式表示）； ②若且，求t的最大值． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)，是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式． (2)是抛物线上一点，且． ①若，当时，求n的最小值． ②当时，n的最小值是5，求m的值． 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$