专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：；其中是的二次函数的有 （只填序号） 3．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 1．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 2．若函数是二次函数，则的值是 ． 3．已知是二次函数，求a． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 1．关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 2．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 3．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 3．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系 A．① B．② C．③ D．①③ 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 3．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：． （1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 1．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 3．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 1．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 2．与抛物线的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是的抛物线的函数表达式是 ． 3．求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 3．（2021九年级·全国·专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 4．（18-19九年级·浙江杭州·）若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（    ） （1）                （2）                    （3）                （4） （a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系） A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 5．（22-23九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若函数是关于的二次函数，则 ． 10．（22-23九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ． 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 12．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 13．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)当m取什么值时，y是x的二次函数． (2)当m取什么值时，y是x的反比例函数． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 15．（2024·山东烟台·一模）如图（图1），点P是线段上与点，点不重合的任意一点，分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线. (1)请直接写出（图）中与的形状关系 ； (2)如（图2），在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，，在格点上请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹： (3)如（图3），在矩形中，，，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点 ①设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②是否存在这样的点，使周长等于周长的倍？若存在，请求出的长度；若不在，请简要说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、的未知数在分母上，不是二次函数，故本选项错误； C、是二次函数，故本选项正确； D、是一次函数，故本选项错误． 故选：C． 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式：；其中是的二次函数的有 （只填序号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥． 故答案是：②，⑤，⑥． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）． 3．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：． 1．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 2．若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的解法．首先根据二次函数的定义可得：、，首先解方程可以得到或，再根据，可得． 【详解】解：函数是二次函数， ， 解一元二次方程， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 又， ， ． 故答案为： ． 3．已知是二次函数，求a． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义得到，求解即可． 【详解】解：是二次函数， ， ， 或． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 1．关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 2．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数，根据二次项系数不能为0列不等式，即可求解 【详解】解：若这个函数是二次函数，则， 即， 解得且． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 2．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 3．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分①当点P从点O运动到点A的过程中，②当点P从点A运动到点B时，③当点P从点B运动到点C过程中，三种情况，分别判断各所对的函数图像即可. 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， ①当点P从点O运动到点A的过程中， S=at·cosα·at·sinα=a2t2sinαcosα， 由于α及a均为常量， ∴本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大； ②当点P从点A运动到点B时， 由反比例函数性质可知四边形OMPN的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与x轴平行的线段； ③当点P从点B运动到点C过程中， OM的长在减小，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应为一段下降的线段， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，判断每个时间段面积的变化，从而确定其图象． 2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【答案】，图见解析 【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况． 【详解】解：平行四边形的高与底边的比是， ， 则， 如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长y与宽x的关系；②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高x的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系 A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①矩形的长y与宽x的关系式为，因此是的反比例函数，故①不符合题意； ②侧面积与圆柱的高x的关系式为：，因此是的正比例函数，故②不符合题意； ③利润y（元）与每件进价x（元）的关系式为： ，因此是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 1．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：． （1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 【答案】（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得； （2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得． 【详解】（1）根据题意列出函数关系式如下： 当时，， 解得，． ∵要抢占市场份额 ∴． 答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台． （2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量． 依据题意得， 当时，，解得，． ∵要继续保持扩大销售量的战略 ∴ 答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【点睛】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 1．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，可得，再利用勾股定理表示，再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中， 在中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴y与x满足的函数关系是二次函数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 3．如图，中，，，，点从点出发，沿边以每秒个单位的速度向终点运动，过点作，交边（或边）于点，设点运动的时间为秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______． (2)当点与点重合时，求的值． (3)若的面积为，求与之间的函数关系式． (4)当线段把分成的两部分图形面积之比为：时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）勾股定理求得，当与点重合时，则，进而勾股定理求得，根据路程除以速度，即可求解； （3）分，两种情况，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （4）同（3）的方法，分2种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∴ 故答案为：． （2）解：在中，，，， ∴，； 当与点重合时，则 ∵，， ∴ 在中， ∴    （3）解：当时，，， ∴ 当时，在上，如图所示，    ∵中，，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ （4）∵中，，，， ∴, ∴， 当时，点在上，当时， 解得：（负值舍去） 当时，则 解得：（舍去）或（舍去） 当时，在上， ∵， ∴ 依题意，时， 即 解得：或（舍去） 当， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，或时，线段把分成的两部分图形面积之比为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，列代数式，分类讨论是解题的关键． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 1．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 1．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 2．与抛物线的形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是的抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线解析式，根据形状相同，但开口方向不同得到，将点代入求解即可得到答案 【详解】解：设抛物线解析式为：， ∵新抛物线与抛物线的形状相同，但开口方向不同， ∴， ∵顶点坐标是， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）设抛物线解析式为，再然后把代入求出a即可； （2）设抛物线解析式为，然后把，，代入得三元一次方程组，解方程组即可； （3）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可； （4）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可． 【详解】（1）解：∵顶点在原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：，，， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线过过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （4）解：∵当时，函数值取得最小值为， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2．（21-22九年级上·河北唐山·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴m=-3或m=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键． 3．（2021九年级·全国·专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 【答案】A 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 4．（18-19九年级·浙江杭州·）若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（    ） （1）                （2）                    （3）                （4） （a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系） （b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系） A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 【答案】A 【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论． 【详解】解：根据题意分析可得： （a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）； （b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）； （c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）； （d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键． 5．（22-23九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】通过，可得到与的函数关系，通过正方形的面积可得到与的函数关系． 【详解】解：， ， ， 所以与是一次函数关系； ， ， 所以与是二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式． 6．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③④是二次函数． 故答案为：①②③④． 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次项的系数不等于零是解题关键．根据形如（，，是常数，）是二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意可得且， 解得：， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ． 【答案】/4.5/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 12．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 13．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数． (1)当m取什么值时，y是x的二次函数． (2)当m取什么值时，y是x的反比例函数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，反比例函数的定义，解一元二次方程及不等式，掌握相关定义是解题关键． （1）根据二次函数的定义列方程和不等式求解即可； （2）根据反比例函数的定义列方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：函数是y关于x的二次函数， ，， 解得：， 即当时，y是x的二次函数； （2）解：函数是y关于x的反比例函数， ，， 解得：， 即当时，y是x的反比例函数． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题； （3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E， ，，， ， ； （2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合）， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， ，， ，， ， ，即， 整理得：， ，， ， ； （3）解：如图1，当时，过点F作于H， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ， ． 如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 15．（2024·山东烟台·一模）如图（图1），点P是线段上与点，点不重合的任意一点，分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线. (1)请直接写出（图）中与的形状关系 ； (2)如（图2），在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，，在格点上请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹： (3)如（图3），在矩形中，，，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点 ①设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②是否存在这样的点，使周长等于周长的倍？若存在，请求出的长度；若不在，请简要说明理由 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，函数关系式； （1）根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证； （2）根据新定义，画出等联角； （3）①分当在线段上时即，当在的延长线上时，则时，证明，根据相似三角形的性质，写出函数关系式，即可求解； ②根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 证明：∵， ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示（方法不唯一） （3）解：①当在线段上时即，如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴ ∴ 当时，即重合，此时重合，则， ∴ 当在的延长线上时，如图所示，则时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴ ∴ ∴ ②∵ ∴当周长等于周长的2倍时， 即，即 当时，， 解得：（舍去）或（舍去） 时， 解得：（舍去）或 ∴存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为 学科网（北京）股份有限公司 $$