第二章 二次函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第二章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 2．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．与轴没有交点 B．经过原点 C．对称轴是直线 D．有最大值 3．（2025九年级下·全国·专题练习）函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）将二次函数的图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位得到图象的解析式应为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，点在二次函数的图象上，且函数有最大值，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知关于的方程的两个根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 8．（24-25九年级上·福建厦门·期中）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（   ） A．野兔经过约，跳跃竖直高度为 B．野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C．野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D．野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 9．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点．则下列结论：；；；点和在抛物线上，当时，则．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的顶点坐标为 ． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象与轴相交，则的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为 元． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 16．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·云南昭通·期中）用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，小贤用配方法将二次函数化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数化为顶点式． 解：             第一步         第二步             第三步             第四步 (1)小贤的解题过程从第 步开始出现错误． (2)用配方法将二次函数化为顶点式． 18．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数． (1)求出此函数的顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与轴交点坐标和轴交点坐标． 19．（24-25九年级上·广西梧州·期中）已知抛物线的图象经过点 (1)求a的值； (2)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 21．（24-25九年级上·重庆·期中）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 22．（24-25九年级上·广西南宁·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 23．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 24．（吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________． ②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围． 25．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． (1)求的值； (2)求的长； (3)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据自变量的次数等于2且系数不等于0列式计算即可． 【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴且， 解得． 故选B． 2．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．与轴没有交点 B．经过原点 C．对称轴是直线 D．有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，令，抛物线的解析式化为顶点式，得到函数图象的对称轴和顶点坐标然后结合开口方向得到函数的增减性逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：令，，故选项B正确，符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象开口向上， ∴函数的最小值为，函数图象与轴有交点， 故A，C，D选项错误 故选：B． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数、二次函数的图象的知识，掌握一次函数、二次函数的图象与系数的关系是解题的关键，注意分类讨论思想的灵活运用． 由抛物线的图象可知时，直线中，，，时， 直线中，，，再判断一次函数图象的位置． 【详解】解∶当时，抛物线开口向上、顶点为原点，对称轴为y轴，在直线中，，，直线经过第一、三、四象限； 当时，抛物线开口向下、顶点为原点，对称轴为y轴，， 在直线中，，，且直线过点，直线经过第一、二、四象限， 故选∶B． 4．（24-25九年级上·山东泰安·期中）将二次函数的图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位得到图象的解析式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出新图象的解析式，由此得解． 【详解】解：， ∵将图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位， ∴新图象的解析式：， 故选：B． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，点在二次函数的图象上，且函数有最大值，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数有最大值，说明，即开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为， ∵函数有最大值， ∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键． 根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线在轴的下方， ∴抛物线的开口向下，且与无交点， ∴， 故选：A ． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知关于的方程的两个根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、根与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据根与系数的关系求出、的值，从而求出二次函数的解析式，令，得，根据轴，得轴，得点的纵坐标为，从而求出点的坐标，进而求出的长． 【详解】解：，， ，， ，， ， 令，， ， 轴， ∴轴， 点的纵坐标为， 把代入， 得， 解得，， ， ； 解法2：由题可知与轴交于点，， 对称轴为直线， 点在轴上，则到对称轴的距离为1， 、关于直线对称轴，则； 故选：A． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期中）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（   ） A．野兔经过约，跳跃竖直高度为 B．野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C．野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D．野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据野兔经过离地面的高度（单位：）的函数图象变化情况逐项进行判断． 【详解】解：根据时，与，可知：野兔经过约，跳跃竖直高度达到，然后继续上升，达到最高点后，开始下降，在跳起后的约第，跳跃竖直高度为，并继续下降， 两次时间差为， 故选项ABC错误，D正确． 故选D． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点．则下列结论：；；；点和在抛物线上，当时，则．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号可判断，由抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则该抛物线与轴另一个交点为，当时，可判断；由抛物线的对称轴为直线，则，又该抛物线与轴交于点，则，故有，可判断；当时，随的增大而减小可判断；熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴该抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，，故错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵该抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴，故正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，则，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 10．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（24-25九年级上·山东泰安·期中）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的特点，掌握二次函数一般式化为顶点式的方法是解题的关键． 根据题意，运用配方法把二次函数一般式化为顶点式，由顶点式得顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴化为顶点式得，， ∴顶点坐标为， 故答案为： ． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象与轴相交，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键．根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为 元． 【答案】52 【分析】设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】解：设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且距离对称轴远的函数值越小， ∵按照物价部门规定销售利润率不高于，即售价不能超过元， ∴， ∴当时，w取得最大值， 故答案为：52． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的是抛物线与轴的交点，确定直线的位置是本题解题的关键．如图，当直线在的位置时，符合题设条件，即可求解． 【详解】解：如图，当直线在的位置时，符合题设条件， 由二次函数知，其对称轴为， 当时，， 则翻折后根据图形的对称性，直线的表达式为：， 即， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故③正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3， 点的横坐标最大值为3，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（24-25九年级上·云南昭通·期中）用配方法可以将二次函数从一般式化为顶点式，小贤用配方法将二次函数化为顶点式的具体过程如下： 用配方法将二次函数化为顶点式． 解：             第一步         第二步             第三步             第四步 (1)小贤的解题过程从第 步开始出现错误． (2)用配方法将二次函数化为顶点式． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，掌握配方的方法是解题的关键． （1）根据配方法的步骤判断即可； （2）根据配方法的步骤配方即可． 【详解】（1）解：             第一步         第二步 第二步加1，还需减1，因此第二步出错， 故答案为：二； （2）解： ． 18．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数． (1)求出此函数的顶点坐标、对称轴； (2)求抛物线与轴交点坐标和轴交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线与轴的交点坐标为或，抛物线与轴的交点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点； （1）先将解析式化为顶点式，根据顶点式，即可求解； （2）分别令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：二次函数， 当时，， 即， ∴或， 解得：， 当时，； ∴抛物线与轴的交点坐标为或，抛物线与轴的交点坐标为 19．（24-25九年级上·广西梧州·期中）已知抛物线的图象经过点 (1)求a的值； (2)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，比较二次函数值的大小： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合解析式可得∴抛物线开口向下，对称轴为直线，则在对称轴左侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵点，都在该抛物线上， ∴． 20．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 21．（24-25九年级上·重庆·期中）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元 (3)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元且不高于52元确定的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即：； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 22．（24-25九年级上·广西南宁·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 23．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1) (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 24．（吉林省白城市部分学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)当时，求二次函数的最大值和最小值． (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________． ②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）由，当时，取最小值为，根据，得当时，取最大值． （3）①根据求出取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点，点代入 得 解得      此二次函数的解析式为． （2）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线．      当时，取最小值为．      ， 当时，取最大值． （3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．      ∴． 当时，，的长度随的增大而增大． 当时，，的长度随增大而减小． 满足题意，解得． 故答案为：； ② ， ， 解得． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点． 25．（云南省昭通市2024-2025学年上学期10月月考九年级数学试卷）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点． (1)求的值； (2)求的长； (3)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的横坐标为或或 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质， （1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知 （2）根据解析式可得顶点的坐标；第一问求得直线解析式，可求得的长． （3）根据题意设和，根据平行四边形的性质分类讨论即可求得答案． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， （2）由（1）可得抛物线解析式为 ∵ ∴顶点， 当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴； （3）存在． ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 设，，则 分类讨论： ①当点在点下方时， ， 解得：，， ②当点在点上方时 ， 解得：（舍去），， 综上所述，点P的横坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$