九年级数学期末模拟卷（广州专用，人教版九上全部+九下反比例函数+相似）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B D A A C C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．1 12．② 13． 14． 15．②③④ 16．， 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分） 【详解】解：， ，，， ················ 1分 ， ·············2分 ， ·······················3分 ，． ··························4分 18．（本题4分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； ················1分 （2）解：如图所示，即为所求图形； ··············2分 （3）解：根据题意得，，， ∴，， ∴线段扫过的面积为=． ············4分 19．（本题6分） 【答案】教学大楼的高度是米 【详解】解：∵由题意得，，， ∴， ············· 2分 ∴，即， ············· 5分 解得：，               答：教学楼的高度是米． ··········· 6分 20．（本题6分） 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． ··················· 2分 （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． ··················· 4分 （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． ··············· 6分 21．（本题8分） 【详解】（1）解：总人数（人）， A类型人数（人） ············· 1分 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， ·············· 2分 故答案为40，； （2）解：补全条形统计图如图所示， ············· 5分 （3）解：将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4. 根据题意，列表如下： 班级 1 2 3 4 1 2 3 4 如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种， 恰好选中2班和3班的概率是． ··················8分 22．（本题10分） 【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10；·························4分 （2）解：设该包装盒的容积为， ∴． ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为．·····················10分 23．（本题10分） 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ，····················2分 ， ， ，且为半径， 为的切线；··············· 4分 （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，．·····················6分 ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，．··············· 8分 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． ···················10分 24．（本题12分） 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ， ························· 1分 ， ， ························· 2分 ， ； ······················ 3分 （2）解：，设，如图，画函数的图像， 由图可知： ①当时，可得或， ②当时，可得， ③当，可得或， 综上所述：当或时，；当时，；当或时，； ················ 6分 （3）解：设直线的解析式为：， 将点和点代入得：， 解得：， 直线的解析式为：． ①如图：当直线经过抛物线、的交点时，联立抛物线与的解析式可得：①， 联立直线与抛物线的解析式可得：，则，②， 当时，把代入得：， 把，代入直线的解析式得：， ， ，此时直线与抛物线、，的公共点恰好为三个不同点， 当时，把代入①得：，该方程判别式，所以该方程没有实数根； ·························· 8分 ②如图：当直线与抛物线只有一个公共点时， 联立直线与抛物线可得：， 此时，即， ， ， 由①而知直线与抛物线公共点的横坐标为，， 当时，， ， 所以此时直线与抛物线、的公共点恰好为三个不同点； ·························10分 ③如图：当直线与抛物线只有一个公共点， ，， ， 联立直线与抛物线可得：， ， 当时，， 此时直线与抛物线、的公共点只有一个， ， 综上所述：或 或或．·························· 12分 25．（本题12分） 【详解】解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； ··················· 2分 （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ·························· 7分 （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；·························10分 同理，当在点左边时，如图 ， ∴； ·················· 12分 综上所述，的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第26章反比例函数+第27章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 6．如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．不解方程，判定关于的方程的根的情况是（   ） A．随值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 8． 2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 15．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 16．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）用适当的方法解下列方程：． 18．（本题4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将绕点C按顺时针方向旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积． 19．（本题6分）小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 20．（本题6分）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 21．（本题8分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； (2)请补全条形统计图； (3)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 22．（本题10分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 23．（本题10分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为． (1)试求点坐标以及，的值（用含的代数式表示）； (2)当时，探究与的大小关系； (3)经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为个不同点时，直接写出的值． 25．（本题12分）综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第26章反比例函数+第27章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 3．用配方法解方程时，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， ． ∴是等边三角形， ， 故选：A． 6．如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 7．不解方程，判定关于的方程的根的情况是（   ） A．随值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 【答案】C 【详解】解：， ∴方程有两个实数根， 故选：． 8． 2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：C． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作AM垂直CD交CD于M点， ∵FG、FH垂直菱形ABCD的边AB, BC ∴AM=EG=FH ∵AB=2，∠A= 120°在菱形ABCD中 ∴, ∵FG、FH过菱形ABCD的对称中心O, ∴四边形EFGH是矩形，由∠A= 120°， ∴∠EOH=60°∠GEF =30° ∴, ∴四边形EFGH的周长为 故选：C 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 答案为： 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【答案】② 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为， ③“向上一面的点数不小于”的可能性为， ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①对称轴有可能大于0，故此项不正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：②③④． 16．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    【答案】 / 【详解】解：连接，如图所示：   ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）用适当的方法解下列方程：． 【详解】解：， ，，， ················ 1分 ， ·············2分 ， ·······················3分 ，． ··························4分 18．（本题4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将绕点C按顺时针方向旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； ················1分 （2）解：如图所示，即为所求图形； ··············2分 （3）解：根据题意得，，， ∴，， ∴线段扫过的面积为=． ············4分 19．（本题6分）小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 【答案】教学大楼的高度是米 【详解】解：∵由题意得，，， ∴， ············· 2分 ∴，即， ············· 5分 解得：，               答：教学楼的高度是米． ··········· 6分 20．（本题6分）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． ··················· 2分 （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． ··················· 4分 （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． ··············· 6分 21．（本题8分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； (2)请补全条形统计图； (3)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 【详解】（1）解：总人数（人）， A类型人数（人） ············· 1分 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， ·············· 2分 故答案为40，； （2）解：补全条形统计图如图所示， ············· 5分 （3）解：将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4. 根据题意，列表如下： 班级 1 2 3 4 1 2 3 4 如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种， 恰好选中2班和3班的概率是． ··················8分 22．（本题10分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10；·························4分 （2）解：设该包装盒的容积为， ∴． ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为．·····················10分 23．（本题10分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ，····················2分 ， ， ，且为半径， 为的切线；··············· 4分 （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，．·····················6分 ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，．··············· 8分 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． ···················10分 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为． (1)试求点坐标以及，的值（用含的代数式表示）； (2)当时，探究与的大小关系； (3)经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为个不同点时，直接写出的值． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ， ························· 1分 ， ， ························· 2分 ， ； ······················ 3分 （2）解：，设，如图，画函数的图像， 由图可知： ①当时，可得或， ②当时，可得， ③当，可得或， 综上所述：当或时，；当时，；当或时，； ················ 6分 （3）解：设直线的解析式为：， 将点和点代入得：， 解得：， 直线的解析式为：． ①如图：当直线经过抛物线、的交点时，联立抛物线与的解析式可得：①， 联立直线与抛物线的解析式可得：，则，②， 当时，把代入得：， 把，代入直线的解析式得：， ， ，此时直线与抛物线、，的公共点恰好为三个不同点， 当时，把代入①得：，该方程判别式，所以该方程没有实数根； ·························· 8分 ②如图：当直线与抛物线只有一个公共点时， 联立直线与抛物线可得：， 此时，即， ， ， 由①而知直线与抛物线公共点的横坐标为，， 当时，， ， 所以此时直线与抛物线、的公共点恰好为三个不同点； ·························10分 ③如图：当直线与抛物线只有一个公共点， ，， ， 联立直线与抛物线可得：， ， 当时，， 此时直线与抛物线、的公共点只有一个， ， 综上所述：或 或或．·························· 12分 25．（本题12分）综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 【详解】解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； ··················· 2分 （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ·························· 7分 （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；·························10分 同理，当在点左边时，如图 ， ∴； ·················· 12分 综上所述，的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4 分） 19．（6 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第 26 章反比例函数+第 27 章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列 博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项 A、B、C 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以不是中 心对称图形； 选项 D 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 2．抛物线  23 2y x  的顶点坐标是（ ） A．  0, 2 B．  2,0 C．  2,0 D．  0,2 【答案】B 【详解】解：∵ 抛物线  2y a x k  的顶点坐标为  k ，0 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 抛物线  23 2y x  的顶点坐标为  2,0 ． 故选：B． 3．用配方法解方程 2 2 3x x  时，下列配方正确的是（ ） A． 2( 1) 2x  B． 2( 1) 4x  C． 2( 2) 5x   D． 2( 2) 7x   【答案】B 【详解】解： 2 2 3x x  ， 配方，得： 2 2 1 4x x   ， 即：  21 4x   ． 故选：B． 4．如图，CD是 O 的直径， AB CD 于点M ．若 8AB  ， 2MC  ，则OM 长是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接OA， ∵ CD是 O 的直径， AB CD ， ∴ 1 4 2 AM AB  ， 设OA OC r  ，则 2OM OC CM r    ， 在Rt AOM△ 中，由勾股定理得 2 2 2OA OM AM  ， ∴  22 22 4r r   ， ∴ = 5r ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 2 3OM r   ， 故选：D． 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 30ACB  ， 10AC  ，将Rt ABC△ 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C △ ， 使点B落在 AC 边上，连接CC，则CC的长度是（ ） A．10 B．20 C．10 3 D．20 3 【答案】A 【详解】解：将Rt ABC△ 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C △ ， AC AC   ， BAC B AC    ， 90B   ， 30ACB  ， 10AC  ， 60BAC B AC     ． ∴ ACC△ 是等边三角形， 10CC AC   ， 故选：A． 6．如图所示，在 O 中， AB AC ， 36A  ，则 B 等于（ ） A．72 B．70 C．68 D．66 【答案】A 【详解】解：∵  AB AC ， ∴ AB AC ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴  1 180 72 2 B C A      ； 故选：A． 7．不解方程，判定关于 x的方程 2 1 0x kx k    的根的情况是（ ） A．随 k 值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 【答案】C 【详解】解：  2 4 1 1k k      ， 2 4 4k k    22 0k   ∴ 方程有两个实数根， 故选：C ． 8． 2024 年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引 更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有 6 万个座位，足以容纳数万 人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同 一出口走出的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 【答案】C 【详解】解：画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有 3 种， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 他们恰好从同一出口走出的概率是 3 1 9 3  ， 故选：C． 9．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点 O 分别作边 AB、BC 的垂线并延长， 交各边于点 E、F、G、H，则四边形 EFGH 的周长为（ ） A．2+2 3 B．2+ 3 C．3+ 3 D．1+2 3 【答案】C 【详解】解：如图，过点 A 作 AM 垂直 CD 交 CD 于 M 点， ∵ FG、FH 垂直菱形 ABCD 的边 AB, BC ∴ AM=EG=FH ∵ AB=2，∠A= 120°在菱形 ABCD 中 ∴ 2, 3AD AM EG FH    , ∵ FG、FH 过菱形 ABCD 的对称中心 O, ∴ 四边形 EFGH 是矩形，由∠A= 120°， 90AEO AHO     ∴ ∠ EOH=60°∠GEF =30° ∴ 3 2 FG  , 3 2 EF  ∴ 四边形 EFGH 的周长为3 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 故选：C 10．对于二次函数 2y ax bx c   ，规定函数 2 2 ( 0) ( 0) ax bx c x y ax bx c x           是它的相关函数．已知点 M，N 的坐标 分别为 1 ( ,1) 2  ， 9 ( ,1) 2 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象有两个公共点， 则 n 的取值范围为（ ） A． 3 1n    或 5 1 4 n  B． 3 1n    或 51 4 n  C． 1n   或 5 1 4 n  D． 3 1n    或 1n  【答案】B 【详解】解：如图 1 所示：线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 1 个公共点． 所以当 2x  时， 1y  ，即 4 8 1n    ， 解得 3n   ． 如图 2 所示：线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 3 个公共点． ∵ 抛物线 2 4y x x n   与 y 轴交点纵坐标为 1， ∴ 1n  ， 解得： 1n   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ 当 3 1n    时，线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 2 个公共点． 如图 3 所示：线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 3 个公共点． ∵ 抛物线 2 4y x x n    经过点(0,1)， ∴ 1n  ． 如图 4 所示：线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 2 个公共点． ∵ 抛物线 2 4y x x n   经过点 1 ( ,1) 2 M  ， ∴ 1 2 1 4 n   ， 解得： 5 4 n  ． ∴ 5 1 4 n  时，线段MN 与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象恰有 2 个公共点． 综上所述，n 的取值范围是 3 1n    或 5 1 4 n  ， 故选：B． 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知关于 x的一元二次方程 2( 1) 3 2 1 0a x x a     有一个根为𝑥 = 1，则a的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【答案】1 【详解】解：把𝑥 = 1代入方程得： 1 3 2 1 0a a     ， 解得： 1a  ， 答案为：1 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列 3 个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数 是 3 的倍数：③向上一面的点数不小于 3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【答案】② 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为 1 2 ， ②“向上一面的点数是 3 的倍数”的可能性为 1 3 ， ③“向上一面的点数不小于3 ”的可能性为 2 3 ， 2 3 11 2 3   ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形 BEFG 是以原点O为位似中心的位似图形，且位似 比为 1 3 ．点 A B E、 、 在 x轴上，若正方形 BEFG 的边长为6，则C 点坐标为 ． 【答案】  3,2 【详解】解：∵ 正方形 ABCD与正方形 BEFG 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 1 3 ， ∴ 1 3 AD BG  ， ∵ 6BG  ， ∴ 2AD BC  ， ∵ 四边形 ABCD是正方形， ∴ AD BG∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ OAD OBG∽△ △ ， ∴ 1 3 OA OB  ， ∴ 1 2 3 OA OA   ， ∴ 1OA  ， ∴ 3OB  ， ∴ C 点坐标为  3,2 ， 故答案为：  3,2 ． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为 3km，母线长为4 3km，欲从 A 处修一条最近的盘山公路到 景点 B（B 位于母线PA 的中点处），那么这条盘山公路的长度是 km． 【答案】2 15 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，B 为 1PA 的中点，连接 AB ，则 AB 是这条盘山公路的长度，设展 开图的圆心角为n． ∴ 1 1 2 3km 2 PB PA  ， ∵ 圆锥的底面半径是 3， ∴ 1AA 的长为2π 3 2 3π  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ π 4 3 2 3π 180 n   ， 解得： 90n  ， ∴    2 24 3 2 3 2 15(km)AB    ， 故答案为：2 15． 15．已知一个二次函数 2y ax bx c   的自变量 x与函数 y 的几组对应值如下表： x … 4 2 0 3 5 … y … m n 0 3 h … 其中 4 3 m n   ， 3h   ，现有以下表述：①当 0x  时， y 随 x的增大而减小；②图象不经过第二象限； ③关于 x的一元二次方程  2 0 0ax bx c a    一定有一个小于 3 的正数根；④当 13m n   时， 1 2 a   ．其 中正确的结论序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①对称轴有可能大于 0，故此项不正确；② 4 2   时， 4 3 m n   ，且经过  0,0 ，由① 得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当 3x  时， 3 0y    ，当 0x  时， 0y  ，由②得：关于 x的 一元二次方程  2 0 0ax bx c a    一定有一个小于 3 的正数根，故此项正确；④当 3x  时， = 3y  ，当 0x  时， 0y  ， 0c  ，9 3 3a b   ， 3 1b a    ，当 4x   时，y m ，当 2x   时，y n ， 16 4a b m   ， 4 2a b n  ， 20 6m n a b    ，  20 6 3 1 13a a      ，解得： 1 2 a   ，故此项正确； 故答案：②③④． 16．如图，已知矩形 ABCD， 2AB  ， 3BC  ，E 、F 分别是边BC 、CD上的动点，且BE CF ，将 BCF 沿着BC 方向向右平移到 EGH ，连接DH 、EH ，当DE EH 时，DH 长是 ；运动过程中， DEH△ 的面积的最小值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【答案】 2 5 3 / 2 5 3 15 8 【详解】解：连接FH ，如图所示： EGH BCF≌△ △ ， 90DCB G    ， FC GH ， 3BC EG  ， FC GH ∥ ， BE CG ， 四边形FCGH 是平行四边形，  90FCG  ， 四边形FCGH 是矩形， BE CF ， CG CF  ， 四边形CGHF 为正方形， FH CF  ， 设BE x ，则CF FH HG x   ， 3EC x   ， DE EH ， 2 2 2 2(3 ) 2 3x x     ，解得 2 3 x  ， 2 3 CF FH   ， 2 4 2 2 3 3 DF x      ， 2 2 2 5 3 DH DF FH    ； DEH DEC EHGDCGHS S S S     梯形    1 1 13 2 2 3 2 2 2 x x x x         21 3 3 2 2 x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 2 1 3 15 2 2 8 x       ，  1 0 2  ， DEH 的面积的最小值是 15 8 ， 故答案为： 2 5 3 ， 15 8 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）用适当的方法解下列方程： 23 5 1 0x x   ． 【详解】解： 23 5 1 0x x   ， 3a  ， 5b   ， 1c  ， ················ 1 分  22 4 5 4 3 1 13 0b ac          ， ·············2 分 2 4 5 13 2 2 3 b b ac x a         ， ·······················3 分 1 5 13 6 x    ， 2 5 13 6 x   ． ··························4 分 18．（本题 4 分）如图，网格中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， ABC 的顶点均在小正方形的格点 上． (1)将 ABC 向下平移 3 个单位长度得到 1 1 1A B C ，画出 1 1 1A B C ； (2)将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转90得到 2 2 2A B C ，画出 2 2 2A B C ； (3)在（2）的条件下，请求出线段 AB 在旋转过程中扫过的面积． 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1A B C 即为所求图形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ················1 分 （2）解：如图所示， 2 2 2A B C 即为所求图形； ··············2 分 （3）解：根据题意得， 21 2 5CB    ， 21 3 10CA    ， ∴   2 2 290π· 1 5 π 10 π 360 4 2CAA CA S     扇形 ，   2 2 2 290π· 1 5π 5 π 360 4 4CBB CB S     扇形 ， ∴ 线段𝐴𝐵扫过的面积为= 2 2 22 2 5 5 5 π π π 2 4 4ABC A B CCAA CBB S S S S      扇形 扇形 ． ············4 分 19．（本题 6 分）小颖同学学了本学期第四单元第 6 节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自 己学校教学楼 AB 的高度．如图，她在与教学楼底部 A 同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的 距离 24AE  米，然后在射线 AE 上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 B，此 时她与镜子的距离 2CE  米，若小颖的眼睛距离地面高度 1.5CD  米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼 的高度 AB 是多少米？ 【答案】教学大楼的高度 AB 是18米 【详解】解：∵ 由题意得， AEB CED   ， 90BAE DCE   ， ∴ ABE CDE∽△△ ， ············· 2 分 ∴ AB AE CD CE  ，即 24 1.5 2 AB  ， ············· 5 分 解得： 18AB  ， 答：教学楼的高度 AB 是18米． ··········· 6 分 20．（本题 6 分）如图，反比例函数  0ky k x   与正比例函数  0y mx m  的图象交于点  2, 4A  和点 B ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 点C 是点A 关于 y 轴的对称点，连接 AC ， BC ． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求 ABC 的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式 k mx x  的解集． 【详解】（1）解：把点  2, 4A  代入  0ky k x   得： 4 2 k   ， ∴ 8k   ， ∴ 反比例函数的解析式为 8 y x   ． ··················· 2 分 （2）解：∵ 反比例函数  0ky k x   与正比例函数  0y mx m  的图象交于点  2, 4A  和点 B， ∴  2, 4B  ， ∵ 点C 是点A 关于 y 轴的对称点， ∴  2,4C ， ∴ 4AC  ． ∴  1 4 4 4 16 2ABC S      ． ··················· 4 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （3）解：反比例函数  0ky k x   与正比例函数  0y mx m  的图象交于点  2, 4A  和点  2, 4B  ， 所以根据图象得：不等式 k mx x  的解集为 2 0x   或 2x  ． ··············· 6 分 21．（本题 8 分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校 9 月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进 新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最 受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中 A 部分圆心角的度数是_______； (2)请补全条形统计图； (3)学校从 1 班，2 班，3 班，4 班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中 2 班和 3 班的概率． 【详解】（1）解：总人数 18 45% 40   （人）， A 类型人数 40 12 18 4 6     （人） ············· 1 分 扇形统计图中 A 部分圆心角的度数为 6 360 54 40   ， ·············· 2 分 故答案为 40，54； （2）解：补全条形统计图如图所示， ············· 5 分 （3）解：将 1 班，2 班，3 班，4 班分别记为 1，2，3，4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 根据题意，列表如下： 班级 1 2 3 4 1 (2,1)  3,1  4,1 2  1,2  3,2  4,1 3  1,3 (2,3)  4,3 4 (1,4)  2,4  3,4 如表，所有可能发生的结果共有 12 种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中 2 班和 3 班的有 2 种， 恰好选中 2 班和 3 班的概率是 2 1 12 6  ． ··················8 分 22．（本题 10 分）2024 年 9 月 10 日是我国第 40 个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加 快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高 为 cmx ． (1)若此包装盒的容积为 31500cm ，请列出关于 x 的方程，并求出 x 的值． (2)是否存在这样的 x 的值，使得此包装盒的容积为 31560cm ？若存在，请求出相应的 x 的值；若不存在，请 说明理由． 【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为15cm，宽为  40 2 2 20 cm x x   ，高为 cmx ， ∵ 此包装盒的容积为 31500cm ， ∴  20 15 1500x x   ， 解得： 1 2 10x x  ， ∴ x 的值为 10；·························4 分 （2）解：设该包装盒的容积为 3cmy ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴    220 15 15 10 1500y x x x       ． ∵ 15 0  ， ∴ 当 10x  时，此包装盒的容积最大，最大容积为 31500cm ， ∴ 不存在这样的 x 的值，使得此包装盒的容积为 31560cm ．·····················10 分 23．（本题 10 分）如图，已知直线PA 交 O 于A 、 B 两点， AE 是 O 的直径，点C 为 O 上一点，且 AC 平分 PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D． (1)求证：CD为 O 的切线； (2)若 6DC DA  ， O 的直径为10，求 AB 的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接OC ， OA OC ， OCA OAC  ， AC 平分 PAE ， DAC CAO  ， DAC OCA  ，····················2 分 PB OC  ， CD PA ， CD OC  ，且CO为 O 半径， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 CD 为 O 的切线；··············· 4 分 （2）解：如下图所示，过O作OF AB ，垂足为F ， 90OCD CDA OFD    ， 四边形DCOF 为矩形， OC FD  ，OF CD ．·····················6 分 6DC DA  ， 设 AD x ，则 6OF CD x   ， O 的直径为 10， 5DF OC   ， 5AF x   ， 在 Rt △ AOF 中，由勾股定理得 2 2 2AF OF OA  ． 即 2 2(5 ) (6 ) 25x x    ， 化简得 2 11 18 0x x   ， 解得 1 2x  ， 2 9x  ．··············· 8 分 6CD x  大于 0，故 9x  舍去， 2x  ， 从而 2AD  ， 5 2 3AF    ， OF AB ，由垂径定理知，F 为 AB 的中点， 2 6AB AF   ． ···················10 分 24．（本题 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线   1 4y x x n    与 x轴交于点A 和点   0 4B n n  ， ，顶 点坐标记为  1 1h k， ．抛物线  2 22 2 2 9y x n n n      的顶点坐标记为  2 2h k， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 (1)试求A 点坐标以及 1k ， 2k 的值（用含n 的代数式表示）； (2)当 4 4n   时，探究 1k 与 2k 的大小关系； (3)经过点  22 9 5M n n ， 和点  22 9 5N n n， 的直线与抛物线   1 4y x x n    ，  2 22 2 2 9y x n n n      的公共点恰好为3个不同点时，直接写出n 的值． 【详解】（1）解：令 1 0y  ，则   4 0x x n    ， 解得： 1 4x   ， 2x n ， 𝐴(−4,0)， ························· 1 分     2 2 1 4 1 4 2 4 2 4 n y x x n x n n               ，  21 1 2 4 4 k n n   ， ························· 2 分   2 22 2 2 9y x n n n      ，  22 2 9k n n    ； ······················ 3 分 （2）解：       2 2 2 21 2 1 5 5 52 4 2 9 5 4 2 24 4 4 4k k n n n n n n n n               ，设    5 2 2 4 w n n   ， 如图，画函数w的图像， 由图可知： ①当   5 2 2 0 4 n n   时，可得 2n  或 2n   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ②当   5 2 2 0 4 n n   时，可得 2 2n   ， ③当   5 2 2 0 4 n n   ，可得 2n  或 2n   ， 综上所述：当 4 2n    或2 4n  时， 1 2k k ；当 2 2n   时， 1 2k k ；当 2n  或 2n   时， 1 2k k ； ················ 6 分 （3）解：设直线MN 的解析式为： y kx b  ， 将点  22 9 5M n n ， 和点  22 9 5N n n， 代入得：   2 2 2 9 5 2 9 5 n k b n nk b n          ， 解得： 2 1 5 2 9 k b n n        ， 直线MN 的解析式为： 25 2 9y x n n     ． ①如图：当直线MN 经过抛物线  21 4 4y x n x n     、 2 22 4 5 2 9y x nx n n      的交点时，联立抛物线 1y 与 2y 的解析式可得：  25 4 5 2 9n x n n     ①， 联立直线 25 2 9y x n n     与抛物线 2 22 4 5 2 9y x nx n n      的解析式可得：  2 4 1 0x n x   ，则 1 0x  ， 2 1 4x n  ②， 当 1 0x  时，把 1 0x  代入 1y 得： 4y n ， 把 1 0x  ， 4y n 代入直线MN 的解析式得： 24 5 2 9n n n    ，  25 2 9 0n n   ，  1 46 5 n    ，此时直线MN 与抛物线 1y 、 2y ，的公共点恰好为三个不同点， 当 2 1 4x n  时，把 2 1 4x n  代入①得：    25 4 1 4 5 2 9n n n n      ，该方程判别式 0  ，所以该方程 没有实数根； ·························· 8 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 ②如图：当直线MN 与抛物线  21 4 4y x n x n     只有一个公共点时， 联立直线 25 2 9y x n n     与抛物线  21 4 4y x n x n     可得：  2 23 5 2 9 0x n x n n       ， 此时 0  ，即    2 23 4 5 2 9 0n n n     ，  221 2 27 0n n   ，  1 2 142 21 n    ， 由①而知直线MN 与抛物线 2 22 4 5 2 9y x nx n n      公共点的横坐标为 1 0x  ， 2 1 4x n  ， 当 1 2 142 21 n    时，1 4 0n  ，  1 2x x ， 所以此时直线MN 与抛物线 1y 、 2y 的公共点恰好为三个不同点； ·························10 分 ③如图：当直线MN 与抛物线 2 22 4 5 2 9y x nx n n      只有一个公共点，  1 0x  ， 2 1 4x n  ，  1 4 n  ， 联立直线 25 2 9y x n n     与抛物线  21 4 4y x n x n     可得：  2 23 5 2 9 0x n x n n       ，    2 2 2Δ 3 4 5 2 9 21 2 27n n n n n        ， 当 1 4 n  时， 0  ， 此时直线MN 与抛物线 1y 、 2y 的公共点只有一个，  1 4 n  ， 综上所述： 1 46 5 n    或 1 46 5 n    或 1 2 142 21 n    或 1 2 142 21 n    ．·························· 12 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 25．（本题 12 分）综合与实践已知： 90MBN  ，在 BM 和BN 上截取BA BC ，将线段 AB 边绕点 A 逆时 针旋转  0 180    得到线段 AD，点 E 在射线BD上，连接CE ， 45BEC  ． 【特例感知】 （1）如图 1，若旋转角 90  ，则BD与CE 的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图 2，试探究在旋转的过程中BD与CE 的数量关系是否发生改变？若不变，请求BD与CE 的数量关 系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形 ABCD中， 5AD AB BC   ， 90ABC  ，点E在直线BD上， 45BEC  ， 4 2CE  ， 请直接写出 CDE 的面积． 【详解】解：（1）∵ 将线段 AB 边绕点 A 逆时针旋转 90  得到线段 AD，BA BC ∴ BA BC AD  ， 90MBN BAD   ， ∴ BC AD∥ ， 2 2 2BD AD AB AB   ， ∴ 四边形 ABCD是正方形， ∴ 45BDC  ，BA BC AD CD   ∵ 点 E 在射线BD上， 45BEC  ， ∴ 此时D、E 重合， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 ∴ BA CD CE  ， ∴ 2 2BD AB CE  ； ··················· 2 分 （2）在旋转的过程中 2BD CE 不变，理由如下： 如图，过A 作 AG BD 于G ，过C 作CF BD 于F ，则 90AGB BFC   ， ∵ 将线段 AB 边绕点 A 逆时针旋转 得到线段 AD， ∴ BA AD ， ∴ 2BD BG ， ∵ 90MBN  ， ∴ 90ABG CBF BCF CBF     ， ∴ ABG BCF   ， ∵ BA BC ， ∴  AASABG BCF ≌ ， ∴ BG CF ， ∵ 45BEC  ， 90EFC  ， ∴ 45BEC ECF   ， ∴ FC EF ， ∴ FC EF BG  ， ∴ 2 2 2 2 2CE CF EF BG BG BG     ， ∴ 2 2BD BG CE  ； ·························· 7 分 （3）当E 在点 B 右边时，如图，过A 作 AG BD 于G ，过C 作CF BD 于F ，则 90AGB BFC EFC     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 ∵ 90ABC  ， ∴ 90ABG CBF BCF CBF     ， ∴ ABG BCF   ， ∵ BA BC ， ∴  AASABG BCF ≌ ， ∴ BG CF ， AG BF ， ∵ 45BEC  ， 90EFC  ， ∴ 45BEC ECF   ， ∴ FC EF ， ∴ FC EF BG  ， ∴ 2 2 2 2 2CE CF EF BG BG BG     ， ∵ 4 2CE  ， ∴ 4FC EF BG   ， ∴ 2 2 2 25 4 3AG BF BC CF      ， ∵ 5AD AB BC   ， ∴ 2 2 2 25 3 4DG AD AG     ， ∴ 4 4 8BD BG DG     ， ∴ 8 4 3 1DE BD BF EF       ， ∴ 1 1 1 4 2 2 2CDE S DE CF      ；·························10 分 同理，当E 在点 B 左边时，如图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 8 4 3 9DE BD BE BD EF BF         ， ∴ 1 1 9 4 18 2 2CDE S DE CF      ； ·················· 12 分 综上所述， CDE 的面积为2或18． 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第 26 章反比例函数+第 27 章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下 列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线  23 2y x  的顶点坐标是（ ） A．  0, 2 B．  2,0 C．  2,0 D．  0,2 3．用配方法解方程 2 2 3x x  时，下列配方正确的是（ ） A． 2( 1) 2x  B． 2( 1) 4x  C． 2( 2) 5x   D． 2( 2) 7x   4．如图，CD是 O 的直径， AB CD 于点M ．若 8AB  ， 2MC  ，则OM 长是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 30ACB  ， 10AC  ，将Rt ABC△ 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C △ ， 使点B落在 AC边上，连接CC，则CC的长度是（ ） A．10 B．20 C．10 3 D．20 3 6．如图所示，在 O 中， AB AC ， 36A  ，则 B 等于（ ） A．72 B．70 C．68 D．66 7．不解方程，判定关于 x的方程 2 1 0x kx k    的根的情况是（ ） A．随 k值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 8． 2024 年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引 更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有 6 万个座位，足以容纳数万 人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同 一出口走出的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 9．如图，在菱形 ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点 O分别作边 AB、BC的垂线并延长， 交各边于点 E、F、G、H，则四边形 EFGH的周长为（ ） A．2+2 3 B．2+ 3 C．3+ 3 D．1+2 3 10．对于二次函数 2y ax bx c   ，规定函数 2 2 ( 0) ( 0) ax bx c x y ax bx c x           是它的相关函数．已知点 M，N的坐 标分别为 1 ( ,1) 2  ， 9 ( ,1) 2 ，连接MN，若线段MN与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象有两个公共 点，则 n的取值范围为（ ） A． 3 1n    或 5 1 4 n  B． 3 1n    或 51 4 n  C． 1n   或 5 1 4 n  D． 3 1n    或 1n  试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知关于 x的一元二次方程 2( 1) 3 2 1 0a x x a     有一个根为𝑥 = 1，则a的值为 ． 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列 3 个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点 数是 3 的倍数：③向上一面的点数不小于 3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位 似比为 1 3 ．点 A B E、 、 在 x轴上，若正方形 BEFG的边长为6，则C点坐标为 ． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为 3km，母线长为4 3km，欲从 A处修一条最近的盘山公路到 景点 B（B位于母线PA的中点处），那么这条盘山公路的长度是 km． 15．已知一个二次函数 2y ax bx c   的自变量 x与函数 y的几组对应值如下表： x … 4 2 0 3 5 … y … m n 0 3 h … 其中 4 3 m n   ， 3h   ，现有以下表述：①当 0x  时， y随 x的增大而减小；②图象不经过第二象限； ③关于 x的一元二次方程  2 0 0ax bx c a    一定有一个小于 3 的正数根；④当 13m n   时， 1 2 a   ．其中正确的结论序号是 ． 16．如图，已知矩形 ABCD， 2AB  ， 3BC  ，E、F 分别是边BC、CD上的动点，且BE CF ，将 BCF 沿着BC方向向右平移到 EGH ，连接DH 、EH ，当DE EH 时，DH 长是 ；运动过程中， DEH△ 的面积的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）用适当的方法解下列方程： 23 5 1 0x x   ． 18．（本题 4 分）如图，网格中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， ABC 的顶点均在小正方形的格 点上． (1)将 ABC 向下平移 3 个单位长度得到 1 1 1ABC ，画出 1 1 1ABC ； (2)将 ABC 绕点 C按顺时针方向旋转90得到 2 2 2A B C ，画出 2 2 2A B C ； (3)在（2）的条件下，请求出线段 AB在旋转过程中扫过的面积． 19．（本题 6 分）小颖同学学了本学期第四单元第 6 节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量 自己学校教学楼 AB的高度．如图，她在与教学楼底部 A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学 楼的距离 24AE  米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B， 此时她与镜子的距离 2CE  米，若小颖的眼睛距离地面高度 1.5CD  米，请你帮小颖利用这些数据求出教 学楼的高度 AB是多少米？ 20．（本题 6 分）如图，反比例函数  0ky k x   与正比例函数  0y mx m  的图象交于点  2, 4A  和点B， 点C是点A 关于 y轴的对称点，连接 AC， BC． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求 ABC 的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式 k mx x  的解集． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … 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，垂足为D． (1)求证：CD为 O 的切线； (2)若 6DC DA  ， O 的直径为10，求 AB的长度． 24．（本题 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线   1 4y x x n    与 x轴交于点A 和点   0 4B n n  ， ， 顶点坐标记为  1 1h k， ．抛物线  2 22 2 2 9y x n n n      的顶点坐标记为  2 2h k， ． (1)试求A 点坐标以及 1k ， 2k 的值（用含n的代数式表示）； (2)当 4 4n   时，探究 1k 与 2k 的大小关系； (3)经过点  22 9 5M n n ， 和点  22 9 5N n n， 的直线与抛物线   1 4y x x n    ，  2 22 2 2 9y x n n n      的公共点恰好为3个不同点时，直接写出n的值． 25．（本题 12 分）综合与实践已知： 90MBN  ，在 BM 和BN 上截取BA BC ，将线段 AB边绕点 A逆 时针旋转  0 180    得到线段 AD，点 E在射线BD上，连接CE， 45BEC  ． 【特例感知】 （1）如图 1，若旋转角 90  ，则BD与CE的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图 2，试探究在旋转的过程中BD与CE的数量关系是否发生改变？若不变，请求BD与CE的数量 关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图 3，在四边形 ABCD中， 5AD AB BC   ， 90ABC  ，点 E在直线BD上， 45BEC  ， 4 2CE  ，请直接写出 CDE 的面积． 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第26章反比例函数+第27章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 6．如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．不解方程，判定关于的方程的根的情况是（   ） A．随值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 8． 2024年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有6万个座位，足以容纳数万人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点O分别作边AB、BC的垂线并延长，交各边于点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．2+2 B．2+ C．3+ D．1+2 10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 15．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是 ． 16．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题4分）用适当的方法解下列方程：． 18．（本题4分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将绕点C按顺时针方向旋转得到，画出； (3)在（2）的条件下，请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积． 19．（本题6分）小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 20．（本题6分）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 21．（本题8分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______； (2)请补全条形统计图； (3)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率． 22．（本题10分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 23．（本题10分）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为． (1)试求点坐标以及，的值（用含的代数式表示）； (2)当时，探究与的大小关系； (3)经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为个不同点时，直接写出的值． 25．（本题12分）综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上全部+九下第 26 章反比例函数+第 27 章相似。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列 博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线  23 2y x  的顶点坐标是（ ） A．  0, 2 B．  2,0 C．  2,0 D．  0,2 3．用配方法解方程 2 2 3x x  时，下列配方正确的是（ ） A． 2( 1) 2x  B． 2( 1) 4x  C． 2( 2) 5x   D． 2( 2) 7x   4．如图，CD是 O 的直径， AB CD 于点M ．若 8AB  ， 2MC  ，则OM 长是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ， 30ACB  ， 10AC  ，将Rt ABC△ 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C △ ， 使点B落在 AC边上，连接CC，则CC的长度是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．10 B．20 C．10 3 D．20 3 6．如图所示，在 O 中， AB AC ， 36A  ，则 B 等于（ ） A．72 B．70 C．68 D．66 7．不解方程，判定关于 x的方程 2 1 0x kx k    的根的情况是（ ） A．随 k值的变化而变化 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无实数根 8． 2024 年我市率先实践“办好演唱会，带火一座城”模式，让“华北地区重要演艺中心”成为新名片，吸引 更多游客前来探索与品味．红灯笼体育场，作为太原的标志性建筑之一，拥有 6 万个座位，足以容纳数万 人共襄音乐盛举．如图是该体育场的出入口示意图．歌迷甲、乙从同一入口进入，结束后，他们恰好从同 一出口走出的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 9．如图，在菱形 ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，过菱形的对角线交点 O分别作边 AB、BC的垂线并延长， 交各边于点 E、F、G、H，则四边形 EFGH的周长为（ ） A．2+2 3 B．2+ 3 C．3+ 3 D．1+2 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 10．对于二次函数 2y ax bx c   ，规定函数 2 2 ( 0) ( 0) ax bx c x y ax bx c x           是它的相关函数．已知点 M，N的坐标 分别为 1 ( ,1) 2  ， 9 ( ,1) 2 ，连接MN，若线段MN与二次函数 2 4y x x n    的相关函数的图象有两个公共点， 则 n的取值范围为（ ） A． 3 1n    或 5 1 4 n  B． 3 1n    或 51 4 n  C． 1n   或 5 1 4 n  D． 3 1n    或 1n  第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．已知关于 x的一元二次方程 2( 1) 3 2 1 0a x x a     有一个根为𝑥 = 1，则a的值为 ． 12．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列 3 个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数 是 3 的倍数：③向上一面的点数不小于 3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形 BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似 比为 1 3 ．点 A B E、 、 在 x轴上，若正方形 BEFG的边长为6，则C点坐标为 ． 14．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为 3km，母线长为4 3km，欲从 A处修一条最近的盘山公路到 景点 B（B位于母线PA的中点处），那么这条盘山公路的长度是 km． 15．已知一个二次函数 2y ax bx c   的自变量 x与函数 y的几组对应值如下表： x … 4 2 0 3 5 … y … m n 0 3 h … 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 其中 4 3 m n   ， 3h   ，现有以下表述：①当 0x  时， y随 x的增大而减小；②图象不经过第二象限； ③关于 x的一元二次方程  2 0 0ax bx c a    一定有一个小于 3 的正数根；④当 13m n   时， 1 2 a   ．其 中正确的结论序号是 ． 16．如图，已知矩形 ABCD， 2AB  ， 3BC  ，E、F 分别是边BC、CD上的动点，且BE CF ，将 BCF 沿着BC方向向右平移到 EGH ，连接DH 、EH ，当DE EH 时，DH 长是 ；运动过程中， DEH△ 的面积的最小值是 ． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题 4 分）用适当的方法解下列方程： 23 5 1 0x x   ． 18．（本题 4 分）如图，网格中每个小正方形的边长均为 1 个单位长度， ABC 的顶点均在小正方形的格点 上． (1)将 ABC 向下平移 3 个单位长度得到 1 1 1ABC ，画出 1 1 1ABC ； (2)将 ABC 绕点 C按顺时针方向旋转90得到 2 2 2A B C ，画出 2 2 2A B C ； (3)在（2）的条件下，请求出线段 AB在旋转过程中扫过的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（本题 6 分）小颖同学学了本学期第四单元第 6 节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自 己学校教学楼 AB的高度．如图，她在与教学楼底部 A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的 距离 24AE  米，然后在射线 AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 B，此 时她与镜子的距离 2CE  米，若小颖的眼睛距离地面高度 1.5CD  米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼 的高度 AB是多少米？ 20．（本题 6 分）如图，反比例函数  0ky k x   与正比例函数  0y mx m  的图象交于点  2, 4A  和点 B， 点C是点A 关于 y轴的对称点，连接 AC， BC． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求 ABC 的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式 k mx x  的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 21．（本题 8 分）为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校 9 月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进 新征程”主题教育活动，活动方式有：A．主题征文，B．书法绘画，C．红歌传唱，D．经典诵读．为了解最 受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中 A部分圆心角的度数是_______； (2)请补全条形统计图； (3)学校从 1 班，2 班，3 班，4 班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中 2 班和 3 班的概率． 22．（本题 10 分）2024 年 9 月 10 日是我国第 40 个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加 快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高 为 cmx ． (1)若此包装盒的容积为 31500cm ，请列出关于 x的方程，并求出 x的值． (2)是否存在这样的 x的值，使得此包装盒的容积为 31560cm ？若存在，请求出相应的 x的值；若不存在，请 说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 23．（本题 10 分）如图，已知直线PA交 O 于A 、 B两点， AE是 O 的直径，点C为 O 上一点，且 AC 平分 PAE ，过C作CD PA ，垂足为D． (1)求证：CD为 O 的切线； (2)若 6DC DA  ， O 的直径为10，求 AB的长度． 24．（本题 12 分）在平面直角坐标系中，抛物线   1 4y x x n    与 x轴交于点A 和点   0 4B n n  ， ，顶 点坐标记为  1 1h k， ．抛物线  2 22 2 2 9y x n n n      的顶点坐标记为  2 2h k， ． (1)试求A 点坐标以及 1k ， 2k 的值（用含n的代数式表示）； (2)当 4 4n   时，探究 1k 与 2k 的大小关系； (3)经过点  22 9 5M n n ， 和点  22 9 5N n n， 的直线与抛物线   1 4y x x n    ，  2 22 2 2 9y x n n n      的公共点恰好为3个不同点时，直接写出n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（本题 12 分）综合与实践已知： 90MBN  ，在 BM 和BN 上截取BA BC ，将线段 AB边绕点 A逆时 针旋转  0 180    得到线段 AD，点 E在射线BD上，连接CE， 45BEC  ． 【特例感知】 （1）如图 1，若旋转角 90  ，则BD与CE的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图 2，试探究在旋转的过程中BD与CE的数量关系是否发生改变？若不变，请求BD与CE的数量关 系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形 ABCD中， 5AD AB BC   ， 90ABC  ，点E在直线BD上， 45BEC  ， 4 2CE  ， 请直接写出 CDE 的面积．