阶段测试卷3（集合、复数、数列、函数与导数、三角恒等变形）-2025届高三数学一轮复习

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷5 考试范围：集合、复数、数列、函数导数、三角恒等变形 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省南充一诊T1改编)集合，则（ ） A. B. C. D. 2．(2023·重庆南开中学模拟)命题“∀x>1，x2＋x＋1>0”的否定为(　　) A．∀x≤1，x2＋x＋1≤0 B．∃x≤1，x2＋x＋1≤0 C．∀x>1，x2＋x＋1≤0 D．∃x>1，x2＋x＋1≤0 3．（2024·四川南充·一模）若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．函数f(x)＝·cos 2x的部分图象大致为(　　) 5．(2023·鸡西实验中学模拟)已知sin α－cos α＝，α∈，则等于(　　) A．－ B. C．－ D. 6.(2025届四川省射洪中学高三一模T7)近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7．(2023·南京模拟)函数f(x)＝sin πx＋，则y＝f(x)的图象在(－2,4)内的零点之和为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 8.(2025届成都市郫都区一阶数学T8)已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为(0,3)，则函数y＝的定义域是(－1,1)∪(1,2) B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递减 C．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是[2，＋∞) D．若函数y＝在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是[2，＋∞) 10.(2025届四川省绵阳中学高三模拟预测(一)T11)对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，数列的前项和为，则 D.若，，则 11．(2024·广东四校联考)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(x)－f(y)＝f，且当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则下列结论中正确的有(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是增函数 C．f ＋f ＝f  D．f ＋f <f  第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________. 13．已知角θ的终边过点A(3，y)，且sin(π＋θ)＝，则tan θ＝________. 14．(2023·苏州中学模拟)某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域Ⅰ(区域ACD)，区域Ⅱ(区域CBE)内分别种上甲和乙两种花卉(如图)，已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC＝θ，θ∈，种植花卉总造价记为f(θ)，现某同学已正确求得：f(θ)＝ar2g(θ)，则g(θ)＝________；种植花卉总造价的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)(2025届四川省射洪中学高三一模考试T16)已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 16．(15分)已知函数f(x)＝ax＋log3(9x＋1)(a∈R)为偶函数． (1)求a的值；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围． 17．(15分)(2025届四川省巴中市高三零诊T15)已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n． 18．(17分)(2024·朝阳联考)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2. 19．(17分)(2025届四川省内江市零诊T19)已知函数. (1)讨论函数的导函数的零点个数； (2)若有两个极值点，求证：(i)；(ii). 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷5 考试范围：集合、复数、数列、函数导数、三角恒等变形 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省南充一诊T1改编)集合，则（ ） A. B. C. D. 2．(2023·重庆南开中学模拟)命题“∀x>1，x2＋x＋1>0”的否定为(　　) A．∀x≤1，x2＋x＋1≤0 B．∃x≤1，x2＋x＋1≤0 C．∀x>1，x2＋x＋1≤0 D．∃x>1，x2＋x＋1≤0 3．（2024·四川南充·一模）若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．函数f(x)＝·cos 2x的部分图象大致为(　　) 5．(2023·鸡西实验中学模拟)已知sin α－cos α＝，α∈，则等于(　　) A．－ B. C．－ D. 6.(2025届四川省射洪中学高三一模T7)近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7．(2023·南京模拟)函数f(x)＝sin πx＋，则y＝f(x)的图象在(－2,4)内的零点之和为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 8.(2025届成都市郫都区一阶数学T8)已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为(0,3)，则函数y＝的定义域是(－1,1)∪(1,2) B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递减 C．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是[2，＋∞) D．若函数y＝在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是[2，＋∞) 10.(2025届四川省绵阳中学高三模拟预测(一)T11)对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，数列的前项和为，则 D.若，，则 11．(2024·广东四校联考)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(x)－f(y)＝f，且当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则下列结论中正确的有(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是增函数 C．f ＋f ＝f  D．f ＋f <f  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________. 13．已知角θ的终边过点A(3，y)，且sin(π＋θ)＝，则tan θ＝________. 14．(2023·苏州中学模拟)某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域Ⅰ(区域ACD)，区域Ⅱ(区域CBE)内分别种上甲和乙两种花卉(如图)，已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC＝θ，θ∈，种植花卉总造价记为f(θ)，现某同学已正确求得：f(θ)＝ar2g(θ)，则g(θ)＝________；种植花卉总造价的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)(2025届四川省射洪中学高三一模考试T16)已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 16．(15分)已知函数f(x)＝ax＋log3(9x＋1)(a∈R)为偶函数． (1)求a的值；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围． 17．(15分)(2025届四川省巴中市高三零诊T15)已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n． 18．(17分)(2024·朝阳联考)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2. 19．(17分)(2025届四川省内江市零诊T19)已知函数. (1)讨论函数的导函数的零点个数； (2)若有两个极值点，求证：(i)；(ii). 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷5 考试范围：集合、复数、数列、函数导数、三角恒等变形 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省南充一诊T1改编)集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】，，所以.故选：C. 2．(2023·重庆南开中学模拟)命题“∀x>1，x2＋x＋1>0”的否定为(　　) A．∀x≤1，x2＋x＋1≤0 B．∃x≤1，x2＋x＋1≤0 C．∀x>1，x2＋x＋1≤0 D．∃x>1，x2＋x＋1≤0 【答案】D【解析】由于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为存在量词命题“∃x∈M，p(x)”， 故命题“∀x>1，x2＋x＋1>0”的否定为“∃x>1，x2＋x＋1≤0”． 3．（2024·四川南充·一模）若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A【解析】由，得， 所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限；故选：A. 4．函数f(x)＝·cos 2x的部分图象大致为(　　) 【答案】A【解析】函数f(x)＝·cos 2x的定义域为R，定义域关于原点对称， 又f(－x)＝·cos(－2x)＝－·cos 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，关于原点对称，排除B，C； 令f(x)＝0，可得·cos 2x＝0，所以3x－3－x＝0或cos 2x＝0，所以x＝0或x＝＋，k∈Z， 当0<x<时，f(x)＝·cos 2x>0，排除D. 5．(2023·鸡西实验中学模拟)已知sin α－cos α＝，α∈，则等于(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】D【解析】由题意可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，整理得sin αcos α＝>0，且α∈，可得α∈， 即sin α>0，cos α>0，可得sin α＋cos α>0，因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，可得sin α＋cos α＝， 所以＝＝. 6.(2025届四川省射洪中学高三一模T7)近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【解析】根据题意由可得，两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即；故选：C 7．(2023·南京模拟)函数f(x)＝sin πx＋，则y＝f(x)的图象在(－2,4)内的零点之和为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B【解析】由f(x)＝sin πx＋＝0可得sin πx＝－， 则函数y＝sin πx与函数y＝－的图象在(－2,4)内交点的横坐标即为函数y＝f(x)的零点，又函数y＝sin πx与函数y＝－的图象都关于点(1,0)对称， 作出函数y＝sin πx与函数y＝－的大致图象，如图所示． 由图象可知y＝f(x)在(－2,4)内有四个零点，则零点之和为4. 8.(2025届成都市郫都区一阶数学T8)已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】构造函数，可得， 当时，，因此在单调递减， 又，， 由，故，即；故选：D. 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为(0,3)，则函数y＝的定义域是(－1,1)∪(1,2) B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递减 C．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是[2，＋∞) D．若函数y＝在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是[2，＋∞) 【答案】ACD【解析】对于A，因为函数f(x)的定义域为(0,3)，则对于y＝，由解得－1<x<2且x≠1，即y＝的定义域为(－1,1)∪(1,2)，故A正确； 对于B，y＝分别在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减，故B错误； 对于C，f(1)＝a2＝，解得a＝(负值舍去)，所以f(x)＝， 因为y＝|2x－4|的单调递增区间为[2，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)，故C正确； 对于D，因为y＝－x2＋ax的对称轴为直线x＝，图象开口向下， 要使y＝在(－∞，1)上单调递增，则≥1，解得a≥2，故D正确． 10.(2025届四川省绵阳中学高三模拟预测(一)T11)对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，数列的前项和为，则 D.若，，则 【答案】ABD【解析】A.，； B.，，； C.，，又时，， D.，，，…，， ，，， ， ，，.又时也成立， ，.又， ，综上，故选ABD. 11．(2024·广东四校联考)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足f(x)－f(y)＝f，且当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则下列结论中正确的有(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是增函数 C．f ＋f ＝f  D．f ＋f <f  【答案】ABC【解析】对于A，因为f(x)－f(y)＝f ， 令x＝y＝0，则f(0)－f(0)＝f(0)，可得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x)－f(－x)＝f ， 再以－x代x，得f(－x)－f(x)＝f ，两式相加得f＋f ＝0，即f ＝－f ， 令g(x)＝，x∈(－1,1)，则g′(x)＝>0对任意x∈(－1,1)恒成立， 可知g(x)在(－1,1)上单调递增，且g(－1)＝－1，g(1)＝1，所以g(x)在(－1,1)上的值域为(－1,1)， 由f ＝－f ，x∈(－1,1)，即f(－x)＝－f(x)，x∈(－1,1)， 所以定义在(－1,1)上的函数f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为函数f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)<0， 不妨设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝f  ， 因为－1<x1<x2<1，则<0且＋1＝>0，可知－1<<0，所以f <0， 则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(－1,1)上为增函数，故B正确； 对于C，令x＝，y＝，且f(x)－f(y)＝f ，则f ，即＋＝f，故C正确； 对于D，令x＝，y＝，且f(x)－f(y)＝f ，则f， 因为<，且函数f(x)在(－1,1)上为增函数，可得f ， 即f，所以f，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝________. 【答案】－1【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1. 13．已知角θ的终边过点A(3，y)，且sin(π＋θ)＝，则tan θ＝________. 【答案】－【解析】∵角θ的终边过点A(3，y)，∴sin θ＝，cos θ＝， ∵sin(π＋θ)＝，∴－sin θ＝，即sin θ＝－<0，∴点A在第四象限， ∴＝－，解得y＝4(舍去)或y＝－4，∴tan θ＝＝－. 14．(2023·苏州中学模拟)某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域Ⅰ(区域ACD)，区域Ⅱ(区域CBE)内分别种上甲和乙两种花卉(如图)，已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC＝θ，θ∈，种植花卉总造价记为f(θ)，现某同学已正确求得：f(θ)＝ar2g(θ)，则g(θ)＝________；种植花卉总造价的最小值为________． 【答案】＋θ－2sin θcos θ，θ∈，f(θ)min＝ar2. 【解析】S△OCE＝rsin θ·rcos θ＝sin θcos θ，S扇形BOC＝θr2， ∴SⅡ＝S扇形BOC－S△OCE＝θr2－sin θcos θ＝(θ－sin θcos θ)， S△COD＝rcos θ·rsin θ＝sin θcos θ，S扇形AOC＝r2， ∴SⅠ＝S扇形AOC－S△COD＝r2－sin θcos θ＝， f(θ)＝＋3a·(θ－sin θcos θ)＝ar2，θ∈， ∴g(θ)＝＋θ－2sin θcos θ，θ∈，令g′(θ)＝1－2cos 2θ＝0，得θ＝， ∴g(θ)在上单调递减，在上单调递增，故g(θ)min＝g＝－，∴f(θ)min＝ar2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)(2025届四川省射洪中学高三一模考试T16)已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 【解析】(1)根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， ………………2分 因为，可得， ………………4分 所以数列的通项公式为. ………………6分 (2)由(1)，可得，………………9分 所以数列的前项和为： . ………………13分 16．(15分)已知函数f(x)＝ax＋log3(9x＋1)(a∈R)为偶函数． (1)求a的值；(2)当x∈[0，＋∞)时，不等式f(x)－b≥0恒成立，求实数b的取值范围． 【解析】(1)因为函数f(x)为偶函数， 则f(－x)＝f(x)，即－ax＋log3(9－x＋1)＝ax＋log3(9x＋1)， ………………3分 所以－2ax＝log3(9x＋1)－log3(9－x＋1)＝log3(9x＋1)－log3 ＝log3(9x＋1)－log3＝log3＝log39x＝2x， 所以a＝－1. ………………7分 (2)因为f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)． 因为x≥0，由基本不等式可得f(x)＝log3(3x＋3－x)≥log3(2)＝log32， ………………12分 当且仅当3x＝3－x，即x＝0时，等号成立， 故b≤log32. ………………15分 17．(15分)(2025届四川省巴中市高三零诊T15)已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n． 【解析】(1)由得，………………3分 则， ………………6分 所以数列是首项为，公比为的等比数列.………………7分 (2)由(1)得， ………………9分 所以………………12分 数列是单调递增数列， ………………13分 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. ………………15分 18．(17分)(2024·朝阳联考)已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x(a∈R)． (1)求函数y＝f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2. 【解析】(1)由题可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－(a－2)－＝＝，………………2分 ①若a≤0，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；………………4分 ②若a>0，令f′(x)>0，即2x－a>0，解得x>，令f′(x)<0，即2x－a<0，解得0<x<， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. ………………8分 (2)证明　当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln x， ………………9分 要证明f(x)＋ex>x2＋x＋2，只需证明ex－ln x－2>0，………………10分 令g(x)＝ex－ln x－2，x>0，则g′(x)＝ex－， ………………11分 令g′(x)＝ex－＝0，即ex＝，可得方程有唯一解， 设为x0，则x0>0且x0≠1，所以＝， ………………13分 当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如表， x (0，x0) x0 (x0，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 －ln x0－2 单调递增 所以g(x)min＝g(x0)＝－ln x0－2＝＋x0－2， ………………15分 因为＋x0－2≥2－2＝0，因为x0≠1，所以不取等号， 即＋x0－2>0，即g(x)min>0恒成立， ………………16分 所以ex－ln x－2>0恒成立，得证． ………………17分 19．(17分)(2025届四川省内江市零诊T19)已知函数. (1)讨论函数的导函数的零点个数； (2)若有两个极值点，求证：(i)；(ii). 【解析】(1)函数， 则， ………………1分 令，解得， ………………2分 设， 故导函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数.………………3分 ， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 故 ………………5分 又当时，，当时，， 当时，与的图象有2个交点，此时导函数有2个零点； 当或时，与的图象有1个交点，此时导函数有1个零点； 当时，与的图象没有交点，此时导函数没有零点. 综上，当时有2个零点，当或时时有1个零点，当时没有零点.……7分 (2)(i)由(1)可知，不妨设， 要证，即证， ………………8分 不妨令，即证， 只需证明， ………………10分 令，则， 令，则， 当时，， 在上单调递增，即，故，在上单调递增， 所以，即 ………………12分 (ii)由(i)可知，要证，只需证明， ………………13分 不妨设， 是导函数的两个零点，， ………………14分 令，即证， 由得， 要证成立，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 在上单调递增，， ，即证得. ………………17分 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$