阶段测试卷4（集合、复数、数列、函数与导数）-2025届高三数学一轮复习

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷4 考试范围：集合、复数、数列、函数导数 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．(2025届上海新高三开学摸底考试T13)“”是“”的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 3．(2023·济南模拟)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 4．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 5．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，若函数f(x＋1)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　　) A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－1,0)∪(3，＋∞) 6．(2023·运城模拟)若函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋ax(a∈R)在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，e) C．(－∞，e) D．(e，＋∞) 7．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－，若f(x1)＝g(x2)＝t (t>0)，则的最大值为(　　) A．e B．1 C. D. 8．(2023·盐城模拟)实数x∈(0，＋∞)，不等式ex－ln(mx)＋(1－m)x≥0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．m≤e 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T9)下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 10．(2023·鸡西实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)在R上有两个极值点 B．f(x)在x＝－1处取得最大值 C．f(x)在x＝2处取得极小值 D．函数f(x)在R上有三个零点 11．若0<b<a<，则(　　) A．eb＋＋2a>ea＋＋2b B．bea－eb>aeb－ea C．asin b＋b<bsin a＋a D．sin bcos a>sin a 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2025届吉林省长春市吉大附中实验学校一模T2)命题的否定为________． 13．若正实数a，b满足＋＝＋1，则ab的最小值为________． 14．(2024·南通模拟)已知直线l分别与曲线f(x)＝ln x，g(x)＝ex相切于点(x1，ln x1)，(x2，)，则－的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2. (1)求f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(x2＋2x)，求g(x)在区间[－2,1]上的值域． 16．(15分)(2025届昆明市云南师范大学附中高三9月月考T15)已知数列的首项，设，且的前项和满足：． （1）求数列的通项公式；（2）令，求证：． 17．(15分)(2024·武汉联考)已知函数f(x)＝x3－3x2－6x＋9， (1)求f(x)的极值；(2)作f(x)在x＝x0处的切线交f(x)的图象于另一点(x1，b)，若|x0－x1|＝6，求l的斜率． 18．(17分)(2024·江苏联考)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)对任意x∈R，不等式f(x)≥x3－x－2恒成立，求a的取值范围． 19．(17分)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝，a∈R，且函数f(x)有两个极值点． (1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2(x1<x2)且3x1≥x2，求ln x1＋ln x2＋2a的最大值． 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷4 考试范围：集合、复数、数列、函数导数 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．(2025届上海新高三开学摸底考试T13)“”是“”的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 3．(2023·济南模拟)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 4．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 5．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，若函数f(x＋1)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　　) A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－1,0)∪(3，＋∞) 6．(2023·运城模拟)若函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋ax(a∈R)在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，e) C．(－∞，e) D．(e，＋∞) 7．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－，若f(x1)＝g(x2)＝t (t>0)，则的最大值为(　　) A．e B．1 C. D. 8．(2023·盐城模拟)实数x∈(0，＋∞)，不等式ex－ln(mx)＋(1－m)x≥0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．m≤e 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T9)下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 10．(2023·鸡西实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)在R上有两个极值点 B．f(x)在x＝－1处取得最大值 C．f(x)在x＝2处取得极小值 D．函数f(x)在R上有三个零点 11．若0<b<a<，则(　　) A．eb＋＋2a>ea＋＋2b B．bea－eb>aeb－ea C．asin b＋b<bsin a＋a D．sin bcos a>sin a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．(2025届吉林省长春市吉大附中实验学校一模T2)命题的否定为________． 13．若正实数a，b满足＋＝＋1，则ab的最小值为________． 14．(2024·南通模拟)已知直线l分别与曲线f(x)＝ln x，g(x)＝ex相切于点(x1，ln x1)，(x2，)，则－的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2. (1)求f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(x2＋2x)，求g(x)在区间[－2,1]上的值域． 16．(15分)(2025届昆明市云南师范大学附中高三9月月考T15)已知数列的首项，设，且的前项和满足：． （1）求数列的通项公式；（2）令，求证：． 17．(15分)(2024·武汉联考)已知函数f(x)＝x3－3x2－6x＋9， (1)求f(x)的极值；(2)作f(x)在x＝x0处的切线交f(x)的图象于另一点(x1，b)，若|x0－x1|＝6，求l的斜率． 18．(17分)(2024·江苏联考)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)对任意x∈R，不等式f(x)≥x3－x－2恒成立，求a的取值范围． 19．(17分)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝，a∈R，且函数f(x)有两个极值点． (1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2(x1<x2)且3x1≥x2，求ln x1＋ln x2＋2a的最大值． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届新高考数学一轮复习阶段测试卷4 考试范围：集合、复数、数列、函数导数 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T1)已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】由可解得，即则；故选：B. 2．(2025届上海新高三开学摸底考试T13)“”是“”的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】当时，成立，当时，满足成立，但不成立． 故“”是“”成立的充分不必要条件．故选：B． 3．(2023·济南模拟)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A【解析】a＝log52<log5＝，b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，0．51<0.50.2<0.50，故<c<1， 所以a<c<b；故选A 4．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 【答案】B【解析】f(x)＝的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C，D项； 又当x>0时，sin x<x，可得f(x)<0，所以排除A项．故选B. 5．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，若函数f(x＋1)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　　) A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－1,0)∪(3，＋∞) 【答案】C【解析】由函数f(x＋1)为偶函数，知函数f(x)关于直线x＝1对称， 又函数f(x)在(－∞，1]上单调递增，知函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 由f(3)＝0，知f(－1)＝0，作出函数y＝f(x)的大致图象，如图所示． 由图可知，当x<－1时，f(x)<0，则xf(x)>0；当－1<x<0时，f(x)>0，则xf(x)<0； 当0<x<3时，f(x)>0，则xf(x)>0；当x>3时，f(x)<0，则xf(x)<0， 所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,3)．故选C. 6．(2023·运城模拟)若函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋ax(a∈R)在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，e) C．(－∞，e) D．(e，＋∞) 【答案】C【解析】因为f(x)＝(x－2)ex－x2＋ax(a∈R)，函数f(x)的定义域为R， 所以f′(x)＝ex＋(x－2)ex－ax＋a＝(x－1)(ex－a)， (1)若a≤0，令f′(x)>0，解得x∈(1，＋∞)， 令f′(x)<0，解得x∈(－∞，1)．此时函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意； (2)若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝ln a， 当ln a>1，即a>e时，令f′(x)>0，解得x∈(－∞，1)∪(ln a，＋∞)，令f′(x)<0，解得x∈(1，ln a)，此时函数f(x)在x＝1处取得极大值，不符合题意，舍去； 当ln a＝1，即a＝e时，则f′(x)＝(x－1)(ex－a)≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数，没有极值，不符合题意，舍去； 当ln a<1，即0<a<e时，令f′(x)>0，解得x∈(－∞，ln a)∪(1，＋∞)，令f′(x)<0，解得x∈(ln a，1)，此时函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，e)． 7．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－，若f(x1)＝g(x2)＝t (t>0)，则的最大值为(　　) A．e B．1 C. D. 【答案】C【解析】由f(x1)＝g(x2)＝t>0，得＝－＝t，即＝＝. 因为f(x)＝xex，则f′(x)＝(1＋x)ex，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x1＝， 则＝＝.令h(t)＝，t>0，则h′(t)＝，所以h(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， h(t)max＝h(1)＝；故选C. 8．(2023·盐城模拟)实数x∈(0，＋∞)，不等式ex－ln(mx)＋(1－m)x≥0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．m≤e 【答案】C【解析】已知x∈(0，＋∞)，由mx>0知m>0，排除B，D； 由ex－ln(mx)＋(1－m)x≥0恒成立得，ex＋x≥eln(mx)＋ln(mx)恒成立，构造函数f(x)＝ex＋x， 则f(x)≥f(ln(mx))，f(x)是R上的增函数，所以x≥ln(mx)，即m≤恒成立， 令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝，由g′(x)＝0得，x＝1. 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，又m>0，则0<m≤e；故选C. 二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T9)下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD【解析】对A：因为函数的定义域为，所以，由， 所以函数的定义域为，故A正确； 对B：因为函数函数所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：当时，或， 所以或； 当时，无解，所以； 当时， 所以. 又，所以，只有时满足题意，此时，故C正确； 对D：因为，所以，， 所以，即，故D正确；故选：ACD 10．(2023·鸡西实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋1)ex，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)在R上有两个极值点 B．f(x)在x＝－1处取得最大值 C．f(x)在x＝2处取得极小值 D．函数f(x)在R上有三个零点 【答案】AC【解析】∵f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x2－x－2)ex＝(x－2)(x＋1)ex， ∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－1,2)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减， ∴f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(2)＝－e2，当x<0时，x2－3x＋1>0，ex>0，∴f(x)>0恒成立， 作出y＝f(x)的大致图象如图所示， 对于A，f(x)的极大值点为x＝－1，极小值点为x＝2，A正确； 对于B，f(－1)不是f(x)的最大值，B错误； 对于C，f(x)在x＝2处取得极小值，C正确； 对于D，由图象可知，f(x)有且仅有两个零点，D错误． 11．若0<b<a<，则(　　) A．eb＋＋2a>ea＋＋2b B．bea－eb>aeb－ea C．asin b＋b<bsin a＋a D．sin bcos a>sin a 【答案】BC【解析】令f(x)＝ex－－2x且0<x<，则f′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立，故f′(x)>0恒成立， 故f(x)在上递增，则f(a)>f(b)，即eb－－2b<ea－－2a，所以eb＋＋2a<ea＋＋2b，选项A错误； 令f(x)＝x－ln(x＋1)且0<x<，则f′(x)＝1－>0，故f(x)在上单调递增，则f(a)>f(b)， 即a－ln(a＋1)>b－ln(b＋1)，所以ln [ea(b＋1)]>ln [eb(a＋1)]，则ea(b＋1)>eb(a＋1)，即bea－eb>aeb－ea， 选项B正确； 令f(x)＝且0<x<，则f′(x)＝>0，故f(x)在上单调递增，则f(a)>f(b)， 即>，所以b(sin a－1)>a(sin b－1)，则asin b＋b<bsin a＋a，选项C正确； 当b＝，a＝时，sin bcos a＝<sin a＝，选项D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．(2025届吉林省长春市吉大附中实验学校一模T2)命题的否定为________． 【答案】∃x＞0，x2+x+1＞0【解析】命题的否定为. 13．若正实数a，b满足＋＝＋1，则ab的最小值为________． 【答案】1【解析】∵＋≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即＋1≥2， 则()2＋－2≥0，∴≥1或≤－2(舍去)，即ab≥1. 14．(2024·南通模拟)已知直线l分别与曲线f(x)＝ln x，g(x)＝ex相切于点(x1，ln x1)，(x2，)，则－的值为________． 【答案】1【解析】由f(x)＝ln x，g(x)＝ex，有f′(x)＝，g′(x)＝ex， f(x)在点(x1，ln x1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)， g(x)在点(x2，)处的切线方程为y－＝(x－x2)， 则有得ln x1－1＝－1＝－x2－1＝(1－x2)， 所以＝＝＝＝1－＝1＋，可得－＝1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知函数f(x)＝ax－a(a>0且a≠1)，f(2)＝2. (1)求f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(x2＋2x)，求g(x)在区间[－2,1]上的值域． 【解析】(1)由已知得f(2)＝a2－a＝2，………………3分 解得a＝2或a＝－1(舍去)， ………………5分 所以f(x)＝2x－2. ………………6分 (2)由(1)得g(x)＝－2， ………………7分 令t＝x2＋2x，因为－2≤x≤1，所以t＝x2＋2x∈[－1,3]， ………………9分 则2t∈，2t－2∈，即g(x)在区间[－2,1]上的值域为. ………………13分 16．(15分)(2025届昆明市云南师范大学附中高三9月月考T15)已知数列的首项，设，且的前项和满足：． （1）求数列的通项公式；（2）令，求证：． 【解析】(1)当时，， 两式相减得：，所以. ………………2分 当时，且，可得，满足上式， 由，则为等比数列，， ………………5分 所以． ………………7分 (2)由（1）知， 所以， ………………10分 当时，成立； ………………11分 当时，， 所以成立．………………15分 17．(15分)(2024·武汉联考)已知函数f(x)＝x3－3x2－6x＋9， (1)求f(x)的极值；(2)作f(x)在x＝x0处的切线交f(x)的图象于另一点(x1，b)，若|x0－x1|＝6，求l的斜率． 【解析】(1)由函数f(x)＝x3－3x2－6x＋9，可得f′(x)＝3x2－6x－6， ………………1分 令f′(x)＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋， ………………3分 则f′(x)，f(x)随x的变化情况列表如下： x (－∞，1－) 1－ (1－，1＋) 1＋ (1＋，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ………………5分 所以f(x)的极大值为f(x1)＝(1－)3－3(1－)2－6(1－)＋9＝1＋6， 极小值为f(x2)＝(1＋)3－3(1＋)2－6(1＋)＋9＝1－6. ………………7分 (2)由题意，f(x)在x＝x0处的切线l的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 整理得y＝(3x－6x0－6)x－2x＋3x＋9， ………………9分 设g(x)＝f(x)－y＝x3－3x2－(3x－6x0)x＋2x－3x，可得g(x0)＝0， 则∃m，n∈R， 使得g(x)＝(x－x0)(x2＋mx＋n)， 从而g(x)＝x3＋(m－x0)x2＋(n－mx0)x－nx0， 可得 解得m＝x0－3，n＝－2x＋3x0， 所以g(x)＝(x－x0)[x2＋(x0－3)x－2x＋3x0]＝(x－x0)2(x＋2x0－3)， 由题意可知，方程g(x)＝0有另一解x1(x1≠x0)，于是x1＝3－2x0， 所以|x0－x1|＝|3x0－3|＝6， 解得x0＝3或x0＝－1， ………………13分 当x0＝3时，l的斜率k＝f′(x0)＝3； 当x0＝－1时，l的斜率k＝f′(x0)＝3， 综上可得，切线l的斜率为3. ………………15分 18．(17分)(2024·江苏联考)已知函数f(x)＝(x＋a)ex，a∈R. (1)当a＝1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)对任意x∈R，不等式f(x)≥x3－x－2恒成立，求a的取值范围． 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ex， 则f′(x)＝(x＋2)ex， ………………2分 f′(0)＝2，f(0)＝1， ………………5分 所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1. ………………7分 (2)方法一　由f(x)≥x3－x－2可得(x＋a)ex－x3＋x＋2≥0， 令g(x)＝(x＋a)ex－x3＋x＋2，则g′(x)＝(x＋a＋1)ex－x2＋1， ………………9分 令h(x)＝(x＋a＋1)ex－x2＋1，则h′(x)＝(x＋a＋2)ex－x＝x(ex－1)＋(2＋a)ex， 因为当x≥0时，ex－1≥0，当x<0时，ex－1<0，所以x(ex－1)≥0， ………………11分 ①当2＋a≥0，即a≥－2时，h′(x)≥0， h(x)即g′(x)单调递增，所以g′(0)＝2＋a≥0， 又g′(－a－3)＝－2e－a－3－(－a－3)2＋1， 令t＝－a－3，t≤－1，令m(t)＝－2et－t2＋1，则m′(t)＝－2et－t， 易知m′(t)在(－∞，－1]上单调递减， 所以m′(t)≥m′(－1)＝－＋1>0，所以m(t)在(－∞，－1]上单调递增， m(t)≤m(－1)＝－＋<0，所以m(t)<0，即g′(－a－3)<0， 由零点存在定理知存在x0∈(－a－3,0]，使得g′(x0)＝(x0＋a＋1)ex0－x＋1＝0，………………13分 且g(x)min＝g(x0)＝(x0＋a)ex0－x＋x0＋2＝－ex0－x＋x＋x0＋1， 令k(x)＝－ex－x3＋x2＋x＋1，则k′(x)＝－ex－x2＋x＋1， 令n(x)＝ex－x－1，则n′(x)＝ex－1， 因为当x>0时，n′(x)>0，n(x)单调递增，当x<0时，n′(x)<0，n(x)单调递减， 所以n(x)≥n(0)＝0，所以ex≥x＋1，k′(x)≤0，所以k(x)在(－a－3,0]上单调递减，所以k(x0)≥k(0)＝0， 即g(x)min＝g(x0)≥0，则f(x)≥x3－x－2，所以a≥－2符合题意；………………15分 ②当2＋a<0，即a<－2时，g(0)＝a＋2<0，不符合题意． 综上所述，a≥－2. ………………17分 方法二　由f(x)≥x3－x－2可得(x＋a)ex－x3＋x＋2≥0. 令g(x)＝(x＋a)ex－x3＋x＋2，有g(0)＝a＋2≥0， 所以f(x)≥x3－x－2的必要条件为a≥－2， ………………10分 下面证明充分性： 当a≥－2时，g(x)＝(x＋a)ex－x3＋x＋2≥(x－2)ex－x3＋x＋2， 令u(x)＝(x－2)ex－x3＋x＋2，则u′(x)＝(x－1)ex－x2＋1， 令t(x)＝(x－1)ex－x2＋1，则t′(x)＝xex－x＝x(ex－1)， ………………13分 又当x∈R时，t′(x)≥0恒成立，所以t(x)为增函数，u′(x)为增函数，又u′(0)＝0， 所以当x∈(－∞，0)时，u′(x)<0，u(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，u′(x)>0，u(x)单调递增． 所以u(x)≥u(0)＝0， 所以当a≥－2时，g(x)＝(x＋a)ex－x3＋x＋2≥(x－2)ex－x3＋x＋2≥0，充分性成立．………………16分 综上所述，a≥－2. ………………17分 方法三　由f(x)≥x3－x－2可得a≥. ………………9分 令g(x)＝，则g′(x)＝， ………………10分 令u(x)＝－x3＋x2＋x＋1－ex，则u′(x)＝－x2＋x＋1－ex，令n(x)＝ex－x－1，则n′(x)＝ex－1， 因为当x>0时，n′(x)>0，n(x)单调递增，当x<0时，n′(x)<0，n(x)单调递减， 所以n(x)≥n(0)＝0，所以ex≥x＋1， 所以u′(x)＝－x2＋x＋1－ex≤0恒成立， 即u(x)为减函数，又u(0)＝0， 所以当x∈(－∞，0)时，u(x)>0， ………………14分 即g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x∈(0，＋∞)时，u(x)<0， 即g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(0)＝－2，所以a≥－2. ………………17分 19．(17分)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)＝，a∈R，且函数f(x)有两个极值点． (1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2(x1<x2)且3x1≥x2，求ln x1＋ln x2＋2a的最大值． 【解析】(1)由题得，f′(x)＝，x>0， ………………1分 令h(x)＝x－ln x－a，x>0， 则函数f(x)有两个极值点，即方程h(x)＝0有两个变号零点． 因为h′(x)＝1－＝， ………………2分 所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝1－a， ………………6分 又当x→0时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞. 所以若方程h(x)＝0有两个变号零点，只需h(1)＝1－a<0，解得a>1， 即函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(1，＋∞)． ………………8分 (2)由0<x1<x2且3x1≥x2，令＝t，则t∈(1,3]， 由(1)知，h(x1)＝h(x2)＝0，即a＝x1－ln x1＝x2－ln x2，则x2－x1＝ln＝ln t， 即tx1－x1＝ln t，解得x1＝，所以x2＝tx1＝. 则ln x1＋ln x2＋2a＝x1＋x2＝＋＝， ………………11分 令φ(t)＝，t∈(1,3]， 则φ′(t)＝， ………………12分 令P(t)＝－2ln t＋t－，t∈(1,3]，则P′(t)＝－＋1＋＝>0， 所以函数P(t)在(1,3]上单调递增，所以P(t)>P(1)＝0. ………………14分 则当t∈(1,3]时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增，则当t＝3时，φ(t)max＝φ(3)＝2ln 3. 即ln x1＋ln x2＋2a的最大值为2ln 3. ………………17分 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$