第27讲 圆的基本概念与性质（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第27讲　圆的基本概念与性质 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 圆的基本概念与性质 基本概念 圆的对称性 垂径定理 圆周角 圆心角弧、弦、弦心距的关系 圆内接四边形 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 基本概念 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧 等弧 在同圆或等圆中，能够①__________的两条弧叫等弧 【温馨提示】 等弧的长度和度数一定相等，长度或度数相等的弧不一定是等弧． 完全重合 弦 定义：连接圆上两点之间的线段叫弦 【温馨提示】 直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦. 弓形 定义：弦和弦所对弧组成的图形叫弓形 弓形高：弦中点和弧中点所连线段叫弓形高 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线(有无数条) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合 圆的对称性 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论(知二推三)：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦； (4)平分优弧；(5)平分劣弧 特别：平分弦(非直径)的直径②______于弦，并且③_____弦所对的两条弧 运用：赵州桥专题(知二求三) 垂径定理 垂直 平分 如图，圆的半径为R，l是弦长(跨度)，d是弦心距， 两条平行弦之间所夹的弧④_______ 相等 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑤______ 圆周角 一半 推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角⑥__________ (2)直径所对的圆周角为⑦_______；90°的圆周角所对的 弦是⑧__________ 相等 90° 直径 弧的度数＝所对圆心角度数＝2倍所对圆周角度数 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦及两条弦的弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别相等(知一推三) 圆心角 弧、弦、 弦心距 的关系 确定圆的条件 条件：(1)确定圆心；(2)确定半径 经过一个已知点：可以画无数个圆 经过二个已知点：可以画无数个圆(圆心在两点所在线段的垂直平分线上) 经过三个已知点 (1)三点在同一直线上：不能画圆 (2)定理：不在同一直线上的三点确定一个圆(确定：有且只有) 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 性质：圆内接四边形对角⑨______，一个外角等于它的内对角 圆内接四边形 互补 判定 (1)到定点的距离等于定长的四个点共圆 (2)对角互补的四边形的四个顶点共圆(一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点共圆) (3)两个三角形在公共边同侧，且公共边所对的角相等的四个点共圆 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 素养积累 1 例 1 给出下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是 等圆．其中说法正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [解析] ①直径是最长的弦，正确，符合题意；②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，故选C. 圆的相关概念及性质 核心知识 1 C 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·创编) 下列说法正确的是(　　) A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍 D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在 ⊙O上 D 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．圆的基本性质：①轴对称性；②中心对称性． 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 (2023·创编) 已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE. 圆心角、弧、弦之间的关系 核心知识 2 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·创编) 在同圆或等圆中，若圆心角∠BOA等于另一圆心角 ∠COD的2倍，则下列式子中一定成立的是(　　) B 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，这三项中“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 A．100° B．90° C．80° D．70° 圆周角定理及其推论 核心知识 3 C 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2022·广元)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若 ∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为(　　) A．25° B．35° C．45° D．65° A 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化． ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化． ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 (2023·广西) 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约 为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为(　　) 垂径定理及其推论 核心知识 4 A．20 m B．28 m C．35 m D．40 m B 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 [解析] 如图，由题意可知，AB＝37 m，CD＝7 m．设主桥拱半径为R m. ∴OD＝OC－CD＝(R－7)m. ∵OC是半径，OC⊥AB， 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2016·南充) 如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位： mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半 径是__________mm. 50 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   在解决与弦相关的问题时，辅助线过圆心作弦的垂线，连接半径，解直角三角形． 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 (2023·江西) 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) 确定圆的条件 核心知识 5 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 [解析] 根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个．故选D. D 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·仙桃)如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为(　　) D 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．外心到三角形三个顶点的距离相等．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2 素养提升 例 6 (2023·成都) 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC； [解答]证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE. ∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC. 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 解：连接AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 ∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵AD2＋CD2＝AC2， ∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2. 解得BD＝2或BD＝0(舍去). 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 总目录 3 素养发展 1．(2018·南充) 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝ 32°，则∠B的度数是(　　) A．58° B．60° C．64° D．68° A 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2021·南充) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE， 则∠BCD的度数为(　　) A．15° B．22.5° C．30° D．45° B 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 4 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 (1)求证：AP＝CP； 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 返回首页 第27讲　圆的基本概念与性质 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P66～67第27讲 h表示弓形高，α是圆心角，则R2＝＋(R－h)2 求证：＝. [解答] 证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，∴＝. ∵BE＝CE，＝， ∴＝. A．AB＝2CD B．＝2 C．＜2 D．＝ 例 3 如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°，则∠BOC的度数为(　　) ∴AD＝BD＝AB＝ m. 在Rt△ADO中，AD2＋OD2＝OA2， ∴＋(R－7)2＝R2. 解得R＝≈28.故选B. A．π－ B．π－ C．π－ D．π－ ∴△ADE∽△ABC.∴＝. ∴tan B＝＝2.∴AD＝2BD. ∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2＋3＝5. ∵＝，∴＝.∴DE＝2. 3．(2023·南充) 如图，AB是⊙O的直径，D，M分别是弦AC，的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是__________． 4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于点F，C是的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q. 证明：∵C是的中点，∴＝. ∵CE⊥AB，∴＝. ∴＝.∴∠CAD＝∠ACE. ∴AP＝CP. (2)若tan ∠ABC＝，CF＝8，求CQ的长． 解：∵＝＝， ∴∠ABC＝∠ACE＝∠CAD. ∴tan ∠ABC＝tan ∠ACE＝tan ∠CAD＝. 在Rt△ACF中，tan ∠ACF＝＝，CF＝8，∴AF＝6. ∴AC＝＝＝10. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACQ＝90°. 在Rt△ACQ中，tan ∠CAQ＝＝， ∴CQ＝×10＝. $$