第20讲 相似三角形（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第20讲　相似三角形 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 相似三角形 比例尺 成比例线段 黄金分割 平行线分线段成比例 相似三角形的判定 基本模形 相似三角形的性质 相似三角形的运用 相似多边形 补充定理 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 比例尺：图上距离与实际距离的比 成比例线段 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么这四条线段成比 例线段，a，d叫①_________，b，c叫②_________，d叫第四比例项 比例外项 比例内项 注意 (1)有序性；(2)线段取正值；(3)数可以是负数；(4)线段统一长度单位． 比例性质 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 黄金分割 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 黄金分割 注意 (1)一条线段有2个黄金分割点；(2)知一求二(AC，AB，BC)； 黄金矩形：宽与长之比等于黄金比的矩形是黄金矩形 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形．如图， ∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，则BC2＝BD2＝AD2＝CD·AC 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 平行线分线段成比例 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)两角对应相等的两个三角形相似 (2)两边对应成比例且④______相等的两个三角形相似 (3)三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定 一般三角形 夹角 直角三角形 (1)一个锐角对应相等 (2)两边对应成比例 两直角边对应成比例 斜边和一条直角对应成比例 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 基本模形 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)相似三角形对应角⑤__________，对应边⑥__________，对应高(中线、角平分线)⑦__________ (2)相似三角形周长之比等于⑧__________，面积之比等于 ⑨_______________ 相似三角形的性质 相等 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 求面积：(1)面积比等于相似比的平方；(2)同高不同底， 面积之比等于底边之比；(3)同底等高，三角形面积相等 相似三角形的运用 计算三角形的边和角 证明线段乘积式的步骤 (1)乘积式化比例式，上下左右找相似； (2)用相等线段替换后再找相似； (3)找中间比； (4)作辅助线：常过分点作平行线 三角形内截 正方形(对应高之比等于相似比) 矩形(长∶宽＝2∶1时易产生两个答案) 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 定义：各角⑩__________、各边⑪__________的两个多边 形叫相似多边形． 两个条件缺一不可(反例：矩形与正方形；菱形与正方形) 相似比：(1)对应边之比；(2)有序性；(3)周长之比等于相似比；(4)面积之比等于相似比的平方 相似多边形 相等 成比例 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边 在斜边上射影的比例中项；每条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图， CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB (2)角平分线性质定理：三角形角平分线分对边成两 条线段之比等于相邻两边之比．如图，AD平分 ∠BAC，则 补充定理 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 1 素养积累 比例线段及比例的性质 核心知识 1 24 2 三 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   比例基本性质也属于恒等变形的应用，恰当地进行代换是解决问题的关键，当然，也可以适时地引入“新元”，用这个“新元”去表示原有字母，从而实现“消元”简化运算的目的． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 平行线分线段成比例定理 核心知识 2 2 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN∶NC的值． 解：过点D作DE∥BN，交AC于点E. ∵BD＝CD，∴EN＝CE. ∵MN∥DE，M是AD的中点， 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   遇平行线组(至少三条平行线)，马上联想到有比例线段；但某些特定条件，可以通过构造平行线，创造平行线等分线段的条件． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为8 cm，那么PB的长度为_____________cm. 黄金分割 核心知识 3 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·达州) 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为______________cm.(结果保留根号) 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   黄金分割也是一种特殊的比例线段，也是比例中项的应用，因此，找准比例中项是解决问题的关键． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为__________． 相似三角形的性质 核心知识 4 1 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   利用相似三角形，可以为我们证明角相等以及利用比例线段的性质完成证明和计算提供依据． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 相似三角形的判定 核心知识 5 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   判定相似三角形要从已知条件出发，分析直接条件，然后从缺少的条件入手去挖掘间接条件． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·陕西)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM 的长为(　　) C 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2 素养提升 例 6 请阅读下面的材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (1)证明：如图，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.(完成以下证明过程) ∴AE＝AC(____________)． ∴△BAD∽△BEC. 等角对等边 相似三角形对应边成比例 [解答]等角对等边　相似三角形对应边成比例 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长． 解：∵在△ABC中，AD是角平分线， 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 总目录 3 素养发展 1．已知线段a，b，c，d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么 d的值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．1 B 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 3．(2018·南充) 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE 的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝__________． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 ①②④ 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 5．(2012·南充) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC. (1)求证：△AEF∽△DCE； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°. ∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠DEC＝90°. ∴∠AFE＝∠DEC. ∴△AEF∽△DCE. 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 (2)求tan ∠ECF的值． 返回首页 第20讲　相似三角形 首页 1 2 3 4 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P50～51第20讲 基本性质：＝⇔ad＝bc(两内项之积等于两外项之积) 合比性质：＝⇔＝ 等比性质：＝＝＝…＝(a＋d＋f＋…＋n≠0)⇔ ＝ 概念：点C把线段AB分成线段AC，BC，如果＝＝≈0.618，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比 (3)若无AC＞BC等条件则有两个答案；(4)若答案无约等于“≈”，则用计算． 如图，若l1∥l2∥l3，则＝③__________ 所得的对应线段成比例．如图，DE∥BC，则＝ ＝ 例 1 若＝＝，且3x－2y＋z＝18，则x＋5y－3z的值为__________． 变式 1.已知＝，则的值等于__________． 2．若k＝＝＝(k≠0)，则y＝kx＋k－2一定经过第_________象限． 例 2 如图，五线谱是五条等距离的平行线．一条直线交其中的三条平行线于点A，B，C，则＝__________． ∴AM＝DM.∴AN＝EN.∴AN＝EN＝CE.∴AN∶NC＝. (12－4) (80－160) 例 5 (2023·恩施州) 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为__________. A． B．7 C． D．8 已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，求证：＝. 分析：要证＝，一般只要证BD，DC与AB，AC或BD，AB与DC，AC所在的三角形相似．现在B，D，C在一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式＝中，AC恰是BD，DC，AB的第四比例项，所以考虑过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，从而得到BD，DC，AB的第四比例项AE，这样，证明＝就可以转化为证AE＝AC. ∴＝(__________________________). ∴＝. ∴＝. ∵AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm， ∴＝.∴BD＝ cm. 2．(2021·南充) 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为__________. 4．(2015·南充) 如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆交于点Q，连接DQ.给出如下结论： ①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos ∠ADQ＝.其中正确结论是__________.(填写序号) 解：∵△AEF∽△DCE，∴＝. ∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，∴DC＝AB＝2AD＝4AE. ∴tan ∠ECF＝＝＝. $$