第19讲 直角三角形与勾股定理（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第19讲　直角三角形与勾股定理 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 直角三角形与勾股定理 判定 勾股数 性质 勾股定理 探索方法 运用 特例 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 (2)两个锐角互余的三角形是直角三角形 (3)一条边上的①__________等于这条边的一半的三角形是直角三角形 (4)勾股定理逆定理：若三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 判定 中线 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 (1)直角三角形两锐角互余 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②__________ (3)30°角所对直角边等于斜边的③__________，且三边之比为 ④____________；反之，若一条直角边等于斜边的一半，则该 直角边所对的锐角等于⑤__________ (4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方 性质 一半 一半 30° 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 探索方法 (1)割补法(面积法)：S1＋S2＝S3(无字证明) (3)青朱出入图 (1) (2) (3) (4) 勾股数：满足a2＋b2＝c2的整数叫勾股数． 如(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)，(8，15，17)，(7，24，25) 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 运用 计算直角三角形的边、面积 蚂蚁怎样走最近 圆柱： 正方体： 长方体： (1) (2) (3) 两个数之和最小的走法路径最短，如图， 由3＋4＜5＋3＜ 出图(2)中的走法为最近走法 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 特例 (1)折叠有全等有勾股 (2)两直角三角形共边问题 已知高：如已知△ABC两边长为15，13，第三边上的高为12，求第三边BC的长． 分类讨论两种情况： 未知高：用方程解答．如已知三角形三边长为13，14，15，分别求三条高. 如图，在△ABC中，设BH＝x. AH2＝142－x2＝132－(15－x)2 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 1 素养积累 例 1 某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3 m，DA＝4 m，BC＝12 m，CD＝13 m. 勾股定理及其逆定理 核心知识 1 (1)求出空地ABCD的面积； [解答] 解：连接BD.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2 ＝32＋42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，所以∠DBC＝90°.则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝3×4÷2＋5×12÷2＝36(m2). 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ [解答] 解：所需费用为36×200＝7 200(元). 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 C 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   勾股定理及其逆定理，是实现直角三角形中由边的关系到角的关系之间的一个转化的桥梁． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 数学文化(2023·扬州) 我国汉代数学家赵爽证明 勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为 “赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小 正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b， 斜边长为c，若b－a＝4，c＝20则每个直角三角形的面 积为__________． 直角三角形的性质 核心知识 2 96 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 由图可得a2＋b2＝c2，且a，b均大于0.∴a2＋b2＝202，b－a＝4. 解得a＝12，b＝16. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   已知直角三角形要联想到：①角：两锐角互余；②边：勾股定理；③线段：斜边上的中线等于斜边的一半；④边与角：30°角所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°， 则两个锐角分别为_______________． 2．直角三角形的一直角边长4 cm，斜边长5 cm，则其斜边上的高是 __________ cm. 75°，15° 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm， 底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴 蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁 A处所走的最短路程为__________cm.(杯壁厚度不计) 直角三角形的综合 核心知识 3 10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·凉山州) 如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是______． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   构造直角三角形，再利用直角三角形的性质解决问题． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，若 BC＝4，AB＝2，则△ACF的面积为__________． 等腰直角三角形综合 核心知识 4 10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 在Rt△ABC中， ∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形， ∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ∴△ABC≌△CEF(SAS). ∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF. ∵点B，C，E共线， ∴∠ACB＋∠ACF＋∠FCE＝180°. ∴∠ACF＝180°－(∠ECF＋∠EFC)＝90°. ∴△ACF是等腰直角三角形． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   遇等腰直角三角形，要联想作中线，利用“三线合一”的性质，同时，因为存在“共顶点、等线段”的条件，常常还可以通过旋转三角形来解决复杂问题． 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2 素养提升 例 5 如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠B＝90°，∠C＝26°.点D是AC边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠三角形CDE，点C落在点G处．当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时， ∠ADG＝_______________________________________． 52°或26°或38°或64°或116°或142° 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 [解析] 如图1，当DE∥AB时，DE⊥CG.∵∠DGC＝∠C＝26°，∴∠ADG＝∠DGC＋∠C＝52°； 如图2，当DG∥AB时，∠ADG＝180°－∠A＝180°－64°＝116°； 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 如图3，当DG∥BC时，∠ADG＝∠C＝26°； 如图4，当EG∥AC时，∠ADG＝∠G＝∠C＝26°； 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 如图5，当EG∥AB时，∠CEG＝∠B＝90°.由折叠可知∠DEG＝∠DEC＝45°.∴∠EDF＝∠C＋∠DEC＝26°＋45°＝71°.∴∠CDE＝180°－71°＝109°.∴∠ADG＝∠EDG－∠EDF＝∠CDE－∠EDF＝109°－71°＝38°； 如图6，当DG∥AB时，∠ADG＝∠A＝64°； 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 如图7，当AB∥EG时，∴∠GEB＝∠B＝90°. ∴∠CEG＝90°，由折叠性质，得∠DEC＝ ∵∠C＝26°， ∴∠GDE＝∠CDE＝180°－135°－26°＝19°. ∴∠ADG＝180°－19°－19°＝142°. 综上所述，∠ADG的度数为52°或26°或38°或64°或116°或142°. 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 总目录 3 素养发展 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝28°. 则∠BDC的度数为(　　) A．26° B．52° C．56° D．64° C 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2016·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E 分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　) A 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2018·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为(　　) B 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2022·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3， 则下列结论错误的是(　　) A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9 A 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．数学文化(2023·恩施州) 《九章算术》被称为人类科学 史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知 高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪 之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知 其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门 高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是__________尺． 8，6，10 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．数学文化勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是__________(结果用含m的式子表示)． m2＋1 返回首页 第19讲　直角三角形与勾股定理 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P48～49第19讲 1∶∶2 (5)等积法：SRt△ABC＝c·h＝ab (6)特殊：S等腰Rt△ABC＝a2＝c2 (2)弦图：(a－b)2＋4×ab＝c2　　　 (4)美国总统伽菲尔德梯形法：(a＋b)(a＋b)＝×c2＋ab×2 5＋4(＜＜)得 变式 数学文化(2023·泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　) A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 ∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96. [解析] 如图，将杯子侧面展开，作点B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10(cm). 1＋ AC＝＝＝. 在△ABC和△CEF中， ∴AC＝CF＝. ∴S△ACF＝AC·CF＝10. ∠DEG＝＝135°. A．1 B．2 C． D．1＋ A． B．1 C． D． $$