第14讲 二次函数的实际应用与综合（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第14讲　二次函数的实际应用与综合 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 二次函数的实际应用 模型 (2)最大面积 类型 (1)最大利润 (3)拱桥问题(隧洞问题) (4)线段最值问题 (5)动点问题 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值； 模型 顶点 x1 ③_____对应的函数值 x2 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (1)最大利润 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 (2)最大面积 方法：相似三角形对应高之比等于相似比 方法：相似三角形 关键：用一个量表示另一个量 (3)拱桥问题 (隧洞问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值，再与车高作比较) 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 周长最小(三角形，四边形) (5)动点问题 构成△≌△，△∽△，Rt△，等腰△ 构成四 边形 已知A，B 两点 AB为边 (如图1) AB为对角线 (如图2) 图1 图2 已知A，B，C三点(如图3) 图3 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 1 素养积累 例 1 (2022·自贡) 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形 这三种方案，最佳方案是(　　) 面积问题 核心知识 1 C 方案1　 方案2　 方案3 A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 [解析] 分别计算三个方案的菜园面积或最大面积进行比较即可． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°.直角边AC＝3 m，BC＝4 m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形 DEFG面积最大时，EF的长为__________． 2.5 m 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   结合面积公式、相似等知识，将几何问题代数化，用二次函数表示几何图形的面积，根据二次函数求(最)值． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 (2022·广安) 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 6 m，水面下降__________m，水面宽8 m. 拱形桥及隧道问题 核心知识 2 [解析] 以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点．进而求出抛物线的解析式，当x＝4时求出y，即可得出答案． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的长AD为8 m，宽AB为2 m，以AD所在直线为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为5 m． (1)求这条抛物线的解析式； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解：设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由对称轴是y轴，得b＝0. ∵EO＝5，∴c＝5. ∵矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m， ∴B(4，2).∵抛物线经过点B(4，2)， 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6 m，宽2.4 m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说明． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   拱形桥及隧道转化为二次函数模型，运用二次函数的知识解决拱形桥或隧道的实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·长春) 2023年5月28日，C919商业首航完成—— 中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达 北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”， 是国际民航中高级别的礼仪)．如图①，在一次“水门礼” 的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水 柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆 消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相 遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车 同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变， 则此时两条水柱相遇点H′距地面__________米． 抛物线形问题 核心知识 3 19 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2022·成都) 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当0≤ t≤1时，w的取值范围是__________；当2≤t≤3时， w的取值范围是____________． 0≤w≤5 5≤w≤20 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   实际生活中的抛物线形问题转化为二次函数模型，运用二次函数的最值、增减性等知识解决实际问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 (2019·南充) 在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？ 销售问题 核心知识 4 [解答] 解：设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元.根据题意，得 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售．笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？ 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解答] 解：设钢笔单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为w元． ①当30≤b≤50时， a＝10－0.1(b－30)＝－0.1b＋13， w＝b(－0.1b＋13)＋6(100－b) ＝－0.1b2＋7b＋600 ＝－0.1(b－35)2＋722.5. ∵当b＝30时，w＝720；当b＝50时，w＝700， ∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 ②当50＜b≤60时，a＝－0.1×50＋13＝8， w＝8b＋6(100－b)＝2b＋600. 则700＜w≤720. ∴当30≤b≤60时，w的最小值为700. ∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2020·南充) 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件． (1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式(写出x的范围)； 解：由图可知，当0＜x≤12时，z＝16； 当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数， 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x＋40(0＜x≤20).在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润＝收入－成本) 解：设工厂第x个生产周期创造的利润为w万元． ①当0＜x≤12时， w＝(16－10)×(5x＋40)＝30x＋240. 由一次函数的性质可知，当x＝12时， w最大＝30×12＋240＝600； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   借助二次函数的关系式、增减性、最值等相关知识，同时结合一次函数、分段函数解决生活中的销售问题． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2 素养提升 例 5 (2023·南充) 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； [解答] 解：根据题意，得w1＝(8－m)x－30(0≤x≤500). w2＝(20－12)x－(80＋0.01x2)＝－0.01x2＋8x－80(0≤x≤300). 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；(A产品的最大日利润用含m的代数式表示) [解答] 解：∵8－m＞0，∴w1随x的增大而增大． 又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，w1最大＝－500m＋ 3 970(元). ∵w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01(x－400)2＋1 520. 又∵－0.01＜0，对称轴为x＝400， ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大． ∴当x＝300时，w2最大＝－0.01×(300－400)2＋1 520＝1 420(元). 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝(售价－成本)×产销数量－专利费】 [解答] 解：①若w1最大＝w2最大，即－500m＋3 970＝1 420，解得m＝5.1； ②若w1最大＞w2最大，即－500m＋3 970＞1 420，解得m＜5.1； ③若w1最大＜w2最大，即－500m＋3 970＜1 420，解得m＞5.1. 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元/件时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大；当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大；当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 总目录 3 素养发展 1．(2022·南充) 如图，水池中心点O处竖直安装了一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m．那么喷头高__________m时，水柱落点距O点4 m. 8 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 2．(2018·南充) 某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10 000元采购A型丝绸的件数与用8 000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元． (1)求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元； 解：设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为(x＋100)元. 经检验，x＝400为原分式方程的解，且符合题意．∴x＋100＝500. 答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元、400元． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (2)若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件． ①求m的取值范围； 解：①根据题意，得m≤50－m.解得m≤25. 又m≥16，∴16≤m≤25. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 ②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件.如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w(元)与n(元)的函数关系式(每件销售利润＝售价－进价－销售成本)． 解：②设销售这批丝绸的利润为y元．根据题意，得y＝(800－500－2n)m＋(600－400－n)(50－m)＝(100－n)m＋10 000－50n. ∵50≤n≤150， ∴(i)当50≤n＜100时，100－n＞0， 当m＝25时，销售这批丝绸的最大利润w＝25(100－n)＋10 000－50n＝－75n＋12 500； 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (ii)当n＝100时，100－n＝0， 销售这批丝绸的最大利润w＝5 000； (iii )当100＜n≤150时，100－n＜0， 当m＝16时，销售这批丝绸的最大利润w＝16(100－n)＋10 000－50n＝－66n＋11 600. 综上所述， 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 3．(2018·南充) 如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式； 解：设y＝a(x－1)2＋4(a≠0). 把A(－1，0)，B(0，3)代入上式，得a＋4＝3，即a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面 积相等，求点Q的坐标； 解：由－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(－1，0)，B(3，0).由B(3，0)，C(0，3)，得到 直线BC的解析式为y＝－x＋3. ∵S△BCQ＝S△BCP，∴PQ∥BC. ①如图1，过点P作PQ1∥BC，交抛物线于点Q1. ∵P(1，4)，∴直线PQ1的解析式为y＝－x＋5. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 ②如图1，设抛物线的对称轴交BC于点G，交x轴于点H，则G(1，2). ∴PG＝GH＝2. 过点H作直线Q2Q3∥BC，则直线Q2Q3的解析式为y＝－x＋1. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 (3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 解：存在点M，N使四边形MNED为正方形．如图2，过点M作MF∥y轴，过点N作NF∥x轴，MF，NF交于点F，过点N作NH∥y轴交BC于点H，则△MNF与△NEH都为等腰直角三角形． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的解析式为y＝－x＋b. 消去y，得x2－3x＋b－3＝0. ∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－3)2－ 4(b－3)＝21－4b. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 ∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b. ∵H(x2，－x2＋3)，∴NH2＝[y2－(－x2＋3)]2＝ (－x2＋b＋x2－3)2＝(b－3)2. 若四边形MNED为正方形，则有MN2＝NE2. 整理，得b2＋10b－75＝0. 解得b＝－15或b＝5. 返回首页 第14讲　二次函数的实际应用与综合 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P36～37第14讲 (2)x1≤x≤x2：当－在x1，x2之间时，函数最值在①_____处取得； 当－不在x1，x2之间时，函数最值为②_____或 ∴16a＋4b＋5＝2.解得a＝－. ∴这条抛物线的解析式为y＝－x2＋5. 解：当x＝±2.4时，y＝－x2＋5＝－×(±2.4)2＋5＝3.92＞3.6. ∴这辆货车能通过该隧道． [解析] 由题意可知A(－40，4)，B(40，4)，H(0，20).设抛物线解析式为y＝ax2＋20.将 A(－40，4)代入y＝ax2＋20可得a＝－.∴y＝－＋20.消防车同时后退10米，即抛物线 y＝－＋20向左平移后的抛物线解析式为y＝－＋20.令x＝0，得y＝19.故答案为19. 解得 设z＝kx＋b，则解得 ∴z＝－x＋19. ∴z关于x的函数解析式为 z＝ ②当12＜x≤20时，w＝(5x＋40) ＝－x2＋35x＋360＝－(x－14)2＋605. ∵－＜0，∴当x＝14时，w最大＝605＞600. 根据题意，得＝.解得x＝400. w＝ 联立解得或∴Q1(2，3)； 联立 解得或 ∴点Q的坐标为(2，3)或或. 联立 ∴NE2＝(b－3)2. ∴42－8b＝(b－3)2. ∴正方形MNED的边长为9或. $$