第13讲 二次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第13讲　二次函数的图象及性质 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 二次函数的图象及性质 定义 形式 图象与性质 解析式求法 待定系数法 对称变换 平移变换 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 与方程、不等式的关系 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数 图象与性质 图象：二次函数图象都是抛物线，关于某条直线对称，这条直线叫对称轴，对称轴与抛物线的交点叫顶点(最高点或最低点) 函数 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 形式 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴交点坐标 对称 变换 对于抛物线y＝2x2－4x＋1，顶点式：y＝2(x－1)2－1， (1)关于x轴对称：－y＝2x2－4x＋1，即y＝－2x2＋4x－1 (2)关于y轴对称：y＝①__________________，即y＝②__________ (3)关于原点对称：－y＝2(－x)2－4(－x)＋1，即y＝－2x2－4x－1 (4)关于顶点对称：y＝－2(x－1)2－1，即y＝－2x2＋4x－3 2(－x)2－4(－x)＋1 2x2＋4x＋1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)抛物线y＝2x2向左平移3个单位，向上平移1个单位，得y＝2(x＋3)2＋1 (2)抛物线y＝2(x＋3)2＋1向右平移4个单位，向下平移2个单位，得y＝2(x＋3－4)2＋1－2，即y＝2(x－1)2－1 【提分点拨】 平移变换的关键：(1)弄清哪个函数图象向哪个方向平移；(2)实质是点平移，重点关注顶点平移；(3)方法：左加右减，上加下减；(4)平移坐标轴与此方法相反． 平移变换 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 二次函数的图象与 a，b，c的符号关系 (1)a⇔确定开口方向 (2)c⇔确定与y轴交点位置 (3)a，b⇔确定对称轴位置(左同右异) (4)Δ⇔确定抛物线与x轴交点个数 (5) a＋b＋c的符号由x＝1时决定 a－b＋c的符号由x＝－1时决定 (6) 4a＋2b＋c符号由x＝2时决定 4a－2b＋c符号由x＝－2时决定 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (10)特殊值法：取三个特殊点，代入一般式，求出a，b，c，再判断以上各式的符号 二次函数的图象与a，b，c的符号关系 (7) a为负数时， 注意变号 (9)两根异号⇔ Δ＞0， x1x2＜0； 两根中一根大于2， 另一根小于2⇔ Δ＞0， (x1－2)(x2－2)＜0 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 与x轴有③____个交点⇔对应方程有两个不相等实数根⇔Δ＞0 与x轴有④____个交点⇔对应方程有两个相等实数根⇔Δ⑤___0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑥_____0 与方程、不等式的关系 与方程 2 1 ＝ ＜ 与不等式 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围解集 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围解集 【提分点拨】 几个公式 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 1 素养积累 例 1 若y＝(m2＋m)x －x＋3是关于x的二次函数，则m＝__________． [解析] 由题意，得m2－2m－1＝2，且m2＋m≠0.解得m＝3. 二次函数的定义 核心知识 1 m2－2m－1 3 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 下列函数中，是二次函数的是(　　) C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   考查二次函数的定义，注意二次函数的二次项系数不为0这个关键条件． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 1.(2023·宁波) 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点 A(1，－2)和B(0，－5). 用待定系数法求二次函数的解析式 核心知识 2 (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解答] 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－6). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围． [解答] 解：－3≤x≤1.　[如图，∵点A(1，－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3，－2)，∴当y≤－2时，x的范围是－3≤x≤1.] 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   考查用待定系数法求二次函数解析式． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 已知二次函数y＝x2－2x－3. (1)用配方法将解析式化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出顶点坐标和对称轴； (2)将解析式化为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式，并写出函数图象与x轴的交点坐标． [解答] 解：(1)y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，顶点(1，－4)，对称轴为直线x＝1. (2)y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)， 函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·五市区) 将二次函数y＝2x2－8x＋13化成y＝a(x＋h)2＋k的 形式为_________________． y＝2(x－2)2＋5 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   熟练运用二次函数三种解析式的转换． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 (2023·大连) 已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的 最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 二次函数的图象与性质 核心知识 3 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] ∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上． ∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小． 当x＝0时，y最大＝－1； 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． 当x＝3时，y最大＝9－6－1＝2. ∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2.故选D. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 y2＜y3＜y1 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   考查二次函数的对称性、增减性、最值以及各点距离对称轴的远近与函数值的关系． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 1.(2023·南充) 若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点 在抛物线y＝a(x＋1)2上的是(　　) A．(m，n＋1) B．(m＋1，n) C．(m，n－1) D．(m－1，n) [解析] 将抛物线y＝ax2(a≠0)向左平移1个单位长度得到抛物线y＝a(x＋1)2，那么在抛物线y＝ax2上的点P(m，n)向左平移1个单位长度后的点(m－1，n)就在抛物线y＝a(x＋1)2上．故选D. 二次函数的几何变换(平移、对称与旋转) 核心知识 4 D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝ x＋b与此新图象的交点个数的情况有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解析] 直线y＝x＋b与此新图象的交点个数如图所示，有0或1或2或3或4个交点，共有5种情况．故选B. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2021·眉山) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于 点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(　　) A．y＝－x2－4x＋5 B．y＝x2＋4x＋5 C．y＝－x2＋4x－5 D．y＝－x2－4x－5 [解析] 由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线顶点坐标是(2，1).由抛物线y＝x2－4x＋5知，C(0，5).∴该抛物线的顶点关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9).∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.故选A． A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.(2023·徐州) 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应 的函数表达式为(　　) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·创编) 如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值 与最小值之差不大于5，则m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0 C 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°， 再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是__________． (1，－3) 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   二次函数图象的平移熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀，对称和旋转几何图象分析． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2 素养提升 例 5 (2023·南充) 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； [解答] 解：由题意，得抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)， 即－3a＝3.∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； [解答] 解：设P(m，－m2＋2m＋3)，Q(x，0). ①当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式，得 0＋3＝－m2＋2m＋3＋0.解得m＝0(舍去)或m＝2； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1，3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM·EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 [解答] 解：EN·EN是定值．易知D(1，4). ∵直线GH过点K(1，3)，∴设直线GH的解析式为y＝k(x－1)＋3. 设G(m，－m2＋2m＋3)，H(n，－n2＋2n＋3). 令k(x－1)＋3＝－x2＋2x＋3，整理，得 x2＋(k－2)x－k＝0. ∴m＋n＝2－k，mn＝－k. 由点G，D的坐标，得直线GD的解析式为 y＝－(m－1)(x－1)＋4. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 总目录 3 素养发展 1．(2016·南充) 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝2 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 2．(2022·南充) 已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y＝mx2－2m2x＋n(m≠0)上，当x1＋x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为 (　　) A．0＜m≤2 B．－2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜－2 A 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 3．(2017·南充) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图 象如图所示，下列结论错误的是(　　) A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜b D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ D 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 B 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 7．(2015·南充) 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：由对称轴为l：x＝1，得 ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)， ∴－x2＋2x＋c＝0的解为m－2和2m＋1. ∴(m－2)＋(2m＋1)＝2.解得m＝1. 将m＝1代入(m－2)(2m＋1)＝－c，得c＝3. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1＜x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标； 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 消去y，得x2＋(k－2)x－1＝0. ∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1. ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4. ∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2. ∴x2－1＝0. 由x1＜x2，得x1＝－1，x2＝1，即y1＝0，y2＝4. ∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4). 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 (3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值． 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 解：由(1)(2)知，O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3). O，B，P，C构成多边形的周长L＝OB＋BP＋PC＋CO. ∵线段OB平移过程中，OB，PC长度不变， ∴要使L最小，只需BP＋CO最小． 如图，平移线段OC到BC′，则四边形OBC′C 是矩形．∴C′(3，3). 作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1，－4)， 连接C′P′与x轴交于点B′. 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 设C′P′的解析式为y＝ax＋n，则 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 返回首页 第13讲　二次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 6 7 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P30～31第13讲 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x增大而减小；右侧，y随x增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x增大而增大；右侧，y随x增大而减小 |a|越大⇔抛物线开口越小，越靠近对称轴，y变化越快 |a|相同⇔抛物线形状相同⇔开口大小相同 对称轴 直线x＝0(y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 (0，0) (0，c) (h，0) (h，k) 最大(小)值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 具体 函数 y＝3x2 y＝2x2＋1 y＝ 4(x－1)2 y＝2(x＋3)2－2 y＝x2＋2x－3 图象 2a＋b符号⇔对称轴x＝－与1比大小确定 2a－b符号⇔对称轴x＝－与－1比大小确定 (8)只含ac的关系与对称轴x＝－＝±1时有关 (1)与x轴两个交点A，B点间距离公式：AB＝|x1－x2|＝. (2)中点公式：x中点＝，y中点＝. A．y＝2x－1 B．y＝ C．y＝3－x2 D．y＝(x－1)2－x2 解得 变式 1.(2021·雅安) 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1，－x2＋2x＋3}，则该函数的最大值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 2．(2020·广安) 已知二次函数y＝a(x－3)2＋c(a，c为常数，a＜0)，当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为y1，y2，y3，则  y1，y2，y3的大小关系为____________(用“＜”连接)． ②当BQ为对角线时，可得0＋0＝－m2＋2m＋3＋3.解得m＝1±. 综上所述，点P的坐标为(2，3)，(1＋，－3)或(1－，－3). 令y＝0，则x＝1＋， 即M. ∴EM＝1－1－＝－. 同理可得EN＝. ∴EM·EN＝－×＝＝＝16. 4．(2014·南充) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax＋bx1＝ax＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有(　　) 5．(2023·南充) 抛物线y＝－x2＋kx＋k－与x轴的一个交点为A(m，0)，若－2≤m≤1，则实数k的取值范围是(　　) A．－≤k≤1 B．k≤－或k≥1 C．－5≤k≤ D．k≤－5或k≥ 6．(2019·南充) 在平面直角坐标系xOy中，点A(3m，2n)在直线y＝－x＋1上，点B(m，n)在双曲线y＝上，则k的取值范围为_____________． k≤且k≠0 －＝1.∴b＝2. 解：联立 解得 ∴直线C′P′的解析式为y＝x－. 当y＝0时，x＝.∴B′. 又3－＝，故点B向左平移，平移到B′，同 时，点O向左平移，平移到O′， 即线段OB向左平移时，周长L最小， 此时，线段BP，CO之和最短为 P′C′＝＝，O′B′＝OB＝3，CP＝. ∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′，点B平移到B′时，周长L最小值为＋＋3. $$