第12讲 反比例函数的图象及性质（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第12讲　反比例函数的图象及性质 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 反比例函数的图象及性质 图象与性质 k的几何意义 题型归类 技巧归类 实际应用 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 图象与性质 减小 增大 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 k的几何意义 P与P′关于原点对称， ＝|xy| ＝2|k| S矩形 ＝|x|·|y|　 ＝|k| 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 1.函数值大小比较 (1)一次函数与反比例函数大小比较：如图1，交点 的横坐标与0，将x轴从左到右分成①②③④段 当y2＞y1时，取①③段：如x＜－1或0＜x＜2 当y2＜y1时，取②④段：如－1＜x＜0或x＞2 题型归类 图1 (2)两个反比例函数k的比较：如图2，k1＜k2 (3)同一个反比例函数上三点纵坐标值大小比较：主要画 图，如(－1，y1)，(1，y2)，(2，y3) 图2 2．反比例函数与面积问题 3．反比例函数与三角形问题 4．反比例函数与四边形问题 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (3)夹心三角形面积：如图3，S△AOB＝S梯形ABCD (4)如图4，AB＝DC (5)如图5，DE∥AB 技巧归类 图3 图4 图5 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (1)一般步骤：①审题，确定自变量，因变量；②明确变量之间的数量关系；③根据数量关系确定反比例函数解析式；④根据题意确定自变量的取值范围；⑤根据反比例函数的性质解决相应问题；⑥对答案进行检验，符合题意后作答 实际应用 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 1 素养积累 例 1 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) 反比例函数的定义 核心知识 1 B 变式 若y＝(m＋1)x|m|-2是关于x的反比例函数，则m的值为________． 1 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   考查反比例函数的定义，反比例函数定义中，k≠0，且x的次数为 －1. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 反比例函数的图象与性质(对称性、增 核心知识 2 减性) D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象关于原点对称的是(　　) B 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 A．过双曲线上任意一点M作y轴的垂线，垂足为点N，则△OMN的面积为6 B．此双曲线分布在第二、四象限，y随x的增大而增大 C．双曲线关于直线y＝x成轴对称 B 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   1．考查反比例函数的图象分布及增减性：当k＞0时，图象分布于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分布于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大． 2．考查反比例函数图象的对称性，反比例函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 反比例函数中k的几何意义 核心知识 3 A．38 B．22 C．－7 D．－22 D 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   考查反比例函数系数k的几何意义，熟记与之相关的基本图形． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 4 (2023·南充) 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m，当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可 以节省_______N的力．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 反比例函数的实际应用 核心知识 4 100 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正比 例；燃烧后，y与x成反比例(如图所示)．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.根据以上信息，解答下列问题： (1)求药物燃烧后y与x之间的函数关系式； 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？ ∵x＞0，∴1.6x＞80.∴x＞50. ∴从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   考查反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的思想． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； 反比例函数的综合应用 核心知识 5 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 ∵点A(－1，6)在反比例函数的图象上， ∴n＝－6. ∵点B在反比例函数的图象上， 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 ∵点A(－1，6)，B(3，－2)在一次函数y＝kx＋b的图象上， ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 (2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 解得a＝5或a＝－3(舍去).∴P(5，0)； 当AB＝PB时，5＝|－3－a|. 解得a＝－8或a＝2.∴P(－8，0)或P(2，0).] 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2 素养提升 例 6 (2022·南充) 如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC. (1)求直线AB与双曲线的解析式； 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 (2)求△ABC的面积． ∴点C与点B关于原点O对称．∴C(3，2). 作BG∥x轴，FC∥y轴，FC和BG交于点G，作BE∥y轴， FA∥x轴，BE和FA交于点E. ∵A(1，6)，B(－3，－2)，C(3，2)， ∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4. ∴S△ABC＝S矩形EBGF－S△AEB－S△BGC－S△AFC ＝48－16－12－4＝16. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 总目录 3 素养发展 (1)求m的值； 解：在Rt△AOC中， ∵∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，OA＝2， 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 (2)点P在y轴上，如果S△ABP＝3k，求点P的坐标． 解：设P(0，n). 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 2．(2021·南充) 如图，反比例函数的图象与过点A(0，－1)，B(4，1)的直线交于点B和C. (1)求直线AB和反比例函数的解析式； ∵反比例函数的图象过点B(4，1)， ∴k＝4×1＝4. 把A(0，－1)，B(4，1)代入y＝ax＋b，得 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 (2)已知点D(－1，0)，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积． 解：E(1，4). ∴C(－2，－2). [设直线CD的解析式为y＝mx＋n. 把C(－2，－2)，D(－1，0)代入y＝mx＋n，得 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 ∴直线CD的解析式为y＝2x＋2. 返回首页 第12讲　反比例函数的图象及性质 首页 1 2 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P26～27第12讲 表达式 y＝(k≠0)，y＝kx-1，xy＝k k的符号 k＞0 k＜0 图象 (双曲线) 渐近性 图象与坐标轴无限接近，但永不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而①_______ 在每一象限内(x＞0或x＜0)，y随x的增大而②________ 对称性 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称，也关于原点成中心对称 面积不变 图象上任一点作两坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成矩形面积不变，恒为|k|，S△＝|k| 画法 (五点法) 在一个象限内取五个点，用平滑的曲线连接起来，再由对称性画出另一支 S△APP′＝×2|yP|×2|xP| S△＝|k| (1)大胆设坐标，字母用得越少越好，如 (2)根系关系：|x1－x2|＝ (2)常见应用公式：①行程问题：速度＝；②工程问题：工作效率＝；③压强问题：压强＝；④电学问题：电阻＝ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝＋2 例 2 1.(2023·天津) 若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，2)都在反比例函数y＝－的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) [解析] 将A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，2)代入y＝－，得x1＝1，x2＝ －2，x3＝－1.∴x2＜x3＜x1.故选D. A．y＝x2 B．y＝ C．y＝2x－4 D．y＝－x(x＞0) [解析] A．y＝x2的图象关于y轴对称；B.y＝的图象两个分支在第一、三象限，关于原点对称；C.y＝2x－4的图象经过第一、三、四象限；D.y＝－x(x＞0)的图象是第四象限的角平分线．故选B. 变式 1.在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2－kx＋4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 __________．  y＝ 2．关于反比例函数y＝－的图象——双曲线，下列说法不正确的是 (　　) D．此双曲线上的点到原点的最短距离为2 例 3 (2022·内江) 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为(　　) [解析] ∵直线l∥y轴，∴∠OMP＝∠OMQ＝90°.∴S△OMP＝×8＝4，S△OMQ＝－k.又∵S△POQ＝15，∴4－k＝15，∴k＝－22.故选D. [解析] 根据“杠杆原理”有FL＝1 000×0.6＝600.∴函数的表达式为F＝.当L＝1.5时，F＝＝400；当L＝2时，F＝＝300.因此，撬动这块石头可以节省的力为400－300＝100(N). 解：设药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y＝. ∵函数图象经过点(10，8)， ∴8＝.解得k＝80. ∴药物燃烧后y与x之间的函数关系式为y＝. 解：当y＜1.6时，＜1.6. 例 5 (2023·南充) 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 A(－1，6)，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D. [解答] 解：由题意，设反比例函数、一次函数分别为y＝(n≠0)，y＝kx＋b(k≠0). ∴反比例函数的解析式为y＝. ∴(a－3)＝－6.∴a＝1.∴B(3，－2). ∴解得 [解答] 解：设M(m，0).由(1)得，直线 y＝－2x＋4 交x轴于点C(2，0).∴OC＝2.∴S△OAB＝S△OAC＋S△OBC＝OC×6＋OC×2＝6＋2＝8. ∵点M在x轴上， ∴S△OAM＝OM×6＝3|m|＝8. ∴m＝±. ∴点M的坐标为或. 变式 (2023·广安) 如图，一次函数y＝kx＋(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(－3，0). 解：将A(1，n)，B(－3，0)代入y＝kx＋，得解得∴A(1，3). 将其代入反比例函数y＝，得m＝3. ∴一次函数的解析式为y＝x＋，反比例函数的解析式为y＝. 解：点P的坐标为(5，0)或(－8，0)或(2，0).[由(1)知，A(1，3)，B(－3，0)，则AB＝＝5.设P(a，0). 当AB＝AP时，5＝. [解答] 解：设双曲线的解析式为y＝. ∵点A(1，6)在该双曲线上， ∴6＝，即k＝6. ∴双曲线的解析式为y＝. ∵点B(m，－2)在双曲线y＝上， ∴－2＝，即m＝－3，B(－3，－2). 设直线AB的解析式为y＝ax＋b，则 解得 ∴直线AB的解析式为y＝2x＋4. [解答] 解：∵点C是直线OB与双曲线y＝在第一象限的交点， ＝8×6－－－ 1．(2017·南充) 如图，直线y＝kx(k为常数，k≠0)与双曲线y＝(m为常数，m＞0)的交点为A，B，AC⊥x轴于点C，∠AOC＝30°，OA＝2. ∴AC＝1，OC＝.∴A(，1). ∵双曲线y＝经过点A(，1)，∴m＝. ∵直线y＝kx经过点A(，1)，∴k＝. ∵A(，1)，∴B(－，－1). ∵S△ABP＝3k， ∴·|n|·＋·|n|·＝3×. ∴n＝±1.∴点P的坐标为(0，1)或(0，－1). 解：设反比例函数的解析式为y＝，直线AB的解析式为y＝ax＋b. 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x－1，反比例函数的解析式为y＝. 联立解得或 解得 联立解得或 ∴E(1，4).] ∴S△BCE＝6×6－×6×3－×3×3－×3×6＝. $$