第11讲 一次函数的图象及性质（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第11讲　一次函数的图象及性质 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 一次函数的图象及性质 图象与性质 用待定系数法确定函数解析式的步骤 直线平移 识图 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与方程(组)的关系(如图) 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与不等式(组)的关系 对称：直线y＝kx＋b 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数) k决定图象的倾斜方向和增减性 k＞0 k＜0 图象 (示意图) b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象与性质 从左向右看图象呈上升趋势 y随x的增大而①_____ 增大 从左向右看图象呈 下降趋势 y随x的增大而②_____ 减小 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 【提分点拨】 1．|k|越大⇔直线与x轴夹的锐角越大⇔直线越陡． 图象与性质 经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 b决定图象与y轴的交点位置 b＞0⇔交点在y轴正半轴上； b＝0⇔交点在原点； b＜0⇔交点在y轴负半轴上 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 3．k表示增减性、变化率： 图象与性质 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 上、下平移：上加下减，如y＝2x－1向上平移6个单位→y＝③__________ 左、右平移：左加右减，如y＝2x－1向左平移3个单位→y＝④__________　 用待定系数法确定函数解析式的步骤 (1)设：设函数解析式为y＝kx＋b； (2)代：代入两个点的坐标； (3)解：解方程组； (4)答 直线平移 2x＋5 2x＋5 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 y＞0(或y＜0)：指函数图象在x轴上方(或下方)的部分 x＞0(或x＜0)：指函数图象在y轴右侧(或左侧)的部分 y1＞y2(或y1＜y2)：指过交点平行于x轴的直线上方(或下方)的部分 识图 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 点在直线上⇔直线经过这个点⇔这个点的坐标使关系式成立(见点代入，体现形、数结合) 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与方程(组)的关系(如图) 一次函数的解析式就是一个二元一次方程 方程k2x＋b2＝0的解是点⑤_____的横坐标 B 方程组 y1＝k1x＋b1， y2＝k2x＋b2 的解是点⑥_____的坐 标对应横、纵坐标的值 C 【提分点拨】 求两个函数交点坐标的方 法：(1)联立成方程组；(2)画图． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x 的取值范围就是不等式⑦__________的解集； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x 的取值范围就是不等式⑧__________的解集 一次函数y＝kx＋b(b≠0) 与不等式(组)的关系 kx＋b＞0 kx＋b＜0 对称：直线 y＝kx＋b (1)关于x轴对称可得－y＝kx＋b，即直线y＝－kx－b (2)关于y轴对称可得y＝k·(－x)＋b，即直线y＝－kx＋b (3)关于原点对称可得－y＝k·(－x)＋b，即直线y＝kx－b 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 1 素养积累 例 1 (2022·郫都区) 若函数y＝(m－1)x|m|＋2是一次函数，则m的值为 (　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 一次函数的定义 核心知识 1 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 (2012·南充) 下列函数中，是正比例函数的是(　　) A 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6   考查一次函数和正比例函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自变量次数为1. 正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数，k≠0，自变量次数为1. 二者的关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数一定是一次函数． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 2 (2020·凉山州) 若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第二 象限，则m的取值范围是(　　) 一次函数图象与性质 核心知识 2 D 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 (2021·成都) 在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增 大，则点P(3，k)在第__________象限． 一 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6   一次函数图象、性质与k，b的关系：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)，当b＞0时与y轴交于正半轴，当b＝0时过原点，当b＜0时与y轴交于负半轴． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 3 (2022·北京) 在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(4，3)，(－2，0)，且与y轴交于点A. (1)求该函数的解析式及点A的坐标； 用待定系数法求一次函数解析式 核心知识 3 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围． [解答] 解：当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值，n的取值范围为n≥1. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 4 1.(2023·内蒙古) 在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一 次函数的解析式为(　　) A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6 [解析] 正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到的一次函数的解析式为y＝－2(x－3)＝－2x＋6.故选B. 一次函数图象的几何变换 核心知识 4 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6   一次函数图象的平移，熟记“左加右减自变量、上加下减常数项”口诀． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 2．如图，与图中直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是__________． [解析] ∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是－y＝－x＋1，即y＝x－1. y＝x－1 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6   考查一次函数图象的对称变换，解决此类题型的突破口是将直线的对称转化成点的对称． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k(x－1)的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解答] 解：∵一次函数y＝k(x－1)的图象分别交x轴、y轴于A，B两点， ∴B(0，－k)，A(1，0). ∵OB＝2OA，OA＝1，∴OB＝2.∴B(0，－2). 过点A作AF⊥AB交BC于点F，过点F作FE⊥x轴于点E. ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形．∴AB＝AF. ∵∠OAB＋∠OBA＝∠OAB＋∠EAF＝90°， ∴∠OBA＝∠EAF.∴△ABO≌△FAE(AAS). 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 ∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1.∴F(3，－1). 设直线BC的函数表达式为y＝k′x＋b， 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6   考查一次函数图象的旋转，突破口是将直线的旋转问题转化为点的旋转问题． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 1.(2020·广安) 一次函数y＝2x＋b的图象过点(0，2)，将函数y＝2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为__________． 2．(2023·创编) 已知直线l1的表达式为y＝－2x＋b，若直线l1与直线l2关 于y轴对称，且l2经过点(1，6)，则b的值为(　　) A．8 B．4 C．－8 D．－4 y＝2x＋7 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 5 1.已知某一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，且与直 线y＝3x＋4交于y轴的同一点，则此一次函数的表达式为__________． 两直线平行或相交问题(平行、垂直、 核心知识 5 交点坐标) y＝2x＋4 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2. 在直线y＝3x＋4中，当x＝0，y＝4， ∴该图象与y轴交于点(0，4). 将点(0，4)代入y＝2x＋b，得b＝4. ∴此一次函数的表达式为y＝2x＋4. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6     考查两个或多个一次函数图象互相平行时k值相等，但b值不相等. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 2．(2023·创编) 如图，直线y＝2x＋4与两坐标轴分别交于A，B两点，直线BC与直线AB垂直，垂足为B，则直线BC的函数表达式为 __________． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.对于y＝2x＋4，令y＝0，得x＝－2. ∴OB＝2，B(－2，0). 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6     考查两个一次函数图象互相垂直时，两个k值互为负倒数，即k1·k2＝－1. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x－5与y2＝2x－4.求这两个函数图象的交点坐标． [解答] 解：由题意，令3x－5＝2x－4，解得x＝1.当x＝1时，y1＝y2＝－2. ∴这两个函数图象的交点坐标为(1，－2). 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6     考查一次函数交点坐标的求法：联立两个一次函数表达式得一次方程(组)，求得x，y的值即为交点横、纵坐标． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 变式 如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y＝x上运动，则当线段AB最短时，点B的坐标为(　C　) 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 [解析] 过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E. ∵垂线段最短， ∴当点B与点D重合时线段AB最短． ∵直线OB的解析式为y＝x，它与x轴的夹角为 45°，∴△AOD是等腰直角三角形． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 例 6 (2022·南充) 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．(利润＝售价－进价) 一次函数的实际应用 核心知识 6 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价(元/件) a 80 售价(元/件) 300 100 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (1)求真丝衬衣进价a的值； [解答] 解：依题意，得 50a＋80×25＝15 000. 解得a＝260. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ [解答] 解：设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾(300－x)件． 依题意，得300－x≥2x.解得x≤100. 设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝(300－260)x＋(100－80)(300－x)＝20x＋6 000. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 ∵20＞0，∴w随x的增大而增大． ∴当x＝100时，w取得最大值，最大值为20×100＋6 000＝8 000，此时300－x＝300－100＝200. 答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8 000元． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 (3)按(2)中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ [解答] 解：设每件真丝围巾降价y元．依题意，得 8 000×90%. 解得y≤8. 答：每件最多降价8元． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 一次函数的实际应用一般涉及的问题 1．求函数解析式，常用以下方法： (1)利用题干中的关系式； (2)利用待定系数法． 2．选择最优方案或方案选取：当给定x值选取方案时，将x的值代入解析式，判断y值结果大小；给定y值选取方案时，将y的值代入解析式，判断x值结果大小；当x，y值均未给定时，若为两种方案的选取，将两个方案的函数关系式组成不等式，求解对应的x的取值范围． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 3．利润最大或费用最少：一般由图象、题干中的数量关系或费用关系列出不等式，求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用或最大利润． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 核心知识6 2 素养提升 例 7 (2016·南充) 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2 500 m，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象． (1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式； 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？ [解答] 解：设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为s＝kt＋b，则 ∴s＝30t＋250. 令50t－500＝30t＋250，解得t＝37.5. ∴小明出发37.5 min与爸爸第三次相遇． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 (3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？ [解答] 解：由30t＋250＝2 500， 解得t＝75. 则小明的爸爸到达公园需要75 min. 由图可知，小明到达公园需要的时间 是60 min，而小明希望比爸爸早 20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5 min. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 总目录 3 素养发展 1．(2022·眉山) 一次函数y＝(2m－1)x＋2的值随x的增大而增大，则点 P(－m，m)所在象限为(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限　　　 D．第四象限 B 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 2．(2018·南充) 直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是(　　) A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2) C．y＝2x－2 D．y＝2x＋2 C 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 1 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 4．(2014·南充) 今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点．从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件． (1)设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围； 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 解：∵从A基地运往甲销售点水果x件， ∴从A基地运往乙销售点水果(380－x)件，从B基地运往甲销售点水果(400－x)件，运往乙销售点水果(x－80)件． 由题意，得w＝40x＋20(380－x)＋15(400－x)＋30(x－80)，即w＝35x＋11 200. ∴x的取值范围是80≤x≤380. 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 (2)若总运费不超过18 300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费． 解：∵A地运往甲销售点的水果不低于200件， ∴x≥200.∴200≤x≤380. ∵35＞0，∴w随x的增大而增大． ∴当x＝200时，运费最低，为35×200＋11 200＝18 200(元). ∵18 200＜18 300， ∴运费最低的运输方案为：从A基地运往甲销售点水果200件，运往乙销售点水果180件；从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙销售点水果120件，最低运费为18 200元． 返回首页 第11讲　一次函数的图象及性质 首页 1 2 3 4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P24～25第11讲 一、三 二、四 2．两直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2的位置关系：(1)l1∥l2⇔k1＝k2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(3)l1和l2交于y轴同一点⇔b1＝b2； (4)l1和l2交于x轴同一点⇔－＝－，即＝. 2．两直线l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2的位置关系：(1)l1∥l2⇔k1＝k2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1；(3)l1和l2交于y轴同一点⇔b1＝b2； (4)l1和l2交于x轴同一点⇔－＝－，即＝. A．y＝－8x B．y＝－ C．y＝5x2＋6 D．y＝－0.5x－1 A．m＞－ B．m＜3 C．－＜m＜3 D．－＜m≤3 [解析] 根据题意，得解得－＜m≤3.故选D. [解答] 解：把点(4，3)，(－2，0)代入y＝kx＋b，得解得 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 当x＝0时，y＝x＋1＝1. ∴点A的坐标为(0，1). 则解得 ∴直线BC的函数表达式为y＝x－2.  y＝－x－1 ∵直线BC与直线AB垂直，∴k＝－. ∴－×(－2)＋b＝0.解得b＝－1. ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－1. A．(0，0) B． C． D． ∴OE＝DE＝OA＝.∴D. 故选C. 考查一次函数与x轴夹角为特殊角时与k的关系：当与x轴的锐角夹角为30°时，|k|＝；当与x轴的锐角夹角为45°时，|k|＝1；当与x轴的锐角夹角为60°时，|k|＝.k的正负性可以根据函数图象的增减性判断． (300－260)×100＋(100－80)××200＋(100－y－80)××200≥ [解答] 解：s＝ 解得 3．(2023·南充) 如图，直线y＝kx－2k＋3(k为常数，k＜0)与x，y轴分别交于点A，B，则＋的值是__________． ∵∴80≤x≤380. $$