第8讲 分式方程解法及应用（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第8讲　分式方程解法及应用 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 分式方程解法及应用 分式方程 解题步骤 定义 增根 题型 分式方程的实际应用 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 定义：①__________中含有未知数的方程叫分式方程 分母 解题 步骤 (1)去分母，化为整式方程； (2)解整式方程； (3)检验 方法1：把未知数的值代入最简公分母≠0，为方程的解； 方法2：把未知数的值代入原方程，左边＝右边，为方程 的解 (4)答 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 定义：满足分式方程去分母后的整式方程且使分式方程分母为 ②_______的未知数的值叫分式方程的增根 产生原因：分式方程去分母时，两边同时乘了一个等于0的最简 公分母 增根 0 题型 分式方程有增根：把方程分母去掉后代入增根，求出待定系数的值 分式方程无解 (1)方程有增根； (2)方程化简成ax＝b后讨论a＝0，b≠0 方程解为正数(或负数)：解出x，由x＞0(或x＜0)求出待定系数的取值范围，再代入增根，去掉对应待定的系数的值 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)答 常见题型 易错 求出方程的根后忘记检验． 分式方程的实际应用 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 1 素养积累 分式方程的定义 核心知识 1 3 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 A 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母). 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解答] 解：将x＝3代入原方程，得 分式方程的解及解分式方程 核心知识 2 x＝－3 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 D 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解：方程两边都乘2(x－1)，得2＋2x－2＝3. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   解分式方程，利用了转化的思想．将分式方程去分母后得到整式方程；解分式方程注意要检验．本题考查了分式方程的增根，增根产生的原因是去分母时，有可能等式左右两边同乘的代数式为0. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 分式方程含参问题 核心知识 3 [解答] 解：方程两边都乘(x－2)，得 x＋m－2m＝3(x－2).① ∵原方程有增根，∴x＝2. 将x＝2代入整式方程①，得2＋m－2m＝0. 解得m＝2. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 A．3 B．4 C．5 D．6 B 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解：方程两边都乘x(2x＋1)，得 2(2x＋1)＝mx，即(m－4)x＝2. ∵原方程无解， ∴当m－4＝0时，m＝4； 当m－4≠0时，2x＋1＝0或x＝0. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 综上所述，m的值为4或0. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 C 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录   1．理解分式方程增根产生的原因及分式方程无解的条件是解题的关键． 2．解分式方程时，要求注意最简公分母不能为0.同时注意ax＝b时，a＝0也是无解产生的原因． 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 (2023·广东) 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 12 km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度． 分式方程的实际应用 核心知识 4 [解答] 解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为 1.2x km/h. 经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 (2023·泸州) 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 解：设该商场节后每千克A粽子的进价为x元．根据题意，得 解得x＝10或x＝－12(舍去). 经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意． 答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元． 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过 4 600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 解：设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元．根据题意，得 (10＋2)m＋10(400－m)≤4 600. 解得m≤300. w＝(20－12)m＋(16－10)(400－m)＝2m＋2 400. ∵2＞0，∴w随着m增大而增大． ∴当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300＋2 400＝3 000(元). 答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3 000元. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2 素养提升 (1)求甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天； 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 (2)已知甲队每天的施工费用为8.2万元，乙队每天的施工费用为5.8万元．工程预算的施工费用为501万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 答：拟安排预算的施工费用不够用，需追加预算3万元． 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 总目录 3 素养发展 A．x－3＝1 B．x2－3(x－1)＝1 C．x2－3(x－1)＝x(x－1) D．x2－3x－1＝x(x－1) C 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 2．(2016·南充) 某次列车平均提速20 km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400 km，提速后比提速前多行驶100 km.设提速前列车的平均速 度为x km/h，下列方程正确的是(　　) A 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 2 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 10或0或5 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 解：方程两边都乘(x－4)，得 3－x－1＝x－4.解得x＝3. 经检验，x＝3是原分式方程的解． 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得 x－1＋2x＋2＝4.解得x＝1. 检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解，原分式方程无解． 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 7．(2021·南充) 超市购进某种苹果，如果进价增加2元/kg要用300元；如果进价减少2元/kg，同样数量的苹果只用200元． (1)求苹果的进价； 解：设苹果的进价为x元/kg. 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意． 答：苹果的进价为10元/kg. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 (2)如果购进这种苹果不超过100 kg，就按原价购进；如果购进苹果超过100 kg，超过部分购进价格减少2元/kg，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(kg)之间的函数关系式； 解：当0≤x≤100时，y＝10x； 当x＞100时，y＝10×100＋(x－100)×(10－2)＝8x＋200. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 解：当0≤x≤100时， w＝zx－y 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 ∴当x＝100时，w的最大值为100； 当100＜x≤300时， w＝zx－y 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 ∴当x＝200时，w的最大值为200. ∵200＞100，∴要使超市销售苹果利润最大，一天购进苹果数量为 200 kg. 返回首页 第8讲　分式方程解法及应用 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 7 本讲内容结束 请完成《练测本》P16～17第8讲 工程问题：总工作量为1，工作效率＝ 销售(盈利)问题：折扣＝ 行程问题：时间＝ 例 1 在方程＝，3＋＝2，－＝0，＝1中，分式方程有__________个． [解析] 在方程＝，3＋＝2，－＝0，＝1中，分式方程有＝，3＋＝2，＝1，一共有3个． 变式 (2023·创编) 下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x－1，④＝中，是分式方程的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例 2 1.(2021·温江区) 若关于x的分式方程＝＋3的解为3，求a的值． ＝＋3.解得a＝7. 2．(2014·南充) 分式方程＋＝0的解是__________. 变式 1.(2022·青羊区) 关于x的方程＝的解为x＝1，则a＝ (　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 2．(2023·山西) 解方程：＋1＝. 解得x＝. 检验：当x＝时，2(x－1)≠0． ∴原分式方程的解为x＝. 例 3 1.(2023·巴中) 关于x的分式方程＋＝3有增根，求m的值． 2．已知关于x的分式方程＋2＝－的解为非负数，则正整数m的所有个数为(　　) 变式 1.(2022·遂宁) 若关于x的方程＝无解，求m的值． 解得x＝－或x＝0. 此时x＝. 当x＝－时，＝－，解得m＝0； 当x＝0时，＝0无解． 2．(2023·绵阳)若关于x的方程＋＝a无解，则a的值为(　　) A．2　 B．　　 C．1或2　 D．2或 根据题意，得－＝.解得x＝12. －4＝. 例 5 京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． [解答] 解：设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要x天．根据题意，得＋＝1.解得x＝90. 经检验，x＝90是原方程的根，且符合题意． 则x＝×90＝60(天). [解答] 解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．根据题意，得 y＝1.解得y＝36.需要施工费用36×(8.2＋5.8)＝504(万元).∴504－501＝3(万元). 1．(2022·阿坝州) 解分式方程－＝1时，将分式方程化为整式方程，变形正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．(2017·南充) 如果＝1，那么m＝__________． 4．(2023·南高二模) 已知关于x的分式方程－＝1 无解，则a的值为______________． 5．(2022·成都) 解分式方程：＋＝1. 6．解分式方程：＋＝. 根据题意，得＝.解得x＝10. ∴y＝ (3)超市一天购进苹果数量不超过300 kg，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/kg)与一天销售数量x(kg)的关系为z＝－x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出) ＝－10x ＝－(x－100)2＋100. ∵－＜0， ＝x－(8x＋200) ＝－x2＋4x－200 ＝－(x－200)2＋200. ∵－＜0， $$