第7讲 方程与方程组的实际应用（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第7讲　方程与方程组的实际应用 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 方程与方程组的实际应用 一次方程(组)的实际应用 类型 一元二次方程的实际应用 步骤 变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 利润问题：利润＝售价－进价＝进价×利润率，售价＝标价×折扣 利息问题：利息＝本金×利率×期数 工程问题：工作量＝工作效率×①__________ 一次方程(组)的实际应用 类型 工作时间 行程问题 相遇：甲路程②____乙路程＝总路程 追及：快车路程③_____慢车路程＝两地间距离 ＋ － 步骤：(1)审题；(2)设未知数(直接设，间接设)；(3)找等量关系(一般几个未知数就有几个等量关系)；(4)列方程(组)；(5)解方程组(组)；(6)验证；(7)答 方法：(1)列表法找等量关系；(2)画线段图找等量关系 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 【温馨提示】 列一元二次方程解应用题时，一般会产生两个解，必须检验，把不合题意的解舍去． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 设原来的量为a，变化后的量为b.(在求解时一般使用直接开平方法) 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有④____________ 变化率问题 a(1－x)2＝b 易错 一月份产量为a件，平均每月增长率为x，第一季度产量为b件，则有a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＝b. 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a＋ax＋(a＋ax)x＝b，即a(1＋x)2＝b 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 (1)平移问题 ①如图1，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑤_______________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) 　图1　　　　　　　　　　　　　　图2 ②如图2，设空白部分的宽均为x，则S阴影＝⑥_____________ (a－x)(b－x) (2)围栏靠墙问题： 这里注意：BC≤a 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润× 销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件．若单价 涨价y元，则少卖的数量为⑦________件 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛) 与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)， 握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑧_________＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼 物，则x(x－1)＝m 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 1 素养积累 例 1 美团外卖骑手分为专职和兼职两种，专职骑手月工资4 000元保底，每送一单外卖可再得3元；兼职骑手没有保底工资，每送一单外卖可得4元．小张是一名专职美团骑手，小李是一名兼职美团骑手． (1)若10月小张和小李送出的外卖单数相同，且小张比小李多收入了2 500元，求小张送出了多少单外卖； 一次方程(组)的实际应用——分段计 核心知识 1 费、方案选择 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解答] 解：设小张送出了a单外卖，则小李也送出了a单外卖．根据题意，得 4 000＋3a－4a＝2 500.解得a＝1 500. 答：小张送出了1 500单外卖． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)根据国家个人所得税税率标准，月工资超过5 000元时，需要交纳个人所得税，税率如下表所示： 级数 工资范围 个人税率 1 不超过5 000 0 2 超过5 000元至不超过8 000元的部分 3% 3 超过8 000元至不超过17 000元的部分 10% … … … 如果小张在11月交了200元的个人所得税，请问小张在11月送出了多少单外卖？ 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 [解答] 解：∵(8 000－5 000)×3%＝90，90＜200， ∴小张11月的收入高于8 000元． 设小张在11月送出了b单外卖，则11月的收入为(4 000＋3b)元． ∴90＋(4 000＋3b－8 000)×10%＝200. 解得b＝1 700. 答：小张在11月送出了1 700单外卖． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (3)如果小李在10月和11月两个月共交纳了个人所得税300元，且他每个月的工资都不低于5 000元，请直接写出小李在这两个月中最多送出了__________单外卖，最少送出了__________单外卖． [解答] 解：4 300　3 775 [设小李在两个月总收入为x元．假设两个月的月收入都不超过8 000元，则最多缴纳个人所得税为(8 000－5 000)×3%×2＝180(元)＜300(元).假设有一个月收入为17 000元，则90＋(17 000－8 000)×10%＝990(元)＞300(元).∴他至少有一个月月收入超过8 000元，并且都不超过17 000元． 4 300 3 775 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 ①当两个月月收入都超过8 000元，不超过17 000元时，记第一个月收入为x′元，第二个月收入为x″元，即x＝x′＋x″，则90＋(x′－8 000)×10%＋90＋(x″－8 000)×10%＝300.解得x＝x′＋x″＝17 200. 设此时送出了m单，则4m＝17 200，解得m＝4 300； ②当有一个月收入恰好5 000元，另一个月收入一定大于8 000元时，90＋(x－5 000－8 000)×10%＝300.解得x＝15 100. 设此时送出了n单，则4n＝15 100，解得n＝3 775.] 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 变式 1.(2021·南充) 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个 肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为(　　) A．10x＋5(x－1)＝70 B．10x＋5(x＋1)＝70 C．10(x－1)＋5x＝70 D．10(x＋1)＋5x＝70 A 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2．(2015·南充) 学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数 量是(　　) A．25台 B．50台 C．75台 D．100台 3．(2020·南充) 笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔 恰好用去100元，那么最多购买钢笔__________支． C 10 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录   一次方程(组)的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一次方程(组)． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 2 随着夏季的到来，各类水果自然也成了大众喜爱的消费产品．已知某水果店第一次售出苹果和芒果共200千克，其中苹果的售价为24元/千克，芒果的售价为20元/千克，总销售额为4 320元． (1)求水果店第一次售出苹果和芒果各多少千克； 一元二次方程的实际应用——销售问题 核心知识 2 [解答] 解：设水果店第一次售出苹果x千克，售出芒果y千克．依题意，得 答：水果店第一次售出苹果80千克，售出芒果120千克． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)通过最近的调查发现消费者更加青睐于购买芒果，经销售统计发现：与第一次相比，芒果的售价每降低1元，销量就增加20千克，苹果的售价和销量均保持不变．如果第二次的苹果和芒果全部售完比第一次的总销售额多980元，求第二次芒果的售价． [解答] 解：设第二次芒果的售价为m元/千克，则第二次售出芒果[120＋20(20－m)]千克．依题意，得24×80＋m[120＋20(20－m)]＝4 320＋980.整理，得m2－26m＋169＝0. 解得m1＝m2＝13. 答：第二次芒果的售价为13元/千克． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录   一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 例 3 (2023·郴州) 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 增长率问题 核心知识 3 [解答] 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.由题意，得 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%. 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ [解答] 解：设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．由题意，得2.125＋10a≤2.5×(1＋25%).解得a≤0.1. 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录   一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 总目录 2 素养提升 例 4 (2023·东营) 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 [解答] 解：设矩形ABCD的边AB长x m，则边BC长70－2x＋2＝72－2x(m). 根据题意，得x(72－2x)＝640. 化简，得 x2－36x＋320＝0. 解得 x1＝16，x2＝20. 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. 答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． [解答] 解：不能．理由如下： 由题意，得x(72－2x)＝650. 化简，得x2－36x＋325＝0. Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0. ∴所列一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 650 m2. 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录   一元二次方程的应用，找到周长的等量关系是解决本题的关键． 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 总目录 3 素养发展 1．数学文化(2023·南充) 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸).意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还 剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　　) A 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 1 2 3 总目录 2．把一根长20 m的钢管截成2 m长和3 m长两种规格均有的短钢管，且 没有余料，不同的截法有 __________种． 3 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 1 2 3 总目录 3．(2022·眉山) 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金 1 000万元，2021年投入资金1 440万元．现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x.依题意，得 1 000(1＋x)2＝1 440.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%. 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 1 2 3 总目录 (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：设该市在2022年可以改造y个老旧小区． 又∵y为整数，∴y的最大值为18. 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 返回首页 第7讲　方程与方程组的实际应用 首页 1 2 3 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P14～15第7讲 步骤：―→―→ ×b 解得 1.6(1＋x)2＝2.5.解得x1＝＝25%，x2＝－(不合题意，舍去). A．(x＋4.5)＝x－1 B．(x＋4.5)＝x＋1 C．(x－4.5)＝x＋1 D．(x－4.5)＝x－1 依题意，得80×(1＋15%)y≤1 440×(1＋20%).解得y≤. $$