第6讲 一元二次方程及其解法（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第6讲　一元二次方程及其解法 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 一元二次方程及其解法 定义 运用 一般形式 解法 根的判别式 关系 根与系数关系 易错 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①____次的整式 方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 解法 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔一元二次方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔一元二次方程没有实数根 根的判别式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 易错 (1)ax2＋bx＋c＝0关于x的一元二次方程根的情况，注意a≠0； (2)ax2＋bx＋c＝0关于x的方程注意分类讨论，方程有实数根⇔ ①a＝0； ②a≠0， 且Δ≥0， 如关于x的方程ax2＋5x－2＝0有实数根，则a②________． 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 关系：x1，x2，为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝③_______，x1x2＝④________ 运用 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 题目中涉及根与系数的关系，一定要考虑Δ≥0，如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，两根x1，x2同为正数，则Δ≥0，x1＋x2＞0，x1x2＞0； 两根x1，x2都大于1，则Δ≥0，(x1－1)＋(x2－1)＞0，(x1－1)(x2－1)＞0. 易错 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 1 素养积累 例 1 1.若关于x的方程(a－2)x|4-a|＋7x－1＝0是一元二次方程，则a的值 为__________． [解析] ∵方程(a－2)x|4-a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，∴|4－a|＝2且a－2≠0.解得a＝6. 一元二次方程的定义及解法 核心知识 1 6 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．按要求解下列方程： (1)4(x－1)2＝9(直接开方法)； 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (2)x2－8x＋13＝0(配方法)； [解答] 解：移项，得x2－8x＝－13. 配方，得x2－8x＋16＝－13＋16，即(x－4)2＝3. 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (3)2x2－3x－4＝0(公式法)； [解答] 解：这里a＝2，b＝－3，c＝－4， Δ＝(－3)2－4×2×(－4)＝41＞0. 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 (4)(x－3)2＋4x(x－3)＝0(因式分解法). [解答] 解：因式分解，得 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) A A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若方程5x2－x－3＝x2－3＋x化为一般形式后二次项系数是4，则一次 项系数是__________，常数项是_________． －2 0 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 3．(2012·南充) 方程x(x－2)＋x－2＝0的解是(　　) A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1 D 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 2 (2018·南充) 若2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根，则 m－n的值为__________． 一元二次方程的根 核心知识 2 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 1.若关于x的一元二次方程ax2＋bx－3＝0(a≠0)有一个根为x＝ 2 023，则方程a(x－1)2＋bx－3＝b必有一根为(　　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 2．已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则估计x1的近似值最 接近(　　) A．－1.5 B．－1.3 C．－1.0 D．－0.8 D B 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 3 1.(2023·贵州) 若一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数 根，则k的值是__________． 一元二次方程根的判别式 核心知识 3 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2．(2023·上海)已知关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根， 那么a的取值范围是__________． [解析] ∵关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1＝0没有实数根， ∴Δ＜0，即62－4a＜0.解得a＞9. a＞9 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 例 4 (2020·南充) 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根． (1)求k的取值范围； 一元二次方程根与系数的关系 核心知识 4 [解答] 解：∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根， ∴Δ＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0. 解得k≤－1. 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 [解答] 解：存在．∵x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2. 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 变式 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长度分 别是一元二次方程x2－mx－x＋2m＝0的两实数根，DH是AB边上的高， 则DH的值为(　　) A 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 总目录 2 素养提升 例 5 关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 (2)用含k的代数式表示|x1－x2|； 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 总目录 3 素养发展 1．(2023·创编) 若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－m－2＝0有 一根为0，则m的值为(　　) A．2 B．－1 C．2或－1 D．1或－2 A 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 1 2 总目录 2．(2023·南充) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根． 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 1 2 总目录 返回首页 第6讲　一元二次方程及其解法 首页 1 2 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P12～13第6讲 解法 形式 优点 缺点 直接开平方法 a(x＋m)2＝n 速度快 条件要求较高 配方法 a＝ 为求二次函数最值奠基 最慢 公式法 x＝(b2－4ac≥0) 万能 符号较多，运算量大 因式分解法 a(x－x1)(x－x2)＝0 最快 技巧性较强 ≥－ 分式型：＋＝，＋＝＝ 绝对值型：|x1－x2|＝＝＝ 因式分解型：xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2) － 平方型：x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 [解答] 解：方程变形为(1)(x－1)2＝. ∴x－1＝±.∴x1＝，x2＝－. 开平方，得x－4＝±. ∴x1＝4＋，x2＝4－. ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. (x－3)(x－3＋4x)＝0，即(x－3)(5x－3)＝0.∴x－3＝0或5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝. ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. [解析] ∵一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－3)2－4k×1＝0，且k≠0.解得k＝. (2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． ∵＋＝k－2，∴＝＝k－2. ∴k2－4＝2.解得k1＝－，k2＝. 又∵k≤－1， ∴k＝－. A． B． C． D．3 [解答] 解：∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＞0，即4k－11＞0.∴k＞. [解答] 解：由一元二次方程的求根公式，得不妨令x1＝，x2＝. ∴|x1－x2|＝. (3)是否存在实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由． [解答] 解：存在． ∵k＞，∴2k－1＞0，＞0. ∴x1＞0. 又∵x1·x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0， ∴x2＞0. 当|x1|－|x2|＝时， x1－x2＝，即＝. ∴4k－11＝3.∴k＝. (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＋＝－，求m的值． 解：由题意，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵＋＝＝－2＝－， ∴－2＝－. 整理，得5m2－7m＋2＝0. 解得m＝1或m＝. $$