小专题1 代数式恒等变形（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

小专题1　代数式恒等变形 2024南充数学 目 录 1 必备知识 2 必备素养 3 素养积累 1 必备知识 1．整式的运算，因式分解． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 总目录 2 必备素养 运算能力；整体思想，化归思想． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 总目录 3 素养积累 例 1 1.已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m+10n-2(用含a，b的式子表示)． 整体代入 素养导向 1 [解答] 解：∵2m＝a，32n＝25n＝b，m，n为正整数， 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 2．已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为_______. [解析] ∵2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9， ∴4x2＋4xy＋9y2＝2(2x2－xy)＋3(3y2＋2xy)＝12－27＝－15. －15 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 3．已知代数式ax4＋bx3＋cx2＋dx＋3.当x＝2时，代数式的值为20；当x＝－2时，代数式的值为16.当x＝2时，代数式ax4＋cx2＋3的值为_________． [解析] 由已知，得 两式相加，得32a＋8c＝30. ∴16a＋4c＝15. 当x＝2时，ax4＋cx2＋3＝16a＋4c＋3＝15＋3＝18. 18 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 4．设m，n是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，则m2－3m＋n＝ (　　) A．－1 B．1 C．－17 D．17 [解析] ∵m，n是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴m＋n＝4，m2－4m＋3＝0. ∴m2－4m＝－3.则m2－3m＋n＝m2－4m＋(m＋n)＝－3＋4＝1.故选B. B 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 ∵a＋b＋c＝9，∴a＝9－(b＋c)，b＝9－(a＋c)，c＝9－(a＋b). 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 6．已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f. 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f＝a＋b＋c＋d＋e＋f. ∴a＋b＋c＋d＋e＋f＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． (1)当x为多少时，可求出f？f为多少？ [解答] 解：令x＝0，则f＝(0＋1)5＝1. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)求－a＋b－c＋d－e＋f的值； (3)求b＋d＋f的值． [解答] 解：(2)令x＝－1，则－a＋b－c＋d－e＋f＝(－1＋1)5＝0. (3)当x＝1时，a＋b＋c＋d＋e＋f＝32. 联立上式与(2)中结果可得2(b＋d＋f)＝32. ∴b＋d＋f＝16. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 1.已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a3＋a＋6b的值是 (　　) A．14 B．－14 A 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录   整体代入的核心就是利用代数的恒等变形构造“沟通条件与结论的整体”． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 2 已知a＞0，b＜0且|a|＜|b|，试化简： 绝对值化简 素养导向 2 [解答] 解：∵a＞0，b＜0且|a|＜|b|， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2022·郫都区) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c____0，a＋b____0，c－a____0； 解：＜　＜　＞　 [由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|. ∴b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0.] ＜ ＜ ＞ 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|. 解：|b－c|＋|a＋b|－|c－a| ＝(c－b)＋(－a－b)－(c－a) ＝c－b－a－b－c＋a ＝－2b. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录   绝对值的化简关键在于确定绝对值“| |”内代数式的符号，然后运用绝对值的意义进行化简． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 3 已知a，b为正数，且满足a2＋b2＝5，ab＝2. (1)求a＋b的值； (2)求a2－b2的值． [解答] 解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝5＋2×2＝9，∴a＋b＝±3. ∵a，b是正数，∴a＋b＝3. (2)∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－2×4＝1，∴a－b＝±1. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝±3. 完全平方式及运用 素养导向 3 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 (2022·青羊区) 阅读材料： 若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值． 设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5. ∴(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法求解下面问题： 已知m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝5. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (1)求(5－2m)(4－2m)的值； (2)求4m－9的值． 解：设2m－5＝x，4－2m＝y， ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy， 4m－9＝(2m－5)－(4－2m)＝x－y， 2m－5＋4－2m＝x＋y＝－1. (1)∵(2m－5)2＋(4－2m)2＝5，∴x2＋y2＝5. ∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴1＝5＋2xy.∴xy＝－2. ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy＝2. (2)∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5－2×(－2)＝9，∴x－y＝±3. 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录   完全平方式含两个平方项与一个交叉项，在这三项中已知两项可确定第三项，但要注意知道两个平方项确定交叉项时会有两种情况，易忽略带负号的交叉项． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 例 4 如果一个正整数能表示为两个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4＝22－02，12＝42－22. (1)请你将20表示为两个连续非负偶数的平方差形式：20＝________； [解答] (1)62－42　[设(2n＋2)2－(2n)2＝20(n为整数)，解得n＝2.∴2n＋2＝6，2n＝4.∴20＝62－42.] 整除问题 素养导向 4 62－42 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)试证明“神秘数”能被4整除． 证明：设两个连续的偶数分别为2k，2k＋2.由题意，得(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)＝2(4k＋2)＝4(2k＋1). ∴“神秘数”是4的倍数． ∴“神秘数”能被4整除． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 变式 【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” 【解决问题】 (1)计算：32－1＝_________；52－1＝_________；72－1＝_______．以 上计算结果均_________(填“是”或“不是”)8的倍数； 解：【解决问题】8　24　48　是 8 24 48 是 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 (2)设奇数为2n＋1(n为整数)，请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； 解：任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数． 证明：设一个奇数为2n＋1，则有(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1). ∵n，n＋1是两个连续的整数， 则其中必有一个是2的倍数， ∴(2n＋1)2－1能被8整除． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是_________的倍数． 解：【拓展延伸】2　[设一个奇数为2n＋1，则有(2n＋1)2＋1＝4n2＋4n＋2＝2(2n2＋2n＋1). 所以任意奇数的平方加上1后一定是2的倍数.] 2 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录   整除可“沟通”整式乘法和因式分解等式的运算与数的关系． 返回首页 小专题1　代数式恒等变形 首页 素养导向1 素养导向2 素养导向3 素养导向4 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P8～9小专题1 2．根与系数关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝. ∴23m+10n-2＝23m×210n÷22＝(2m)3×(25n)2÷4＝a3b2. 5．(2023·创编) 如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝9，＋＋＝，求＋＋的值． [解答] 解：∵＋＋＝， ∴＋＋＝10. ∴＋＋ ＝＋＋ ＝－1＋－1＋－1 ＝10－3 ＝7. C．7 D．10 2．已知：＋＝5，求的值． 解：∵＋＝5，∴x＋y＝5xy. ∴原式＝＝＝＝1. 3．已知实数x满足x＋＝4，求分式的值． 解：∵x＋＝4， ∴＝x＋3＋＝＋3＝4＋3＝7. ∴＝. (1)＋；(2)－＋. (1)＋＝＋＝1－1＝0. (2)－＋＝－＋＝－1＋1＋1＝1. $$