第1讲 实数的相关概念及运算（课件PPT）-【中考拐点】2024年中考数学讲义（南充专用）

第1讲　实数的相关概念及运算 2024南充数学 目 录 1 素养积累 2 素养提升 3 素养发展 实数的相关概念及运算 分类 按性质分 【温馨提示】 数轴 相反数 绝对值 按定义分 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 按性质分：正实数，⑤_________，负实数(⑥_________既不是正数也不是负数) 按定义分 有理数 整数 正整数 ①_____ 负整数 分数 正分数 ②_______ 无理数 正无理数 负无理数 0 负分数 无限④_________小数 有限小数或③_________小数 无限循环 不循环 0 0 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 【温馨提示】 1．常见的几种无理数 (1)有规律但不循环的小数，如0.010 010 001…(相邻两个1之间依次多一个0)等； (4)一些三角函数值(含有根式)，如tan 60°，cos 30°等． 2．判断一个实数是不是无理数应遵循：一化简，二辨析，三判断． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 数轴 作用 (1)比较两个数的大小：数轴上，右边的点比左边的点表示的数大 (2)表示A，B两点间的距离：AB＝|xA－xB| (3)解决数轴上的动点问题 向右移动a个单位，则加上a个单位 向左移动b个单位，则减去b个单位 口决：左减右加 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；a，b互为相反数⇔a＋ b＝⑦_________ 非零实数a的相反数是⑧_________；0的相反数是0 几何意义：在数轴上，位于原点两侧，到原点距离相等的两个点表示两个数互为相反数(除0外) 相反数 0 －a 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫这个数的绝对值 非负性：|a|≥0；双重性：如当|x|＝3，则x＝⑨_________ 规律：一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 负数的绝对值绝是它的相反数，　　　 ±3 即|a|＝ a(a>0)， 0(a＝0)， －a(a<0) 去绝对值符号 (1)有条件限制：如|a－3|＝⑩_________(a ＜ 3)； (2)无条件限制：|a－b|＝ 3－a a－b(a≥b)， b－a(a＜b) |a|＝|b|⇔a＝b或⑪_________ a＝－b 绝对值 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 实数的相关概念及运算 倒数 科学记数法 运算 实数比较大小 ＋，－ ×，÷ 乘方 平方根、算术平方根、立方根 易错 熟记 常见运算 运算顺序 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 定义：乘积为1的两个数互为倒数．a，b互为倒数⇔ab＝⑫____ 规律：非零数a的倒数是⑬_________；0没有倒数 倒数 1 科学记数法 形式：a×10n (1)确定a：1≤|a| ＜ 10 (2)确定n |原数|≥10时：n为正整数，等于原数的整数位数减1； |原数|＜1时：n为负整数，n的绝对值等于原数左起第一个非零数前面0的个数(含整数位数的0) 如109.68亿＝⑭_____________；－0.000 30＝⑮___________ 1.096 8×1010 －3×10-4 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 ＋，－：减去一个数，等于加上这个数的相反数 ×，÷：除以一个数，等于乘这个数的倒数 乘方：an＝a·a·…·a n个a 平方根、算术平方根、立方根 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 112＝121，122＝144，…，252＝625；13＝1，23＝8，…，93＝729. 易错 熟记 常见运算 0次幂：a0＝1(a≠0)(任何非零数的0次幂都等于1) －1的n次幂：(－1)n＝ 1(n为偶数)， －1(n为奇数) 乘方：如－24＝⑱_____；(－2)4＝⑲_____；－(－2)4＝ ⑳_______(认准底数) －16 16 －16 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；若有括号，先算括号里面的 【提分点拨】 关于“本身”的问题 0 0 0，1 0，±1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 数轴比较法：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的㉕____ 类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 ㉖____ 差值比较法：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b 实数比较大小 大 小 乘方比较法 (2)两个无理数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 1 素养积累 例 1 1.(2023·南充) 如果向东走10 m记作＋10 m，那么向西走8 m记作 (　　) A．－10 m B．＋10 m C．－8 m D．＋8 m 实数相关概念 核心知识 1 C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3．(2023·高坪区一模) 若a＋3＝0，则a＝(　　) C D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 4．(2022·蓬安县适应) 若|x|＝5，则x＝_________． ±5 A A．它是分数 B．它是无理数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(2023·凉山州) 下列各数中，为有理数的是(　　) A 2．(2022·南充) 下列计算结果为5的是(　　) A．－(＋5) B．＋(－5) C．－(－5) D．－|－5| C 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   实数相关概念较多，常用概念有无理数、相反数、倒数与绝对值，其中绝对值常结合数轴进行理解，体现了数形结合思想，化简时一定要先确定绝对值“| |”内整个代数式的符号． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 2 1.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正 确的是(　　) 实数与数轴 核心知识 2 C A．a＞－2 B．a＋3＞c C．－a＞b D．ab＜ac 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列关系中，正 确的是(　　) A A．－a＜b B．a＜－b C．a＜b D．b＜－a 2．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上 点P所表示的数是_________． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   实数与数轴上的点是一一对应的，开启了数与形结合的大门． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 3 (2023·成都) 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日 定位量超3 000亿次．将数据3 000亿用科学记数法表示为(　　) A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011 科学记数法 核心知识 3 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 (2023·眉山) 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.000 002 1毫 米，数据0.000 002 1用科学记数法表示正确的是(　　) A．2.1×10-6 B．21×10-6 C．2.1×10-5 D．21×10-5 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的绝对值表示小数点移动的位数，其符号表示小数点移动的方向． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(2018·南充) 下列实数中，最小的数是(　　) 实数的大小比较 核心知识 4 ＜ A ＞ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   1．基本方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．平方法对于含根号的正实数比较时较为常用，倒数法也可作尝试． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 例 5 1.(2023·泸州) 计算： 实数的运算 核心知识 5 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2．已知4a＋7的立方根是3，2a＋b＋2的算术平方根是4，则a＋b的平方 根是_________． ±3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 1 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 变式 1.(1)25的平方根是_________； ±5 4 2 3 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 3．(2019·南充) 计算： 2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录   0指数幂与负整数指数幂要注意使用的条件，平方根、算术平方根与立方根要注意区分，特别是其符号表达形式要熟练． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 核心知识1 核心知识2 核心知识3 核心知识4 核心知识5 总目录 2 素养提升 例 6 阅读下列材料，解决相关任务： 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 任务： D A．无限不循环小数 B．有限小数 C．整数 D．有理数 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录    对材料的理解是迁移的前提． 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 总目录 3 素养发展 1．(2021·南充) 数轴上表示数m和m＋2的点到原点的距离相等，则m为 (　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 D 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2020·南充) 2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为 1 150 000人，将1 150 000用科学记数法表示为(　　) A．1.15×106 B．1.15×107 C．11.5×105 D．0.115×107 A 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2021·南充) 如果x2＝4，则x＝________． ±2 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2022·南充) 比较大小：2-2_________30.(选填“＞”“＝”或“＜”) ＜ 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．(2018·南充) 某地某天的最高气温是6 ℃，最低气温是－4 ℃，则该 地当天的温差为_________℃. 10 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．(2018·南充) 计算： 返回首页 第1讲　实数的相关概念及运算 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 请完成《练测本》P1～2第1讲 (2)特殊的无理数(π及化简后含π的数)，如，π＋1等； (3)开方开不尽的数，如，，等； 实数和数轴上的点是一一对应的．如在数轴上的画法： 名称 a(a>0) 0 a(a<0) (1)认符号定运算； (2)实质是一种运算，与乘方互为逆运算 平方根 ± 0 无 算术平方根 0 无 立方根 0 2－ －1 ＝4，±＝±4，－＝－4，的平方根为±＝±2. 负整数次幂：a－p＝＝ (a≠0，p为正整数)(倒底数，反指数) 去绝对值符号：如|－2|＝⑯________，|1－|＝⑰_______ 倒数等于本身的数是±1；相反数等于本身的数是㉑_________；绝对值等于本身的数是非负数；平方等于本身的数是0，1；平方根等于本身的数是㉒_________；算术平方根等于本身的数是㉓_________；立方等于本身的数是0，±1；立方根等于本身的数是㉔_________． 异次开方：如与→()6＜()6 作商比较法：a，b为正实数，则＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b (1)一个有理数和一个无理数：如2.1与→(2.1)3＞ ()3 同次开方：如2与3→(2)2＜(3)2 2．(2020·南充) 若＝－4，则x的值是(　　) A．4 B． C．－ D．－4 A． B．－ C．3 D．－3 5．(2023·南充二诊) 针对的说法，错误的是(　　) C．它的相反数是－ D．它的倒数是 A． B．3.232 232 223… C． D． 2．把无理数，，，－表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是_________． 1－2 2．比较大小：2.5______.(填“＞”“＜”或“＝”) 例4 比较大小：－1_____4.(填“＞”“＜”或“＝”) [解析] ∵＜＜，∴4＜＜5.∴3＜－1＜4. A．－ B．0 C．1 D． 3-1＋(－1)0＋2sin 30°－. [解答] 解：原式＝＋1＋2×＋ ＝＋(1＋1) ＝3. [解析] 根据题意，得4a＋7＝33，2a＋b＋2＝42.解得a＝5，b＝4.∴a＋b＝5＋4＝9，∴a＋b的平方根是±＝±3. 3．已知5＋的小数部分为a，5－的小数部分为b，则(a＋b)2 023＝_________． [解析] ∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8. ∴a＝5＋－7＝－2. ∵2＜＜3，∴－3＜－＜－2. ∴2＜5－＜3.∴b＝5－－2＝3－. ∴(a＋b)2 023＝(－2＋3－)2 023＝12 023＝1. (2)＝_________； (3)＝_________； (4)()2＝_________． 2．(2020·南充) 计算：|1－|＋20＝_________. (1－π)0＋|－|－＋. 解：原式＝1＋－－2＋ ＝1－. 4．设5－的整数部分为a，小数部分为b，则b＝_________． 2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：(约率)和(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和(即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数)，则是x的更为精确的近似值． 例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为＝； 由于≈3.140 4＜π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数． (1)请判断：约率是_________； [解答] 解：D [是正分数，是有理数．故选D.] (2)已知＜＜，请使用两次“调日法”，求的近似分数． [解答] 解：∵＜＜，∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为＝. ∵＝且＞2，∴＜＜. ∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为＝. ∴使用两次“调日法”，的近似分数为. －＋sin 45°＋. 解：原式＝－1－1＋＋2 ＝. $$