专题练测6 二次函数的综合（PPT课件）-【中考2号】2024年中考数学练测（宁夏专用）

专题练测6　 二次函数的综合 2024宁夏数学 1．(2022·武威凉州区模拟)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； 解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA＋MC的值最小，求此时点M的坐标． 解：由抛物线对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交 点就是所求点M，此时MA＋MC＝MB＋MC＝BC最小． 又∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝－ ＝1，由于点A(－1，0)，∴点B(3，0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋d，则 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－1＋3＝2. ∴此时点M的坐标为(1，2)． 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2023春·金昌期中) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x －1)2＋与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：将B(4，0)代入y＝a(x－1)2＋， 即0＝9a＋.解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋. 令x＝0，则y＝－＝4. 令y＝0，则－(x－1)2＋＝0. 解得x1＝4，x2＝－2.∴A(－2，0)，C(0，4)． 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 解：存在点P，使△BCP是直角三角形． ∵y＝－(x－1)2＋，对称轴为直线x＝1，B(4，0)， C(0，4)，设P(1，n)， ∴BC2＝42＋42＝32，BP2＝(4－1)2＋n2， PC2＝12＋(4－n)2. ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2＋PC2， ∴(4－1)2＋n2＝32＋12＋(4－n)2.解得n＝5； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2＋BP2， ∴12＋(4－n)2＝(4－1)2＋n2＋32.解得n＝－3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2＋PC2，32＝(4－1)2＋ n2＋12＋(4－n)2，解得n＝2－或n＝2＋. 综上所述：P(1，5)，(1，－3)， . 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)如图，M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下： 作点O关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M， 连接BQ，由对称性可知，OM＝QM， ∴AM＋OM＝AM＋QM≥AQ. 当A，M，Q三点共线时，AM＋OM有最小值． ∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC. ∴∠CBO＝45°. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 由对称性可知∠QBM＝45°，∴BQ⊥BO.∴Q(4，4)． 设直线AQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直线AQ的解析式为y＝. 设直线BC的解析式为y＝mx＋4， 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴4m＋4＝0.∴m＝－1. ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 联立方程组解得 ∴M. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2022·酒泉肃州区模拟) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A(0，－3)，B(－1，0)，E(3，0)，P为抛物线上的动点，设点P的横坐标为t. (1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称， 求点C的坐标及抛物线的解析式； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点B(－1，0)，E(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，A(0，－3)， ∴C(2，－3)． ∵y＝a(x－3)(x＋1)＝a(x2－2x－3)， ∴－3a＝－3，解得a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)若点P在第四象限，连接PA，PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ 解：过点P作y轴的平行线交AE于点H. 由点A，E的坐标得直线AE的解析式为y＝x－3. 设P(t，t2－2t－3)，则H(t，t－3)． ∴△PAE的面积为(t－3－t2＋2t＋3) ＝(－t2＋3t)＝－. ∴当t＝时，△PAE的面积最大，最大面积为. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．点P的坐标为(－2，5)或(1，4)． [∵OA＝OE＝3，∠AOE＝90°， ∴∠AEO＝45°. ①当∠PEA＝90°时，PE⊥AE， ∴∠OEP＝45°. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴直线PE过点E(3，0)和(0，3)． ∴直线PE的解析式为y＝－x＋3. 令x2－2x－3＝－x＋3，解得x1＝－2，x2＝3(舍去)． 此时P(－2，5)； ②当∠PAE＝90°时，同理可得P(1，－4)． 故点P的坐标为(－2，5)或(1，－4)．] 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2022·张掖校级模拟) 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； 图1　 解：由题意，得B(2，0)，A(－6，0)． ∴y＝a(x＋6)(x－2)＝ax2＋bx＋4. ∴－12a＝4，即a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x＋4. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)如图2，若P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值； 图2　 解：∵抛物线对称轴是直线x＝－2，C(0，4)，∴E(－4，4)． ∴直线EO的解析式为y＝－x. 设P，则M(m，－m)． ∴PM＝－(－m) ＝－. ∴当m＝－时，PM最大值是. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)如图3，如果F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 图3 解：存在．由A(－6，0)，C(0，4)，F(－2，n)，得 ①当AC为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是－6－(－2)＝－4. 当x＝－4时，y＝－×(－4)2－×(－4)＋4＝4.∴G(－4，4)； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②当AG为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是4. 当x＝4时，y＝－. ∴G； ③当AF为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是－8. 当x＝－8时，y＝－×(－8)2－×(－8)＋4＝－.∴G. 综上所述，点G的坐标为(－4，4)或或. 图3 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．(2023·南充)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 解：由题意，得抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－3)＝a(x2－2x－3)， 即－3a＝3.∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； 解：设P(m，－m2＋2m＋3)，Q(x，0)． ①当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式，得 0＋3＝－m2＋2m＋3＋0.解得m＝0(舍去)或m＝2； ②当BQ为对角线时，可得0＋0＝－m2＋2m＋3＋ 3.解得m＝1±. 综上所述，点P的坐标为(2，3)，或. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1，3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N.试探究EM·EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：EN·EN是定值．易知D(1，4)． ∵直线GH过点K(1，3)， ∴设直线GH的解析式为y＝k(x－1)＋3. 设G(m，－m2＋2m＋3)，H(n，－n2＋2n＋3)． 令k(x－1)＋3＝－x2＋2x＋3，整理，得 x2＋(k－2)x－k＝0.∴m＋n＝2－k，mn＝－k. 由点G，D的坐标，得直线GD的解析式为y＝－(m－1)(x－1)＋4. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 令y＝0，则x＝1＋，即M. ∴EM＝1－1－. 同理可得EN＝. ∴EM·EN＝－＝16. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．(2023·达州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； 解：由题意设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)， 则－3a＝3.解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3. 过点P作y轴的平行线交CB于点H. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则H(m，－m＋3)． ∴S△PBC＝S△PHC＋S△PHB＝PH·OB＝ (－m2＋2m＋3＋m－3)＝－. ∴△PBC的最大面积为，此时P. 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)若M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：存在．点N的坐标为或或或. [∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴设M(1，t)，N(x，y)． 已知B(3，0)，C(0，3)． 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ①若BC为菱形BCMN的边长， 则BC2＝CM2，即32＋32＝12＋(t－3)2. 解得t1＝＋3. ∵∴ ∴N1，N2； 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②若BC为菱形BCNM的边长， 则BC2＝BM2，即32＋32＝(3－1)2＋t2. 解得t3＝. ∵∴ ∴N3，N4.] 返回首页 专题练测6　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 $$