专题练测2 圆的证明与计算（PPT课件）-【中考2号】2024年中考数学练测（宁夏专用）

专题练测2　 圆的证明与计算 2024宁夏数学 1．(2022·济南) 已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为点F. (1)求证：CA＝CD； 证明：连接OC. ∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°. ∵∠D＝30°，∴∠COD＝90°－∠D＝60°. ∴∠A＝∠COD＝30°. ∴∠A＝∠D＝30°.∴CA＝CD. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若AB＝12，求线段BF的长． 解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6. ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACB＝45°. ∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°. ∴BF＝BC·sin 45°＝6×. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 2．(2022·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使，连接DE，作射线CE交AB边于点F. (1)求证：∠A＝∠ACF； 证明：∵，∴∠BCF＝∠FBC. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠FBC＝90°，∠ACF＋∠BCF＝90°. ∴∠A＝∠ACF. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若AC＝8，cos ∠ACF＝，求BF及DE的长． 解：连接CD. ∵∠B＝∠BCF，∠A＝∠ACF， ∴AF＝CF，BF＝CF.∴AF＝BF＝ AB. ∵cos ∠ACF＝cos A＝，AC＝8， ∴AB＝10.∴BF＝5. ∵BC＝＝6， 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∴sin A＝. ∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°. ∴∠B＋∠BCD＝90°.∴∠A＝∠BCD. ∴sin ∠BCD＝. ∴BD＝.∴DF＝BF－BD＝. ∵∠FDE＝∠BCE，∠B＝∠BCE， ∴∠FDE＝∠B.∴DE∥BC. ∴△FDE∽△FBC，∴.∴DE＝. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 3．(2022·银川市兴庆区校级一模) 如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12.以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，过点D作EF⊥AC，EF交AC于点F，交CB的延长线于点E. (1)求证：ED是⊙O的切线； 证明：连接OD，CD. ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB. ∵AC＝BC，AB＝12， 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∴AD＝BD＝6，即点D为AB的中点． ∵O为BC的中点， ∴OD为△ABC的中位线． ∴OD∥AC. ∵DF⊥AC，∴OD⊥ED. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线． 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)求的值． 解：过点D作DM⊥BC于点M. ∵OD⊥EF，∴∠DMO＝∠ODE＝90°. ∴∠E＝∠ODM＝90°－∠DOM. ∵BO＝CO＝DO，BC＝AC＝10， ∴OD＝OB＝AC＝5. 设OM＝x，则BM＝5－x. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 在Rt△DMO和Rt△DMB中，由勾股定理， 得DM2＝DO2－OM2＝BD2－BM2， 即52－x2＝62－(5－x)2. 解得x＝，即OM＝. ∴＝sin E＝sin ∠ODM＝. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 4．(2022·株洲) 如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB，OD，已知OD∥BC. (1)求证：直线BC是⊙O的切线； 证明：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝90°. ∵OD∥BC，∴∠OBC＝180°－∠BOD＝90°. ∴OB⊥BC. 又∵OB是⊙O的半径， ∴直线BC是⊙O的切线． 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD. ①求证：△ABD∽△DBE； 证明：由(1)知∠BOD＝90°. ∵OB＝OD，∴△BOD是等腰直角三角形． ∴∠BDE＝45°＝∠BAD. 又∵∠DBE＝∠ABD， ∴△ABD∽△DBE. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ②若AB·BE＝6，求⊙O的半径的长度． 解：由①知：△ABD∽△DBE，∴. ∴BD2＝AB·BE. ∵AB·BE＝6，∴BD2＝6.∴BD＝. ∵△BOD是等腰直角三角形， ∴OB＝BD·sin ∠BDO＝. ∴⊙O的半径的长度为 . 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 5．(2022·新疆) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E. (1)求证：∠ABC＝∠CAD； 证明：∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)求证：BE⊥CE； 证明：连接OC. ∵CE与⊙O相切于点C， ∴∠OCE＝90°. ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠CAD＋∠DBC＝180°. ∵∠DBC＋∠CBE＝180°， ∴∠CAD＝∠CBE. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC. ∴∠OCB＝∠CBE. ∴OC∥BE. ∴∠E＝180°－∠OCE＝90°. ∴BE⊥CE. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (3)若AC＝4，BC＝3，求DB的长． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5. ∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB， ∴△ACB∽△DEC. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∴，即. ∴DE＝. ∵∠CBE＝∠ABC，∠ACB＝∠E＝90°， ∴△ACB∽△CEB. ∴，即， ∴BE＝. ∴DB＝DE－BE＝. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 6．(2023·衡阳) 如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G. (1)求证：AF＝DF； 证明：∵D是弧AC的中点，∴. ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴.∴. ∴∠ADH＝∠CAD.∴AF＝DF. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若AF＝，sin ∠ABD＝，求⊙O的半径． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ∵∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠B. ∴sin ∠ADE＝.∴tan ∠ADE＝. 设AE＝x，则DE＝2x. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 ∵DF＝AF＝，∴EF＝2x－. ∵AE2＋EF2＝AF2，∴x＝2. ∴AD＝.∴AB＝＝10. ∴⊙O的半径为5. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 7．(2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50 cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH. (1)计算：在图1中，已知MN＝48 cm，作OC⊥MN于点C.求OC的长． 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 解：连接OM. ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48 cm， ∴MC＝MN＝24 cm. ∵AB＝50 cm，∴OM＝AB＝25 cm. 在Rt△OMC中， OC＝＝7(cm)． 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 探究：在图2中． (2)操作后水面高度下降了多少？ 解：∵GH与半圆的切点为E，∴OE⊥GH. ∵MN∥GH，∴OE⊥MN于点D. ∵∠ANM＝30°，ON＝25 cm， ∴OD＝ cm. ∴操作后水面高度下降高度为(cm)． 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 解：∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵半圆的中点为Q，∴. ∴∠QOB＝90°.∴∠QOE＝30°. ∴EF＝tan ∠QOE·OE＝(cm)， 的长为(cm)． ∵π＝＞0，∴EF＞. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 8．(2023·岳阳改编)如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，C为的中点，以C为切点的切线与AB的延长线交于点E. (1)若∠A＝30°，AB＝6，求的长(结果保留π)； 解：连接OC. ∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3. ∴的长为＝π. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 (2)若，求的值． 解：∵点C为的中点，∴.∴OC⊥BD. 又∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC.∴EC∥BD. ∵，∴. 设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝＝4x， ∴CE＝＝2x. ∴. 返回首页 专题练测2　圆的证明与计算 首页 1 2 3 4 6 7 5 8 总目录 本讲内容结束 $$